Formules d’addition

Définissez A et B en degrés ou, comme dans un énoncé d’examen, par une valeur trigonométrique et un quadrant. Choisissez ensuite A + B ou A − B. Sur la figure, vous atteignez P en deux déplacements : cos B le long de l’axe tourné, puis ±sin B perpendiculairement à cet axe. Le tableau détaille les trois formules. Pour des multiples entiers de 15°, il donne aussi les valeurs exactes du sinus et du cosinus à l’aide de radicaux, ainsi que celle de la tangente lorsque les tangentes nécessaires sont définies.

Sinus	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
Cosinus, signe opposé	$cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
Tangente	$tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B}$

Exemple résolu — Formules d’addition

Somme ou différence	75°
Sinus de A	0,7071
Cosinus de A	0,7071
Sinus de B	0,5
Cosinus de B	0,866
Formule du sinus	0,9659
Formule du cosinus	0,2588
Formule de la tangente	3,7321

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Formules d’addition

Les formules d’addition donnent le sinus, le cosinus et la tangente de A + B et de A − B à partir des sinus et des cosinus de A et de B.

D’où vient la formule

Faites tourner les axes d’un angle A. L’axe des abscisses tourné a pour vecteur directeur unitaire (cos A, sin A), et celui des ordonnées (−sin A, cos A). Dans ce nouveau repère, P forme un angle B : ses coordonnées sont donc cos B sur le premier axe et sin B sur le second.
$P = cos B (cos A, sin A) + sin B (- sin A, cos A)$
Lisez les coordonnées de P. Par rapport à l’axe des abscisses initial, P forme un angle A + B. Ses coordonnées sont donc cos(A + B) et sin(A + B). Chacune est la somme de deux produits : les segments orange donnent les composantes horizontales, les bleus les composantes verticales.
$cos (A + B) sin (A + B) = cos A cos B - sin A sin B = sin A cos B + cos A sin B$
Remplacez B par −B. Comme cos(−B) = cos B et sin(−B) = −sin B, seuls les termes contenant sin B changent de signe.
$cos (A - B) sin (A - B) = cos A cos B + sin A sin B = sin A cos B - cos A sin B$
Divisez le sinus par le cosinus. En divisant chaque terme du numérateur et du dénominateur par cos A cos B, vous faites apparaître des tangentes et un 1. Il faut pour cela que cos A et cos B soient non nuls.
$tan (A + B) = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B - sin A sin B} = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

Problèmes entièrement résolus

Une valeur exacte à partir d’angles remarquables 2 étapes
Calculez la valeur exacte de sin 75°.

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1. 75° = 45° + 30°. Les sinus et les cosinus de ces deux angles ont des valeurs exactes connues. Appliquez la formule d’addition :
  
  $sin 7 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$
2. Remplacez les sinus et les cosinus par leurs valeurs, puis réduisez au dénominateur commun 4 :
  
  $= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$
Réponse

sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

$sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4} \approx 0.9659$
Une tangente exacte à partir d’une différence 2 étapes
Calculez la valeur exacte de tan 15° sous la forme a + b√3.

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1. 15° = 60° − 45°, avec tan 60° = √3 et tan 45° = 1 :
  
  $tan 1 5^{\circ} = \frac{tan 6 0 ^{\circ} - tan 4 5 ^{\circ}}{1 + tan 6 0 ^{\circ} tan 4 5 ^{\circ}} = \frac{3 - 1}{1 + 3}$
2. Rendez le dénominateur rationnel en multipliant le numérateur et le dénominateur par √3 − 1 :
  
  $= \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3$
Réponse

tan 15° = 2 − √3 ≈ 0,2679.

$tan 1 5^{\circ} = 2 - 3 \approx 0.2679$
Un sinus et un cosinus dans deux quadrants 3 étapes
sin A = 4/5 avec A obtus, et cos B = −5/13 avec 180° < B < 270°. Calculez sin(A + B), cos(A + B) et tan(A + B), puis déterminez le quadrant de A + B.

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1. Calculez d’abord les deux valeurs manquantes à l’aide de sin² + cos² = 1. Le quadrant détermine le signe : le cosinus est négatif dans le quadrant II, et le sinus dans le quadrant III.
  
  $cos A = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}, sin B = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}$
2. Appliquez ensuite les formules d’addition :
  
  $sin (A + B) cos (A + B) = \frac{4}{5} (- \frac{5}{13}) + (- \frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) = \frac{- 20 + 36}{65} = \frac{16}{65} = (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) - \frac{4}{5} (- \frac{12}{13}) = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}$
3. Le sinus et le cosinus obtenus sont positifs. A + B est compris entre 270° et 450° ; ces signes le situent donc entre 360° et 450°, dans le quadrant I. Pour la tangente, calculez leur quotient :
  
  $tan (A + B) = \frac{16/65}{63/65} = \frac{16}{63}$
Réponse

sin(A + B) = 16/65 ≈ 0,2462, cos(A + B) = 63/65 ≈ 0,9692, tan(A + B) = 16/63 ≈ 0,254, et A + B se situe dans le quadrant I.

$sin (A + B) = \frac{16}{65}, cos (A + B) = \frac{63}{65}, tan (A + B) = \frac{16}{63}$
Une somme d’angles à partir de deux tangentes 2 étapes
tan A = 1/2 et tan B = 1/3, avec A et B aigus. Déterminez A + B sans calculatrice.

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1. Remplacez les deux tangentes par leurs valeurs dans la formule :
  
  $tan (A + B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{5/6}{5/6} = 1$
2. Les deux tangentes sont inférieures à 1 : A et B sont donc chacun inférieurs à 45°, et leur somme est comprise entre 0° et 90°. Dans cet intervalle, seul l’angle de 45° a pour tangente 1.
  
  $0^{\circ} < A + B < 9 0^{\circ}, tan (A + B) = 1 \Rightarrow A + B = 4 5^{\circ}$
Réponse

A + B = 45°, bien que A ≈ 26,5651° et B ≈ 18,4349° ne soient pas des angles remarquables.

$A + B = 4 5^{\circ}$
Quand tan(A + B) n’est pas définie 3 étapes
tan A = 2 et tan B = 1/2, avec A et B aigus. Que peut-on dire de tan(A + B), et combien vaut A + B ?

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1. Le dénominateur de la formule est nul :
  
  $1 - tan A tan B = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$
2. Ce dénominateur est égal à cos(A + B)/(cos A cos B). Comme cos A cos B est non nul, vous obtenez
  
  $1 - tan A tan B = \frac{cos ( A + B )}{cos A cos B} = 0 \Rightarrow cos (A + B) = 0$
3. A + B est compris entre 0° et 180°. Dans cet intervalle, seul l’angle de 90° a pour cosinus 0 :
  
  $0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ} \Rightarrow A + B = 9 0^{\circ}$
Réponse

tan(A + B) n’est pas définie, car A + B = 90°. Pour A et B aigus, l’égalité tan A tan B = 1 signifie toujours que leur somme vaut 90°.

$A + B = 9 0^{\circ}, cos (A + B) = 0$
Retrouver une seule expression trigonométrique 2 étapes
Calculez la valeur exacte de cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°.

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1. Vous reconnaissez dans cos · cos + sin · sin le développement de cos(A − B), ici avec A = 80° et B = 20° :
  
  $cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = cos (8 0^{\circ} - 2 0^{\circ})$
2. Or 80° − 20° = 60° :
  
  $= cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Réponse

cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° = cos 60° = 1/2.

$cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Démontrer une identité 3 étapes
Démontrez que sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B, puis vérifiez cette égalité pour A = 45°, B = 30°.

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1. Développez les deux sinus :
  
  $sin (A + B) + sin (A - B) = (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B)$
2. Les termes en cos A sin B s’annulent :
  
  $= 2 sin A cos B$
3. Pour 45° et 30°, le membre de gauche vaut sin 75° + sin 15°, et celui de droite 2 sin 45° cos 30° :
  
  $\frac{6 + 2}{4} + \frac{6 - 2}{4} = \frac{6}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}$
Réponse

sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B pour tous les angles A et B ; pour 45° et 30°, les deux membres valent √6/2 ≈ 1,2247.

$sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B$
En déduire les formules de l’angle double 2 étapes
Posez B = A dans les formules d’addition pour obtenir sin 2A et cos 2A, puis calculez leurs valeurs lorsque sin A = 3/5 et A est obtus.

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1. Avec B = A, les deux produits de la formule du sinus sont égaux, et celle du cosinus devient une différence de carrés :
  
  $sin 2 A = 2 sin A cos A, cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$
2. A est obtus, donc cos A = −4/5 :
  
  $sin 2 A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$
Réponse

sin 2A = −24/25 = −0,96 et cos 2A = 7/25 = 0,28. L’angle 2A ≈ 286,2602° se situe dans le quadrant IV, où le sinus est négatif et le cosinus positif.

$sin 2 A = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{7}{25}$
Une équation avec une somme d’angles 3 étapes
Résolvez sin(x + 30°) = 2 cos x pour 0° ≤ x < 360°.

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1. Développez le membre de gauche :
  
  $sin x cos 3 0^{\circ} + cos x sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x$
2. Regroupez les termes en cos x à droite, puis divisez par cos x. Celui-ci ne peut pas valoir 0 : l’équation imposerait alors aussi sin x = 0, ce qui est impossible.
  
  $\frac{3}{2} sin x = \frac{3}{2} cos x \Rightarrow tan x = 3$
3. La tangente est périodique de période 180° :
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$
Réponse

x = 60° ou x = 240°. Pour 60°, les deux membres valent 1 ; pour 240°, ils valent −1.

$x = 6 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Calculez la valeur exacte de cos 105°.

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(√2 − √6)/4 ≈ −0,2588

$cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$
Calculez la valeur exacte de tan 105°.

Afficher la réponse

−2 − √3 ≈ −3,7321

$tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3$
sin A = 5/13 et cos B = 3/5, avec A et B aigus. Calculez cos(A − B).

Afficher la réponse

56/65 ≈ 0,8615

$cos (A - B) = \frac{56}{65}$
Exprimez sin 3x cos x − cos 3x sin x à l’aide d’une seule fonction trigonométrique.

Afficher la réponse

sin 2x

$sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = sin 2 x$
tan A = 3 et tan B = 1/2, avec A et B aigus. Déterminez A − B.

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A − B = 45°

$A - B = 4 5^{\circ}$
Résolvez cos(x − 60°) = sin x pour 0° ≤ x < 360°.

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x = 75° ou x = 255°

$x = 7 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$

Les formules traduisent une rotation 🖖

Par rapport à l’axe tourné d’un angle A, le point P forme un angle B. Pour l’atteindre, parcourez cos B le long de cet axe jusqu’à Q, puis sin B perpendiculairement. Chaque déplacement se décompose en une composante horizontale et une composante verticale. Horizontalement : cos A cos B, puis −sin A sin B. Verticalement : sin A cos B, puis cos A sin B. L’abscisse de P est cos(A + B), son ordonnée sin(A + B). Ce raisonnement n’exige aucun angle aigu : les produits portent les signes des composantes. Si une composante change de sens, son produit change de signe. Cliquez sur sin A = 4/5, cos B = −5/13 : A est obtus, B se situe dans le quadrant III et Q se trouve sur l’axe tourné, derrière O. Les mêmes sommes donnent bien les coordonnées de P : (0,9692 ; 0,2462). En langage matriciel, le vecteur (cos(A + B), sin(A + B)) s’obtient en appliquant la matrice de rotation d’angle A à (cos B, sin B). Les deux formules expriment ainsi une même propriété : une rotation d’angle A suivie d’une rotation d’angle B équivaut à une rotation d’angle A + B. Au deuxième siècle, Ptolémée utilisait les cordes plutôt que les sinus. Ses règles pour la corde d’une somme et d’une différence d’arcs correspondent aux deux formules du sinus ; elles lui ont permis de construire une table des cordes de demi-degré en demi-degré.

sin(A + B) ne vaut presque jamais sin A + sin B 🖖

Cliquez sur sin 75° = sin(45° + 30°). sin 45° + sin 30° = 0,7071 + 0,5 = 1,2071 dépasse la valeur maximale d’un sinus, alors que sin 75° = 0,9659. Dans la formule, chaque sinus est multiplié par le cosinus de l’autre angle, dont la valeur absolue ne dépasse pas 1. L’égalité n’a lieu que si A, B ou A + B correspond à un nombre entier de tours. La factorisation de la différence le montre exactement : sin A + sin B − sin(A + B) = 4 sin(A/2) sin(B/2) sin((A + B)/2). L’égalité est donc fausse pour presque tous les couples d’angles. Elle est toutefois vraie pour 120° et 240°, car A + B = 360° et les deux membres valent 0.

La formule peut échouer même si la tangente existe 🖖

Cliquez sur A = 90°, B = 45°. tan 135° = −1, mais la formule fait intervenir tan 90°, qui n’est pas définie : elle ne peut donc pas fournir de résultat. Cela vient de sa construction, qui comporte une division par cos A cos B, alors que cos 90° = 0. Lorsque tan A est définie et différente de 0, divisez le numérateur et le dénominateur par tan A. Vous obtenez (1 + cot A tan B)/(cot A − tan B), une expression qui reste définie pour A = 90° : cot 90° = 0 donne 1/(0 − 1) = −1. Il arrive aussi que la tangente elle-même ne soit pas définie. Cliquez sur tan A = 2, tan B = 1/2 : le dénominateur 1 − tan A tan B vaut 0. Ce dénominateur est égal à cos(A + B)/(cos A cos B) ; il s’annule donc exactement lorsque cos(A + B) s’annule. Ici, A + B = 90°, angle pour lequel la tangente n’est pas définie. Pour des angles aigus, tan A tan B = 1 signifie que B = 90° − A.

Parcours

Identités et équations trigonométriques

Références (2)

The sum and difference formulae for sine, cosine and tangent, the exact value of cos 75° from 45° + 30°, and the unit-circle distance proof of cos(α − β): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.2, “Sum and Difference Identities”.
Insight block 1: Ptolemy (about AD 85 to 165) “used formulae for the Crd function which are analogous to our formulae for sin(a+b) and sin(a−b)” to build a table of chords “at intervals of 1/2 a degree”, in the first two books of the Almagest: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Claudius Ptolemy”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (April 1999).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.