Dérivées partielles et gradient

Faites glisser le point sur la carte des courbes de niveau. Les deux dérivées partielles représentent les pentes le long des axes. Tournez le cadran de cap : la dernière valeur affichée correspond à la pente que vous ressentiriez en marchant dans cette direction.

Exemple résolu — Dérivées partielles et gradient

∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Plus forte pente \|∇f\|	5,000
Direction de la plus forte pente	53,1°
Pente dans cette direction	3,000

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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La colline est plus raide que toutes vos mesures 🖖

Placez-vous en (1, 1) sur la surface 1,5x² + 2y². Marchez droit vers l'est et le terrain monte de 3. Marchez vers le nord et il monte de 4. Aucune de ces deux valeurs ne représente la pente maximale en ce point. La plus forte pente vaut 5, selon un cap de 53,1°, et vous ne l'avez pas empruntée. Une dérivée partielle n'est rien d'autre que la pente le long d'un axe. La position de ces axes ne dépend que de la façon dont on a posé la feuille de papier. Ce qui les relie est le théorème de Pythagore et non une simple addition. La pente maximale vaut donc √(f_x² + f_y²) et elle surpasse toujours la plus grande des deux valeurs. Cet écart atteint son maximum lorsque les deux dérivées sont égales. Si vous mesurez 1 sur chaque axe, le sol monte en réalité de 1,414, soit 41 % de plus que ce qu'indiquait l'une ou l'autre mesure.

Toutes les directions à la fois, et un seul cosinus 🖖

Faites faire un tour complet au cadran et observez la pente affichée. Sa valeur suit un cosinus, |∇f| cos(θ − θ_g), où θ_g désigne la direction de plus forte pente. Tout le comportement local d’une surface régulière tient dans cette formule. La carte en montre une conséquence : partout où le gradient n’est pas nul, la pente s’annule dans deux directions, situées à un quart de tour de part et d’autre de la montée la plus raide. Ces deux directions sont tangentes à la courbe de niveau. Voilà pourquoi le chemin le plus raide sur une colline coupe les courbes de niveau à angle droit, et pourquoi une carte topographique se lit d’un coup d’œil. Ce même cosinus invalide un raccourci pourtant tentant. À 45° de la ligne de plus forte pente, vous montez encore à 71 % de la valeur du gradient, et non à sa moitié : couper en biais sur une colline fait gagner bien moins qu’il n’y paraît.

Plat dans les deux directions ne veut pas dire au sommet 🖖

Appuyez sur Ni maximum ni minimum. À l’origine de x² − y², les deux dérivées partielles sont nulles, mais le point n’est ni un maximum ni un minimum : sur l’axe des x, il occupe le fond d’une vallée ; sur l’axe des y, le sommet d’une crête. Appuyez maintenant sur Les deux axes horizontaux, qui correspond à la surface xy. Ici, les deux axes sont parfaitement horizontaux : le panneau des coupes trace une droite horizontale à 0°, puis à 90°. Pourtant, le point reste un point-selle. La montée et la descente se trouvent sur les diagonales, là où personne n’avait pensé à regarder. Les cas se distinguent par le discriminant f_xxf_yy − f_xy², égal à −4 pour la première surface et à −1 pour la seconde. S’il est négatif, il s’agit d’un point-selle ; s’il est positif, le point est un maximum ou un minimum, selon le signe de f_xx. Pour x³ − 3xy², le discriminant vaut 0 et le critère ne permet aucune conclusion. Trois secteurs de cette surface montent depuis l’origine et trois autres descendent, sans qu’aucune des dérivées secondes du calcul puisse les déceler.

Problèmes entièrement résolus

Pente d'une colline s'élevant de 3 mètres vers l'est et de 4 mètres vers le nord 6 étapes
Vous êtes sur une colline où le terrain monte de 3 mètres pour 100 parcourus vers l'est, et de 4 mètres pour 100 parcourus vers le nord. Quelle est la raideur de la colline, dans quelle direction descend-elle, et quel cap doit prendre une route pour monter à la moitié de cette pente ?
1. Ces deux mesures correspondent aux dérivées partielles. Les conserver sous la forme de 3 et 4 pour cent est plus lisible que 0,03 et 0,04, et ne change rien au problème.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. La pente maximale correspond à la norme du gradient. Elle n'est ni la somme de ses composantes, ni la plus grande des deux. Trois et quatre donnent cinq, et c'est ce cinq que le marcheur ressent.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. Son cap est donné par atan2(4, 3), soit 53,1° depuis l'est. La ligne de descente maximale part dans le sens opposé, à 233,1°. Aucune mesure n'avait été prise dans l'une ou l'autre de ces directions.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Pour une route à 2,5 pour cent, reprenez l'identité à l'envers. La pente selon un cap θ par rapport à la ligne de plus forte pente vaut 5 cos θ, donc cos θ = 2,5/5 et θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. Soixante, et non quarante-cinq. Une route à 45° monterait encore à 3,54 pour cent, ce qui représente 71 % de la pente maximale et reste bien loin de la moitié.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. La distance découle du même cosinus. Pour gagner une hauteur donnée avec une pente égale à la moitié du gradient, il faut parcourir une distance double, tant que la pente reste constante. C’est de ce facteur deux que naissent les lacets d’une route de montagne.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Réponse

La pente de la colline est de 5 m pour 100 m ; elle monte dans la direction 53,1° et descend dans la direction 233,1°. Une route limitée à 2,5 m pour 100 m doit s’écarter de 60° de la direction de plus forte pente et parcourir une distance double. L’outil répond à la première moitié du problème : orientez-le comme vous le souhaitez, il vous donne la pente. La seconde moitié consiste à remonter de la pente à la direction. C’est la question concrète que rencontrent l’ingénieur routier, les normes d’accessibilité des rampes et le classement des pistes de ski. Pour respecter la pente autorisée, quelle direction faut-il suivre ?
Le cap sans pente, et combien de temps il reste horizontal 6 étapes
En (1, 1) sur 1,5x² + 2y², le panneau place la pente sur un cap de 143,1° à 0,000. Calculez ce que fait le terrain si vous continuez dans cette direction, et décidez si ce cap est de ceux que l'on pourrait suivre pour rester à niveau.
1. Un quart de tour depuis le cap de plus forte pente, 53,1°. Les deux termes du produit scalaire ressortent à −2,4 et +2,4, donc la fiche de la pente affiche 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. Une pente nulle est une affirmation sur la dérivée première et sur rien d'autre. Prenez la seconde selon le même cap. C'est la forme quadratique bâtie sur les trois dérivées secondes, avec le même cosinus et le même sinus à l'intérieur.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. Sur cette surface, f_xx vaut 3, f_yy vaut 4 et la dérivée croisée 0, donc la dérivée seconde le long du cap horizontal vaut 3,36. Positive : le terrain se courbe vers le haut.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. La hauteur le long de cette droite est donc une parabole dont le point le plus bas est là où vous vous tenez. Une demi-unité plus loin, le terrain est monté de 0,42, de 3,5 à 3,92, et le panneau de coupe trace exactement cette courbe.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Transformez cela en propriété de la courbe de niveau. La courbe qui conserve réellement la hauteur s'écarte de la tangente d'une quantité égale à la dérivée seconde divisée par le gradient : 0,672, soit un rayon de 1,488.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. La formule usuelle de la courbure d'un ensemble de niveau donne le même nombre à partir des seules dérivées partielles, sans aucun cap à l'intérieur. Deux chemins, une réponse, et elle vaut exactement 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Réponse

Non. Ce cap est horizontal un instant, puis il monte. Parcourez une demi-unité et vous avez gagné 0,42, là où la dérivée première annonçait 0. Les deux caps de pente nulle sont les tangentes à la courbe de niveau et non la courbe elle-même, et rester à niveau suppose de tourner continûment, sur un cercle de rayon 1,488 en ce point. Le panneau vous donne la tangente ; la courbure dit jusqu'où il vaut la peine de s'y fier.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

Trois est, quatre nord - Au point (1, 1), le terrain monte de 3 vers l'est et de 4 vers le nord. En direction de l'est, la pente affichée est de 3. La plus forte pente existante ici est de 5, selon un cap de 53,1°, et aucune de ces deux mesures ne pointait dans cette direction.
Sur la courbe de niveau - Le même point et le même gradient de 5, mais la pente indique maintenant 0. Un cap de 143,1° longe la courbe de niveau, qui croise la direction de plus forte pente à angle droit.
Ni sommet ni creux - Les deux dérivées partielles sont nulles et le point n'est ni un sommet ni un creux. Le discriminant vaut −4. À un cap de 0°, la coupe montre le fond d'une vallée ; à 90°, ce même point devient le sommet d'une crête.
Deux axes horizontaux - Sur xy, les deux axes sont parfaitement horizontaux (le panneau de coupe trace une ligne plate à 0° puis à 90°) et le point reste un col, avec un discriminant de −1. La montée et la descente se trouvent sur les diagonales.
Le test ne répond pas - Toutes les dérivées secondes s’annulent ici : le discriminant vaut donc 0 et le critère ne permet aucune conclusion. Depuis ce point, trois secteurs montent et trois autres descendent.