Explorateur de Séries de Taylor

approximation locale avec contrôle du degré et du centre

Exemple résolu — Explorateur de Séries de Taylor

Termes	0.83333
Valeur exacte	0.84147
Erreur absolue	0.0081377

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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pourquoi Taylor est local, pas global 🖖

Un polynôme de Taylor est construit à partir des dérivées en un seul point, il capture donc la géométrie locale de la fonction à cet endroit précis. Plus loin, les mêmes coefficients peuvent cesser de bien décrire la fonction : l'erreur dépend de la régularité de la fonction, du degré et du rayon de convergence.

Reconstruire une courbe dérivée par dérivée 🖖

Cet outil reconstruit une fonction courbe à l'aide des seules additions, multiplications et puissances — les opérations qu'un processeur sait réellement exécuter. Le terme de degré 0 égale la hauteur de la fonction au centre, le degré 1 sa pente, le degré 2 sa courbure, et chaque terme supplémentaire fixe une dérivée de plus. Augmente le degré n et observe le polynôme en pointillés épouser de plus en plus la courbe pleine près du centre a.

Quand la régularité ne suffit pas 🖖

On pourrait croire qu'une fonction indéfiniment dérivable est toujours capturée par un polynôme de Taylor de degré assez élevé — ce n'est pourtant pas garanti. Le contre-exemple classique est f(x)=e^−1/x² (avec f(0)=0) : toutes ses dérivées en 0 valent zéro, donc son polynôme de Taylor autour de 0 vaut 0 à tout degré, alors que la fonction est positive partout ailleurs. Ajouter des termes n'aide jamais. Être 'lisse' (toutes les dérivées existent) est plus faible qu'être 'analytique' (vraiment égale à sa propre série).

SÉRIES DE TAYLOR — JUSQU'OÙ PEUT-ON ENCORE LEUR FAIRE CONFIANCE

Dans quel cas de Taylor êtes-vous ?

Un polynôme de Taylor épouse la valeur et les n premières dérivées d'une fonction en un point, puis s'en écarte dès qu'on s'éloigne. Deux choses fixent la vitesse de cet écart : la rapidité avec laquelle les coefficients décroissent, et la présence d'une singularité à proximité. Ajouter des termes aide à l'intérieur du rayon de convergence et ne sert absolument à rien à l'extérieur — et déplacer le centre rapporte souvent davantage que d'ajouter des termes.

Bonne près du centre, inutile loin ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Les factorielles gagnent — la série converge partout xⁿ/n! → 0, R = ∞

Un rayon de convergence — au-delà, les termes n'aident plus ln(1 + x): R = 1

Déplacer le centre — moins cher qu'ajouter des termes Δa ≠ 0, Δn = 0

Bonne près du centre, inutile loin

Ce que vous savez: Un développement de bas degré d'une fonction bien élevée. Précis près du centre, avec une erreur qui grandit vite quand on s'éloigne.

Série: ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Exemple résolu: sin x ≈ x − x³/6 donne en x = 1 la valeur 0,8333 contre 0,8415 — une erreur de 0,008. En x = 3, il donne −1,5 contre 0,141

Ouvrir ce cas: sin près de 0

Bonne près du centre, inutile loin. La cubique suit le sinus sur environ un radian, puis part dans la mauvaise direction. Un développement de bas degré d'une fonction bien élevée. Précis près du centre, avec une erreur qui grandit vite quand on s'éloigne. — La cubique suit le sinus sur environ un radian, puis part dans la mauvaise direction.

Les factorielles gagnent — la série converge partout

Ce que vous savez: Les coefficients portent une factorielle au dénominateur : ils décroissent plus vite que n'importe quelle puissance ne croît. Le rayon de convergence est infini.

Série: xⁿ/n! → 0, R = ∞

Exemple résolu: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120 donne en x = 1 la valeur 2,71667 contre e = 2,71828 — cinq termes, quatre décimales justes

Ouvrir ce cas: exp rapide

Les factorielles gagnent — la série converge partout. Cinq termes tracent déjà l'exponentielle sur toute la plage visible. Les coefficients portent une factorielle au dénominateur : ils décroissent plus vite que n'importe quelle puissance ne croît. Le rayon de convergence est infini. — Cinq termes tracent déjà l'exponentielle sur toute la plage visible.

Un rayon de convergence — au-delà, les termes n'aident plus

Ce que vous savez: La fonction possède une singularité à distance finie du centre. En deçà la série converge ; au-delà elle diverge, quel que soit le nombre de termes.

Série: ln(1 + x): R = 1

Exemple résolu: ln(1 + x) avec six termes donne en x = 0,8 la valeur 0,5701 contre 0,5878 — encore convergent, lentement. En x = 1,2 les termes grossissent et la somme s'échappe

Ouvrir ce cas: ln en bord de domaine

Un rayon de convergence — au-delà, les termes n'aident plus. À l'intérieur du rayon le polynôme suit la courbe ; au-delà, il la quitte pour de bon. La fonction possède une singularité à distance finie du centre. En deçà la série converge ; au-delà elle diverge, quel que soit le nombre de termes. — À l'intérieur du rayon le polynôme suit la courbe ; au-delà, il la quitte pour de bon.

Déplacer le centre — moins cher qu'ajouter des termes

Ce que vous savez: Vous voulez de la précision en un point éloigné du centre de la série. Redévelopper autour d'un point plus proche ne coûte aucun degré supplémentaire.

Série: Δa ≠ 0, Δn = 0

Exemple résolu: Degré 4 pour cos x en x = 2 : centré en 0 il donne −0,333 contre −0,416 ; centré en 1 il donne −0,4086, une erreur onze fois plus petite

Ouvrir ce cas: centre décalé

Déplacer le centre — moins cher qu'ajouter des termes. Même degré, autre centre : le développement autour de 1 colle à la courbe en x = 2. Vous voulez de la précision en un point éloigné du centre de la série. Redévelopper autour d'un point plus proche ne coûte aucun degré supplémentaire. — Même degré, autre centre : le développement autour de 1 colle à la courbe en x = 2.

Problème entièrement résolu

Approximation de sin 1 par le polynôme de Maclaurin de degré 3 et majoration de l'erreur 5 étapes
Approchez sin 1 à l'aide du polynôme de Maclaurin de degré 3, et bornez l'erreur avant de consulter la vraie valeur. Une borne d'erreur que l'on ne peut calculer qu'une fois la réponse connue ne vaut rien.
1. Maclaurin a besoin des dérivées en 0, et le sinus les parcourt de manière cyclique avec une période de quatre. Deux des quatre premières sont nulles, c'est pourquoi le polynôme est finalement si court.
  
  $f (x) = sin x : f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 0, f^{'''} (0) = - 1$
2. Ainsi, P₃ comporte deux termes, et le x³/6 constitue l'intégralité de la correction. Il fait passer 1 à 0,83333 — une diminution de près de 17 %, ce qui laisse déjà présager que le terme suivant ne sera pas négligeable non plus.
  
  $P_{3} (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} ⟹ P_{3} (1) = 1 - \frac{1}{6} = 0.83333$
3. C'est l'étape qui justifie toute cette section. La série du sinus est alternée avec des termes qui décroissent, de sorte que l'erreur de troncature est plus petite que le premier terme omis. Ce terme est x⁵/120, et son calcul ne nécessite absolument aucune connaissance de sin 1.
  
  $∣ R_{3} ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{5 !} = \frac{1}{120} = 0.0083333$
4. Vérifions maintenant la promesse. La valeur exacte est 0,84147, donc l'erreur réelle est de 0,0081377 — et elle se situe bien en dessous du 0,0083333 qui était garanti à l'avance.
  
  $sin 1 = 0.84147 ⟹ ∣ sin 1 - P_{3} (1) ∣ = 0.0081377$
5. La borne est fine, et l'on comprend pourquoi. L'erreur correspond à toute la queue de série omise, et cette queue est elle aussi alternée : 1/5! surestime, soustraire 1/7! surestime dans l'autre sens, et 1/9! permet d'aboutir. Trois termes reproduisent déjà l'erreur affichée chiffre par chiffre.
  
  $\frac{1}{5 !} - \frac{1}{7 !} + \frac{1}{9 !} - \dots = 0.0081377, \frac{0.0083333}{0.0081377} = 1.0240$
Réponse

P₃(1) = 0,83333 contre une valeur réelle de 0,84147, soit une erreur de 0,0081377 — toutes trois affichées sur le panneau ci-dessus. Ce que le panneau ne peut pas montrer, c'est l'ordre dans lequel ces nombres sont arrivés. 1/120 = 0,0083333 était disponible avant même de connaître sin 1, et ne surestimait l'erreur réelle que de 2,4 %. C'est la différence entre une approximation et une conjecture : une approximation s'accompagne d'un certificat. Portez le degré à 5 et le même raisonnement vous donne 1/5040 — trois décimales garanties avant même de calculer le moindre chiffre de la réponse.

$P_{3} (1) = 0.83333, ∣ R_{3} ∣ \leq \frac{1}{120} first, then 0.0081377$

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Mène à Plus d'une direction la même construction au-delà du premier terme, avec un reste que vous pouvez majorer plutôt que de vous en remettre au hasard.

Références (1)

What turns “local” from a caution into a quantity — the remainder term: U. Abel, "On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula." The American Mathematical Monthly 110(7), 627–633, 2003.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

sin près de 0 - Un développement de sin de faible degré est précis près de x=0.
exp rapide - La série de Taylor de la fonction exponentielle converge rapidement autour de 0.
ln en bord de domaine - La série du logarithme perd en précision près du bord du rayon de convergence.
centre décalé - Changer le centre du développement améliore l'approximation locale ailleurs.