Explorateur de Séries de Taylor

Choisissez une fonction, un centre a et un degré n. Le polynôme en pointillés a la même valeur et les mêmes n premières dérivées que f en a. Le segment orange en x mesure l'écart entre les deux courbes ; la majoration de Lagrange indique jusqu'où cet écart pourrait aller.

Formule de Taylor	$P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}$
Reste de Lagrange	$R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}, ξ \in (a, x) ∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$
Séries à connaître	$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \dots$

Exemple résolu — Explorateur de Séries de Taylor

Dérivées en a	0, 1, 0, −1
Valeur du polynôme en x	0,833333
Valeur de la fonction en x	0,841471
Erreur	0,0081377
Majoration de Lagrange	0,035061

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur de Séries de Taylor

Le polynôme de Taylor de degré n de f en a est le polynôme qui a la même valeur et les mêmes n premières dérivées que f en a : P_n(x) = Σ f^(k)(a)(x − a)^k/k!, la somme allant de k = 0 à n. Lorsque a = 0, on l'appelle aussi polynôme de Maclaurin.

Ce que signifie chaque symbole

a: le centre, où Pₙ et f coïncident
n: le degré : le nombre de dérivées qui coïncident
Rₙ(x): le reste, f(x) − Pₙ(x)

D’où vient la formule

Retrouvez d'abord la valeur, puis la pente. P₀ = f(a) donne l'ordonnée en a. En ajoutant f′(a)(x − a), vous obtenez P₁, l'équation de la tangente étudiée dans la page sur la dérivée.
$P_{1} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
D'où vient k! ? Dérivez c_k(x − a)^k k fois : il reste c_k·k!, tandis que tous les autres termes s'annulent en a. Pour retrouver f^(k)(a), il faut donc choisir le coefficient f^(k)(a)/k!.
$\frac{d ^{k}}{d x ^{k}} c_{k} (x - a)^{k} = c_{k} k! \Rightarrow c_{k} = \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !}$
Appliquez la méthode à sin x en 0. Les dérivées en 0 suivent le cycle 0, 1, 0, −1. Seules les puissances impaires subsistent, avec des signes alternés.
$sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$
Majorez l'erreur. Le reste de Lagrange fait intervenir la dérivée d'ordre n + 1 en un point inconnu ξ situé entre a et x. Remplacez sa valeur absolue par M, son maximum sur cet intervalle : vous obtenez une majoration sans avoir besoin de connaître f(x).
$∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{∣ f ^{(n + 1)} ( ξ ) ∣}{( n + 1 )!} ∣ x - a ∣^{n + 1} \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$
Construisez de nouvelles séries à partir de celles que vous connaissez. Vous pouvez effectuer une substitution, multiplier deux séries ou intégrer terme à terme pour éviter de nouvelles dérivations. Ainsi, le développement de e^−x² s'obtient à partir de celui de e^u en posant u = −x².
$e^{- x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2 !} - \frac{x ^{6}}{3 !} + \dots$

L'écart de pente de la sécante était un terme de Taylor 🖖

Dans la page sur la dérivée, la pente de la sécante différait de celle de la tangente d'environ ½f″(x)·h. Développez f(x + h) = f(x) + f′(x)h + ½f″(x)h² + ⋯, retranchez f(x), puis divisez par h : la pente de la sécante vaut f′(x) + ½f″(x)h + ⋯. L'écart correspond au terme suivant du développement. La même méthode éclaire la page sur les sommes de Riemann. En développant f autour du milieu d'une bande, vous obtenez un terme en f′ impair par rapport à ce point : son intégrale sur la bande est donc nulle. Pour la méthode du point milieu, il reste une erreur liée à f″, d'ordre h³ par bande, tandis que la méthode des rectangles à gauche conserve une erreur liée à f′, d'ordre h².

Lisse partout, sans être égale à sa série 🖖

En 1797, Lagrange fonde sa présentation du calcul différentiel sur l'hypothèse que toute fonction est égale à sa série de Taylor. En 1823, Cauchy donne le contre-exemple f(x) = e^−1/x², avec f(0) = 0. Cette fonction admet des dérivées de tout ordre, toutes nulles en x = 0. Son polynôme de Taylor en 0 est donc nul à tout degré, alors que la fonction est strictement positive pour tout x ≠ 0. Ajouter des termes n'y change rien. Une fonction qui admet des dérivées de tout ordre est dite lisse. Si elle est égale à sa série de Taylor au voisinage de chaque point, elle est dite analytique. La première propriété n'implique pas la seconde.

SÉRIES DE TAYLOR : JUSQU'OÙ S'ÉLOIGNER DU CENTRE ?

Quel cas de figure rencontrez-vous ?

Un polynôme de Taylor a la même valeur et les mêmes n premières dérivées que la fonction en un point, puis s'en écarte à mesure que l'on s'éloigne. La rapidité de cet écart dépend de la décroissance des coefficients et de la présence éventuelle d'une singularité à proximité. Ajouter des termes améliore l'approximation à l'intérieur du rayon de convergence ; à l'extérieur, cela ne suffit pas. Déplacer le centre est souvent plus efficace.

Précis près du centre, inutilisable au loin ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

La factorielle l'emporte : la série converge partout xⁿ/n! → 0, R = ∞

Au-delà du rayon de convergence, ajouter des termes ne suffit plus ln(1 + x): R = 1

Déplacer le centre pour gagner en précision sans augmenter le degré Δa ≠ 0, Δn = 0

Précis près du centre, inutilisable au loin

Ce que vous savez: Vous disposez d'un développement de faible degré d'une fonction régulière. L'approximation est précise près du centre, mais l'erreur augmente vite quand vous vous en éloignez.

Série: ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Exemple résolu: En x = 1, sin x ≈ x − x³/6 donne 0,8333, contre une valeur exacte de 0,8415, soit une erreur de 0,008. En x = 3, il donne −1,5, contre 0,141

Explorer ce cas: sin x, degré 3

Précis près du centre, inutilisable au loin. Le polynôme de degré trois suit le sinus jusqu'à environ un radian, puis part dans une tout autre direction. Vous disposez d'un développement de faible degré d'une fonction régulière. L'approximation est précise près du centre, mais l'erreur augmente vite quand vous vous en éloignez. — Le polynôme de degré trois suit le sinus jusqu'à environ un radian, puis part dans une tout autre direction.

La factorielle l'emporte : la série converge partout

Ce que vous savez: Les coefficients ont une factorielle au dénominateur. Ils décroissent donc plus vite que ne croît toute puissance. Le rayon de convergence est infini.

Série: xⁿ/n! → 0, R = ∞

Exemple résolu: En x = 1, eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120 donne 2,71667, contre e = 2,71828 : six termes pour trois chiffres exacts

Explorer ce cas: eˣ, degré 5

La factorielle l'emporte : la série converge partout. Au degré 5, le polynôme suit déjà l'exponentielle sur tout l'intervalle visible. Les coefficients ont une factorielle au dénominateur. Ils décroissent donc plus vite que ne croît toute puissance. Le rayon de convergence est infini. — Au degré 5, le polynôme suit déjà l'exponentielle sur tout l'intervalle visible.

Au-delà du rayon de convergence, ajouter des termes ne suffit plus

Ce que vous savez: La fonction présente une singularité à distance finie du centre. La série converge à l'intérieur de ce rayon et diverge à l'extérieur, quel que soit le nombre de termes retenus.

Série: ln(1 + x): R = 1

Exemple résolu: Avec six termes, le développement de ln(1 + x) en x = 0,8 donne 0,5701, contre 0,5878 : la convergence est lente. En x = 1,2, les termes grossissent et la somme s'emballe

Explorer ce cas: ln(1 + x), au bord

Au-delà du rayon de convergence, ajouter des termes ne suffit plus. À l'intérieur du rayon, le polynôme suit la courbe. Au-delà, il s'en écarte sans retour. La fonction présente une singularité à distance finie du centre. La série converge à l'intérieur de ce rayon et diverge à l'extérieur, quel que soit le nombre de termes retenus. — À l'intérieur du rayon, le polynôme suit la courbe. Au-delà, il s'en écarte sans retour.

Déplacer le centre pour gagner en précision sans augmenter le degré

Ce que vous savez: Vous cherchez une approximation précise en un point éloigné du centre. Reprendre le développement autour d'un point plus proche permet de conserver le même degré.

Série: Δa ≠ 0, Δn = 0

Exemple résolu: Pour cos x en x = 2, au degré 4, le développement centré en 0 donne −0,333, contre −0,416. Centré en 1, il donne −0,4086 : l'erreur est onze fois plus petite

Explorer ce cas: cos x autour de 1

Déplacer le centre pour gagner en précision sans augmenter le degré. À degré égal, le centre change tout : le développement autour de 1 épouse la courbe en x = 2. Vous cherchez une approximation précise en un point éloigné du centre. Reprendre le développement autour d'un point plus proche permet de conserver le même degré. — À degré égal, le centre change tout : le développement autour de 1 épouse la courbe en x = 2.

Problèmes entièrement résolus

Approcher sin 1 par le polynôme de Maclaurin de degré 3 et majorer l'erreur 5 étapes
Approchez sin 1 par le polynôme de Maclaurin de degré 3 et majorez l'erreur avant de consulter la valeur exacte. Une majoration qu'on ne peut calculer qu'une fois la réponse connue ne sert à rien.

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1. Le développement de Maclaurin utilise les dérivées en 0. Celles du sinus se répètent selon un cycle de quatre, dont deux valeurs sont nulles. Le polynôme ne garde donc que peu de termes.
  
  $f (x) = sin x : f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 0, f^{'''} (0) = - 1$
2. P₃ comporte ainsi deux termes, et toute la correction tient dans x³/6. Elle fait passer 1 à 0,83333, soit une baisse de près de 17 %. Cela laisse déjà prévoir que le terme suivant ne sera pas négligeable.
  
  $P_{3} (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} ⟹ P_{3} (1) = 1 - \frac{1}{6} = 0.83333$
3. La série du sinus est alternée et ses termes décroissent en valeur absolue : l'erreur de troncature est donc inférieure au premier terme omis. Ce terme vaut x⁵/120. Vous pouvez le calculer sans rien connaître de la valeur de sin 1.
  
  $∣ R_{3} ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{5 !} = \frac{1}{120} = 0.0083333$
4. Vérifiez maintenant la garantie obtenue. La valeur exacte est 0,84147 ; l'erreur réelle vaut donc 0,0081377. Elle est bien inférieure à la majoration de 0,0083333 calculée à l'avance.
  
  $sin 1 = 0.84147 ⟹ ∣ sin 1 - P_{3} (1) ∣ = 0.0081377$
5. La majoration est proche de l'erreur réelle. Pour comprendre pourquoi, regardez la somme de tous les termes omis : elle aussi est alternée. Le terme 1/5! donne une valeur trop grande ; en retranchant 1/7!, on passe en dessous ; l'ajout de 1/9! affine encore le résultat. Trois termes suffisent à retrouver, chiffre pour chiffre, l'erreur affichée.
  
  $\frac{1}{5 !} - \frac{1}{7 !} + \frac{1}{9 !} - \dots = 0.0081377, \frac{0.0083333}{0.0081377} = 1.0240$
Réponse

P₃(1) = 0,833333, contre une valeur exacte de 0,841471, soit une erreur de 0,0081377. L'essentiel est l'ordre dans lequel ces nombres ont été obtenus : vous disposiez de 1/120 = 0,0083333 avant de connaître sin 1, et cette majoration ne dépasse l'erreur réelle que de 2,4 %. Une approximation assortie d'une telle garantie apporte davantage qu'une valeur simplement proche. La ligne « Majoration de Lagrange » affiche 0,035061 au degré 3, car le calcul traite P₃ comme un polynôme de degré 3. Passez au degré 4 : pour le sinus, le polynôme reste identique et Lagrange donne également 1/120. Au degré 5, le même raisonnement donne 1/5040 ; la ligne de Lagrange l'affiche au degré 6, qui correspond au même polynôme. Vous obtenez ainsi une précision garantie à trois décimales avant même d'avoir calculé la réponse.

$P_{3} (1) = 0.83333, ∣ R_{3} ∣ \leq \frac{1}{120} first, then 0.0081377$
Estimer √e en majorant d'abord l'erreur 4 étapes
Utilisez le polynôme de Maclaurin de degré 4 de eˣ pour estimer √e, puis majorez l'erreur sans utiliser la valeur de e^0,5.

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1. Toutes les dérivées de eˣ sont égales à eˣ et valent donc 1 en 0. Chaque coefficient vaut ainsi 1/k! :
  
  $P_{4} (x) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{4}}{24}$
2. En x = 0,5 :
  
  $P_{4} (0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + \frac{0.125}{6} + \frac{0.0625}{24} = \frac{211}{128} = 1.6484375$
3. La majoration de Lagrange demande M, le maximum de la dérivée cinquième eᵗ pour t compris entre 0 et 0,5. Sans connaître e^0,5, utilisez e < 3, d'où e^0,5 < √3 < 2 :
  
  $∣ R_{4} (0.5) ∣ \leq \frac{M ( 0.5 ) ^{5}}{5 !} < \frac{2 \cdot 0.03125}{120} = 0.00052083$
4. La page utilise la valeur exacte M = e^0,5 pour obtenir une majoration plus fine. Elle affiche ensuite l'erreur réelle, inférieure aux deux majorations :
  
  $\frac{1.648721 \cdot 0.03125}{120} = 0.00042935, e - P_{4} (0.5) = 0.00028377$
Réponse

√e ≈ 1,648438, avec une erreur inférieure à 0,00052 garantie par la seule inégalité e < 3. L'erreur réelle vaut 0,00028377. Une valeur de M moins précise fournit toujours une majoration ; la garantie est simplement moins fine.
Un polynôme de Taylor centré ailleurs qu'en 0 4 étapes
Déterminez le polynôme de Taylor de degré 2 de √x en 4, utilisez-le pour estimer √4,1 et majorez l'erreur.

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1. Les dérivées en 4 :
  
  $f (4) = 2, f^{'} (4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{- 1/2} = \frac{1}{4}, f^{''} (4) = - \frac{1}{4} \cdot 4^{- 3/2} = - \frac{1}{32}$
2. Divisez chacune par k! :
  
  $P_{2} (x) = 2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{( x - 4 ) ^{2}}{64}$
3. En x = 4,1, x − 4 = 0,1 :
  
  $P_{2} (4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$
4. La dérivée troisième, (3/8)x^−5/2, atteint son maximum à l'extrémité gauche de [4 ; 4,1], où elle vaut 3/256 :
  
  $∣ R_{2} (4.1) ∣ \leq \frac{\frac{3}{256} ( 0.1 ) ^{3}}{3 !} = 1.9531 \times 1 0^{- 6}$
Réponse

√4,1 ≈ 2,024844, avec une erreur inférieure à 1,9531 × 10⁻⁶. L'erreur réelle vaut 1,9231 × 10⁻⁶. Elle est proche de la majoration, car la dérivée troisième varie très peu entre 4 et 4,1. Le développement est centré en 4 parce que √x y est facile à calculer. En 0, cette fonction n'admet aucun polynôme de Taylor au-delà du degré 0, faute d'y être dérivable.
Obtenir une série par substitution, puis l'intégrer 4 étapes
Déterminez le développement de Maclaurin de e^−x² jusqu'au terme en x⁶, puis utilisez-le pour estimer l'intégrale de e^−x² de 0 à 0,5.

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1. Dériver e^−x² six fois serait laborieux. Remplacez plutôt u par −x² dans la série de eᵘ :
  
  $e^{u} = 1 + u + \frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{3}}{6} + \dots \Rightarrow e^{- x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2} - \frac{x ^{6}}{6} + \dots$
2. Comparez avec les valeurs de la page en x = 0,5 :
  
  $P_{6} (0.5) = 1 - 0.25 + 0.03125 - 0.0026042 = 0.778646$
3. Intégrez terme à terme de 0 à 0,5 :
  
  $\int_{0}^{0.5} (1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2} - \frac{x ^{6}}{6}) d x = 0.5 - \frac{0.125}{3} + \frac{0.03125}{10} - \frac{0.0078125}{42} = 0.461272$
4. Les termes alternent et décroissent en valeur absolue. L'erreur est donc inférieure au premier terme omis, issu de x⁸/4! :
  
  $\int_{0}^{0.5} \frac{x ^{8}}{4 !} d x = \frac{( 0.5 ) ^{9}}{216} = 0.0000090$
Réponse

L'intégrale vaut environ 0,461272, à 0,0000090 près. Sa valeur exacte est 0,461281. Cette intégrale ne s'exprime pas à l'aide des fonctions élémentaires ; on peut la calculer au moyen d'une série ou d'une somme de Riemann.
Calculer une limite à l'aide d'une série 2 étapes
Déterminez la limite de (sin x − x)/x³ lorsque x → 0.
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1. Remplacez sin x par sa série : les termes en x s'annulent.
  
  $\frac{sin x - x}{x ^{3}} = \frac{( x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots ) - x}{x ^{3}}$
2. Divisez chaque terme restant par x³ :
  
  $= - \frac{1}{6} + \frac{x ^{2}}{120} - \dots x \to 0 - \frac{1}{6}$
Réponse

La limite vaut −1/6. La règle de l'Hôpital donne le même résultat après trois dérivations successives. La série fournit immédiatement la réponse et précise la vitesse à laquelle le quotient s'en approche : le terme suivant est x²/120.
Lire une dérivée d'ordre élevé dans une série 2 étapes
Calculez la dérivée cinquième de f(x) = x²eˣ en x = 0.

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1. Multipliez la série de eˣ par x² :
  
  $x^{2} e^{x} = x^{2} + x^{3} + \frac{x ^{4}}{2} + \frac{x ^{5}}{6} + \dots$
2. Le coefficient de x⁵ vaut f⁽⁵⁾(0)/5!, donc :
  
  $\frac{f ^{(5)} ( 0 )}{5 !} = \frac{1}{6} \Rightarrow f^{(5)} (0) = \frac{120}{6} = 20$
Réponse

f⁽⁵⁾(0) = 20. Appliquer cinq fois la formule de dérivation d'un produit donne le même résultat, au prix de calculs bien plus longs. La première ligne de la page affiche les six valeurs des dérivées en 0 : 0, 0, 2, 6, 12, 20.
Combien de termes pour une précision à six décimales ? 3 étapes
Combien de termes de la série de Maclaurin de eˣ faut-il pour calculer e avec une erreur inférieure à 0,0000005 ?

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1. En x = 1, la majoration de Lagrange au degré n vaut M/(n + 1)!, où M est le maximum de eᵗ sur [0 ; 1], soit e < 3 :
  
  $∣ R_{n} (1) ∣ \leq \frac{e}{( n + 1 )!} < \frac{3}{( n + 1 )!}$
2. Cherchez le premier n pour lequel cette quantité passe sous 0,0000005 :
  
  $\frac{3}{10 !} = 8.3 \times 1 0^{- 7} > 5 \times 1 0^{- 7}, \frac{3}{11 !} = 7.5 \times 1 0^{- 8} < 5 \times 1 0^{- 7}$
3. On obtient n = 10, soit onze termes en comptant le terme constant. Au degré 10, la page donne :
  
  $P_{10} (1) = 2.718282, \frac{e}{11 !} = 6.81 \times 1 0^{- 8}, ∣ e - P_{10} (1) ∣ = 2.73 \times 1 0^{- 8}$
Réponse

Degré 10 : onze termes. La majoration au degré 9, qui vaut 7,4909 × 10⁻⁷, ne suffit pas à garantir la précision demandée. Pourtant, l'erreur réelle, 3,0289 × 10⁻⁷, aurait convenu. La majoration détermine ce que vous pouvez promettre à l'avance ; constater que le degré 9 suffit demande ici de connaître la valeur de e.

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Références (1)

What turns “local” from a caution into a quantity — the remainder term: U. Abel, "On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula." The American Mathematical Monthly 110(7), 627–633, 2003.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.