Explorateur de Séries de Taylor

Un polynôme de Taylor est construit à partir des dérivées en un seul point, il capture donc la géométrie locale de la fonction à cet endroit précis. Plus loin, les mêmes coefficients peuvent cesser de bien décrire la fonction : l'erreur dépend de la régularité de la fonction, du degré et du rayon de convergence.

Cet outil reconstruit une fonction courbe à l'aide des seules additions, multiplications et puissances — les opérations qu'un processeur sait réellement exécuter. Le terme de degré 0 égale la hauteur de la fonction au centre, le degré 1 sa pente, le degré 2 sa courbure, et chaque terme supplémentaire fixe une dérivée de plus. Augmente le degré n et observe le polynôme en pointillés épouser de plus en plus la courbe pleine près du centre a.

On pourrait croire qu'une fonction indéfiniment dérivable est toujours capturée par un polynôme de Taylor de degré assez élevé — ce n'est pourtant pas garanti. Le contre-exemple classique est f(x)=e−1/x² (avec f(0)=0) : toutes ses dérivées en 0 valent zéro, donc son polynôme de Taylor autour de 0 vaut 0 à tout degré, alors que la fonction est positive partout ailleurs. Ajouter des termes n'aide jamais. Être 'lisse' (toutes les dérivées existent) est plus faible qu'être 'analytique' (vraiment égale à sa propre série).