Explorateur de Dérivées et Tangentes

La dérivée est la pierre angulaire de l'analyse des systèmes dynamiques. En évaluant la limite du taux d'accroissement vers zéro, nous calculons le taux de variation instantané exact. Cette approximation linéaire locale est fondamentale.

Prenez une courbe lisse, zoomez suffisamment et la courbure disparaît : localement, elle ressemble à une droite. La dérivée n'est rien d'autre que la pente de cette droite, et en faisant glisser le point ici, vous la lisez directement. Le compteur de vitesse d'une voiture fonctionne de la même façon : il indique à quelle vitesse votre position change en cet instant, pas la vitesse moyenne du trajet. Glissez le point au sommet de la parabole et la pente atteint 0 : ce point plat marque un maximum ou un minimum.

Chaque fonction ici possède une tangente nette, mais ce n'est pas le cas de toutes. En 1872, Karl Weierstrass construisit une fonction continue partout mais dont la pente n'est définie nulle part — infiniment dentelée à toute échelle, si bien qu'aucune tangente ne peut jamais s'établir. Cela stupéfia les mathématiciens, qui supposaient qu'une courbe continue d'apparence lisse devait avoir des tangentes presque partout. Cette même rugosité non dérivable réapparut ensuite dans la nature : les trajectoires du mouvement brownien et les contours des côtes se comportent exactement ainsi.