Explorateur de Dérivées et Tangentes

Choisissez une courbe et un point. La sécante orange passe par ce point et par un second, décalé de h en abscisse. Réduisez h : la pente de la sécante tend vers celle de la tangente, qui est le nombre dérivé.

La dérivée	$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
La tangente en a	$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
Les dérivées de cette page	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} (e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} (sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x$

Exemple résolu — Explorateur de Dérivées et Tangentes

Valeur de la fonction en x	1
Valeur de la fonction en x + h	1,21
Pente de la sécante	2,1
Dérivée, pente de la tangente	2
Pente de la sécante moins dérivée	0,1
La tangente	2x − 1
La normale	−0,5x + 1,5

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur de Dérivées et Tangentes

Le nombre dérivé de f en x est la pente de la tangente à sa courbe en ce point. Il est défini par la limite des pentes des sécantes : f′(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h lorsque h → 0, si cette limite existe.

Ce que signifie chaque symbole

h: le pas en abscisse entre x et le second point de la sécante
f′(x): le nombre dérivé : la pente de la tangente en x

D’où vient la formule

Une sécante. Deux points de la courbe, d’abscisses x et x + h, déterminent une droite : la sécante tracée en orange. Sa pente est le rapport de la variation des ordonnées à celle des abscisses.
$m_{chord} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Réduisez h. Pour f(x) = x², la pente de la sécante vaut exactement 2x + h. Elle tend donc vers 2x lorsque h tend vers 0. On ne peut pas poser h = 0 dans le quotient initial, qui prendrait la forme 0/0. La limite décrit la valeur dont ce quotient se rapproche lorsque le pas tend vers zéro.
$\frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = 2 x + h h \to 0 2 x$
La tangente et la normale. La tangente en a passe par (a ; f(a)) et a pour pente f′(a). La normale lui est perpendiculaire en ce point : sa pente est donc l’opposé de l’inverse de f′(a), soit −1/f′(a). Lorsque f′(a) = 0, la normale est la droite verticale d’équation x = a.
$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) y = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) + f (a)$
Quand la dérivée n’existe pas. Si les pentes des sécantes tendent vers des valeurs différentes à gauche et à droite, la fonction n’est pas dérivable. Au point anguleux de la courbe de |x| en 0, ces limites valent respectivement −1 et 1.
$h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h} = - 1 \neq = 1 = h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h}$

Un point plat n’est pas toujours un sommet ni un creux 🖖

Lorsque la dérivée est nulle, la tangente est horizontale. Cela ne garantit ni maximum ni minimum. Cliquez sur Inflexion de x³ : la pente affichée vaut 0, et pourtant la courbe monte de part et d’autre de ce point, où elle marque seulement un palier. C’est un point d’inflexion. Dans un problème d’optimisation, chercher où la dérivée s’annule ne représente donc que la moitié du travail. Il faut ensuite examiner le signe de la dérivée de chaque côté : sa valeur en un seul point ne permet pas de distinguer un sommet d’un palier d’escalier.

Une courbe sans tangente en aucun point 🖖

Les six courbes proposées ont une tangente en chacun de leurs points. Une fonction continue peut pourtant n’en avoir nulle part. En 1872, Karl Weierstrass a construit une fonction continue partout, mais dont la courbe n’a de pente en aucun point : elle reste dentelée à toutes les échelles, si bien que les sécantes ne se stabilisent jamais. Les mathématiciens en furent surpris. Ils pensaient alors, comme Ampère avait tenté de le démontrer en 1806, qu’une courbe continue admettait une tangente sauf en des points isolés. Cette irrégularité s’est ensuite retrouvée dans la nature : la trajectoire d’une particule animée d’un mouvement brownien n’a de tangente nulle part, et le tracé d’un littoral présente un comportement semblable sur une large gamme d’échelles.

DÉRIVÉES — QUELLE RÈGLE S'APPLIQUE, ET CE QUE LA PENTE DIT VRAIMENT

Dans quel cas de dérivée êtes-vous ?

La dérivée est une seule idée — la pente de la tangente, la limite de (f(x+h) − f(x))/h — mais la façon de la calculer dépend du type de fonction qu'on vous donne, et la façon de lire le résultat dépend de son signe : positif, négatif ou nul. Trois règles standard couvrent la plupart des fonctions ; le quatrième cas est celui où une pente nulle ne signifie pas ce que tout le monde suppose.

Règle de la puissance — un terme polynomial d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonométrique — sinus et cosinus échangent leurs rôles d/dx sin x = cos x

Exponentielle — la fonction est sa propre dérivée d/dx e^x = e^x

Pente nulle qui n'est ni maximum ni minimum f′ = 0, f″ = 0

Règle de la puissance — un terme polynomial

Ce que vous savez: La fonction est xⁿ, ou une somme de tels termes. On descend l'exposant devant et on lui retire un.

Règle: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Exemple résolu: f(x) = x² en x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, donc la tangente est y = 2x − 1

Ouvrir ce cas: x² en x=1

Règle de la puissance — un terme polynomial. La tangente en x = 1 a pour pente 2 et touche la parabole en un seul point. La fonction est xⁿ, ou une somme de tels termes. On descend l'exposant devant et on lui retire un. — La tangente en x = 1 a pour pente 2 et touche la parabole en un seul point.

Trigonométrique — sinus et cosinus échangent leurs rôles

Ce que vous savez: La fonction est sin x ou cos x. Dériver vous fait tourner dans le cycle : sin → cos → −sin → −cos → sin.

Règle: d/dx sin x = cos x

Exemple résolu: f(x) = sin x en x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, donc la tangente est y = x

Ouvrir ce cas: sin en x=0

Trigonométrique — sinus et cosinus échangent leurs rôles. À l'origine sin x a une pente de 1 : la tangente est la droite y = x. La fonction est sin x ou cos x. Dériver vous fait tourner dans le cycle : sin → cos → −sin → −cos → sin. — À l'origine sin x a une pente de 1 : la tangente est la droite y = x.

Exponentielle — la fonction est sa propre dérivée

Ce que vous savez: La fonction est eˣ. Dériver ne change strictement rien : f′(x) = f(x) en tout point.

Règle: d/dx e^x = e^x

Exemple résolu: f(x) = eˣ en x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, donc la tangente est y = x + 1

Ouvrir ce cas: eˣ en x=0

Exponentielle — la fonction est sa propre dérivée. Hauteur et pente sont le même nombre en chaque point de la courbe. La fonction est eˣ. Dériver ne change strictement rien : f′(x) = f(x) en tout point. — Hauteur et pente sont le même nombre en chaque point de la courbe.

Pente nulle qui n'est ni maximum ni minimum

Ce que vous savez: f′ = 0 au point, il est donc stationnaire — mais le signe de f′ est le même des deux côtés, ce n'est donc pas un extremum.

Règle: f′ = 0, f″ = 0

Exemple résolu: f(x) = x³ en x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, et pourtant f′ > 0 des deux côtés : la courbe s'aplatit et continue de monter

Ouvrir ce cas: inflexion x³

Pente nulle qui n'est ni maximum ni minimum. La tangente est horizontale à l'origine, mais la courbe monte encore des deux côtés. f′ = 0 au point, il est donc stationnaire — mais le signe de f′ est le même des deux côtés, ce n'est donc pas un extremum. — La tangente est horizontale à l'origine, mais la courbe monte encore des deux côtés.

Références (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Problèmes entièrement résolus

Pente et tangente de f(x) = x² en x = 1 5 étapes
f(x) = x², en x = 1. Calculez la pente en ce point à partir de la définition, sans utiliser de règle de dérivation. Déterminez l’équation de la tangente, puis l’écart exact entre la tangente et la courbe un dixième d’unité plus loin.
1. Un point seul ne permet pas de définir une pente : il en faut deux pour comparer les variations d’ordonnée et d’abscisse. Prenez un second point décalé de h en abscisse, puis calculez le rapport de ces variations. Ce quotient et un passage à la limite sont au fondement du calcul différentiel.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Développez le carré. Les termes constants s’annulent et tous les termes restants contiennent h en facteur : vous pouvez donc simplifier par h au dénominateur. Cette simplification n’est valable que pour h différent de 0, précisément la valeur vers laquelle vous faites tendre h.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. C’est pourquoi vous passez à la limite au lieu de remplacer directement h par 0 dans le quotient initial. L’expression 2 + h est affine en h ; sa limite se lit exactement, sans approximation. Vous obtenez ainsi une pente de 2 en x = 1, sans avoir utilisé la formule 2x.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Un point et une pente suffisent à déterminer une tangente. Vous disposez des deux : la courbe passe par (1 ; 1) et sa pente en ce point vaut 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Soustrayez l’expression de la droite à celle de la courbe. La différence se factorise exactement : pour tout x, la parabole se trouve à une hauteur (x − 1)² au-dessus de sa tangente. À un décalage h en abscisse correspond donc un écart h².
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Réponse

f′(1) = 2, tangente y = 2x − 1, et l’écart entre la courbe et la tangente vaut exactement h². Si vous divisez le pas par 10, l’erreur de l’approximation par la tangente est divisée par 100 : elle passe de 0,01 à 0,0001. Ce carré explique pourquoi une droite peut approcher une courbe au voisinage d’un point. Le signe de l’écart apporte encore une autre information. Comme (x − 1)² n’est jamais négatif, cette parabole touche ses tangentes sans les traverser. Comparez avec f(x) = x³ en x = 0 : la tangente est l’axe des abscisses et l’écart vaut x³. Négatif à gauche et positif à droite, il montre que la courbe traverse sa tangente. Chacune de ces fonctions possède une tangente horizontale, mais seule la parabole présente un extremum au point correspondant. Pour reconnaître un minimum, il faut examiner le signe de l’écart ; la seule annulation de la dérivée ne suffit pas.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$
Dériver 1/x à partir de la définition 3 étapes
Calculez la dérivée de f(x) = 1/x à partir de la définition, puis déterminez la tangente en x = 2.

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1. Écrivez la pente de la sécante, puis réduisez au même dénominateur les deux fractions du numérateur :
  
  $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) = \frac{1}{h} \cdot \frac{x - ( x + h )}{x ( x + h )}$
2. Après simplification par h, vous pouvez remplacer h par 0 dans l’expression obtenue pour calculer la limite :
  
  $= \frac{- 1}{x ( x + h )} h \to 0 - \frac{1}{x ^{2}}$
3. En x = 2, la courbe a pour ordonnée ½ et pour pente −¼ :
  
  $f (2) = \frac{1}{2}, f^{'} (2) = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x + 1$
Réponse

f′(x) = −1/x² pour x ≠ 0, et la tangente en x = 2 a pour équation y = −x/4 + 1.
Dériver √x par la définition, puis trouver la tangente et la normale 3 étapes
Calculez la dérivée de f(x) = √x à partir de la définition, puis déterminez la tangente et la normale en x = 4.

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1. Le numérateur du quotient définissant la pente de la sécante est une différence de racines carrées. Multipliez le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée, qui est leur somme : les racines disparaissent du numérateur.
  
  $\frac{x + h - x}{h} \cdot \frac{x + h + x}{x + h + x} = \frac{( x + h ) - x}{h ( x + h + x )} = \frac{1}{x + h + x}$
2. Faites maintenant tendre h vers 0 :
  
  $f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{1}{x + h + x} = \frac{1}{2 x}, f^{'} (4) = \frac{1}{4}$
3. La tangente passe par (4 ; 2) et a pour pente ¼. La normale passe par le même point ; sa pente vaut −4, l’opposé de l’inverse de ¼ :
  
  $y = \frac{1}{4} (x - 4) + 2 = \frac{1}{4} x + 1, y = - 4 (x - 4) + 2 = - 4 x + 18$
Réponse

f′(x) = 1/(2√x) pour x > 0. En x = 4, la tangente a pour équation y = x/4 + 1 et la normale y = −4x + 18. En x = 0, les pentes des sécantes augmentent sans borne : la fonction n’y est pas dérivable. Placez x à cette valeur pour l’observer sur la page.
Pourquoi la dérivée de sin x est cos x 3 étapes
Montrez à partir de la définition que la dérivée de sin x est cos x, en utilisant les limites de la page précédente. Donnez ensuite la pente en x = π/3.

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1. Développez sin(x + h) à l’aide de la formule d’addition, puis regroupez les termes en sin x et en cos x :
  
  $\frac{sin ( x + h ) - sin x}{h} = \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h} = sin x \cdot \frac{cos h - 1}{h} + cos x \cdot \frac{sin h}{h}$
2. Lorsque h → 0, sin h / h → 1 et (cos h − 1)/h → 0. En effet, ce dernier quotient s’écrit h multiplié par (cos h − 1)/h², qui tend vers −½ :
  
  $\frac{cos h - 1}{h} = h \cdot \frac{cos h - 1}{h ^{2}} \to 0 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0, \frac{sin h}{h} \to 1$
3. La dérivée est donc cos x, qui vaut ½ en π/3 :
  
  $(sin x)^{'} = sin x \cdot 0 + cos x \cdot 1 = cos x, cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Réponse

(sin x)′ = cos x, et la pente en π/3 vaut ½. La limite sin h / h → 1 suppose que h est exprimé en radians. En degrés, ce quotient tend vers π/180 ; ce facteur apparaît alors aussi dans la dérivée.
Où la tangente est horizontale 3 étapes
Trouvez les points où la courbe de f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 admet une tangente horizontale.

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1. Dérivez terme à terme à l’aide de la règle de dérivation des puissances, puis factorisez :
  
  $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1)$
2. Une tangente horizontale a une pente égale à 0 :
  
  $f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 3}$
3. Calculez les ordonnées correspondantes :
  
  $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 2 = 7, f (3) = 27 - 27 - 27 + 2 = - 25$
Réponse

Les tangentes sont horizontales aux points (−1 ; 7) et (3 ; −25).
Une tangente parallèle à une droite donnée 2 étapes
Trouvez le point de la courbe y = x² + 3x où la tangente est parallèle à la droite y = 7x − 2, puis déterminez l’équation de cette tangente.

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1. Deux droites parallèles ont la même pente. Résolvez donc f′(x) = 7 :
  
  $f^{'} (x) = 2 x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2$
2. Déterminez les coordonnées du point, puis l’équation de la tangente :
  
  $f (2) = 4 + 6 = 10, y = 7 (x - 2) + 10 = 7 x - 4$
Réponse

Au point (2 ; 10), la tangente a pour équation y = 7x − 4.
Un point anguleux : continuité sans dérivabilité 3 étapes
Montrez que f(x) = |x| n’est pas dérivable en 0, bien qu’elle y soit continue.

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1. Depuis le point d’abscisse 0, une sécante vers la droite a pour pente h/h ; vers la gauche, sa pente vaut −h/h :
  
  $\frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = \frac{∣ h ∣}{h} = {1, - 1, h > 0 h < 0$
2. Les limites à droite et à gauche valent respectivement 1 et −1. Comme elles diffèrent, la limite qui définirait f′(0) n’existe pas :
  
  $h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h} = 1 \neq = - 1 = h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h}$
3. La continuité exige moins : |x| tend vers 0 = f(0) aussi bien à gauche qu’à droite.
  
  $x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)$
Réponse

La fonction |x| est continue en 0, mais n’y est pas dérivable : sa courbe présente un point anguleux et n’admet pas de tangente unique en ce point. Toute fonction dérivable est continue. Cet exemple classique montre que la réciproque est fausse.
Vitesse moyenne et vitesse instantanée 3 étapes
Une pierre en chute parcourt s(t) = 4,9t² mètres en t secondes. Calculez sa vitesse moyenne entre t = 2 et t = 2,1, puis sa vitesse instantanée à t = 2.

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1. La vitesse moyenne sur un intervalle est la pente de la sécante :
  
  $\frac{s ( 2.1 ) - s ( 2 )}{0.1} = \frac{21.609 - 19.6}{0.1} = 20.09 m/s$
2. La vitesse instantanée est la limite de cette pente, c’est-à-dire la dérivée :
  
  $s^{'} (t) = 9.8 t, s^{'} (2) = 19.6 m/s$
3. L’écart entre les deux vitesses vaut 4,9h : il diminue proportionnellement à la durée de l’intervalle.
  
  $\frac{s ( 2 + h ) - s ( 2 )}{h} = \frac{4.9 ( 4 h + h ^{2} )}{h} = 19.6 + 4.9 h$
Réponse

La vitesse moyenne sur ce dixième de seconde vaut 20,09 m/s, et la vitesse instantanée à t = 2 vaut 19,6 m/s. Sur la page, la variable t est notée x.

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.