Explorateur de Dérivées et Tangentes

faites glisser un point le long de la courbe pour voir la pente

Chargement de la simulation interactive...

Un point plat n’est pas toujours un sommet ni un creux 🖖

Une dérivée nulle signifie que la tangente est horizontale : elle ne promet ni maximum ni minimum. Passez cet outil à x³ et amenez le point en x = 0 : la pente affiche 0, alors que la courbe monte des deux côtés et ne fait que marquer une pause. C’est un point d’inflexion, et voilà pourquoi chercher où la dérivée s’annule ne représente que la première moitié d’un problème d’optimisation. La seconde consiste à examiner ce que fait la pente de part et d’autre, car la dérivée seule ne distingue pas un sommet d’un palier d’escalier.

De près, toute courbe paraît droite 🖖

Prenez une courbe lisse, zoomez suffisamment et la courbure disparaît : localement, elle ressemble à une droite. La dérivée n'est rien d'autre que la pente de cette droite, et en faisant glisser le point ici, vous la lisez directement. Le compteur de vitesse d'une voiture fonctionne de la même façon : il indique à quelle vitesse votre position change en cet instant, pas la vitesse moyenne du trajet. Glissez le point au sommet de la parabole et la pente atteint 0 : ce point plat marque un maximum ou un minimum.

La courbe sans aucune tangente 🖖

Chaque fonction ici possède une tangente nette, mais ce n'est pas le cas de toutes. En 1872, Karl Weierstrass construisit une fonction continue partout mais dont la pente n'est définie nulle part — infiniment dentelée à toute échelle, si bien qu'aucune tangente ne peut jamais s'établir. Cela stupéfia les mathématiciens, qui supposaient qu'une courbe continue d'apparence lisse devait avoir des tangentes presque partout. Cette même rugosité non dérivable réapparut ensuite dans la nature : les trajectoires du mouvement brownien et les contours des côtes se comportent exactement ainsi.

DÉRIVÉES — QUELLE RÈGLE S'APPLIQUE, ET CE QUE LA PENTE DIT VRAIMENT

Dans quel cas de dérivée êtes-vous ?

La dérivée est une seule idée — la pente de la tangente, la limite de (f(x+h) − f(x))/h — mais la façon de la calculer dépend du type de fonction qu'on vous donne, et la façon de lire le résultat dépend de son signe : positif, négatif ou nul. Trois règles standard couvrent la plupart des fonctions ; le quatrième cas est celui où une pente nulle ne signifie pas ce que tout le monde suppose.

Règle de la puissance — un terme polynomial d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonométrique — sinus et cosinus échangent leurs rôles d/dx sin x = cos x

Exponentielle — la fonction est sa propre dérivée d/dx e^x = e^x

Pente nulle qui n'est ni maximum ni minimum f′ = 0, f″ = 0

Règle de la puissance — un terme polynomial

Ce que vous savez: La fonction est xⁿ, ou une somme de tels termes. On descend l'exposant devant et on lui retire un.

Règle: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Exemple résolu: f(x) = x² en x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, donc la tangente est y = 2x − 1

Ouvrir ce cas: x² en x=1

Règle de la puissance — un terme polynomial. La tangente en x = 1 a pour pente 2 et touche la parabole en un seul point. La fonction est xⁿ, ou une somme de tels termes. On descend l'exposant devant et on lui retire un. — La tangente en x = 1 a pour pente 2 et touche la parabole en un seul point.

Trigonométrique — sinus et cosinus échangent leurs rôles

Ce que vous savez: La fonction est sin x ou cos x. Dériver vous fait tourner dans le cycle : sin → cos → −sin → −cos → sin.

Règle: d/dx sin x = cos x

Exemple résolu: f(x) = sin x en x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, donc la tangente est y = x

Ouvrir ce cas: sin en x=0

Trigonométrique — sinus et cosinus échangent leurs rôles. À l'origine sin x a une pente de 1 : la tangente est la droite y = x. La fonction est sin x ou cos x. Dériver vous fait tourner dans le cycle : sin → cos → −sin → −cos → sin. — À l'origine sin x a une pente de 1 : la tangente est la droite y = x.

Exponentielle — la fonction est sa propre dérivée

Ce que vous savez: La fonction est eˣ. Dériver ne change strictement rien : f′(x) = f(x) en tout point.

Règle: d/dx e^x = e^x

Exemple résolu: f(x) = eˣ en x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, donc la tangente est y = x + 1

Ouvrir ce cas: eˣ en x=0

Exponentielle — la fonction est sa propre dérivée. Hauteur et pente sont le même nombre en chaque point de la courbe. La fonction est eˣ. Dériver ne change strictement rien : f′(x) = f(x) en tout point. — Hauteur et pente sont le même nombre en chaque point de la courbe.

Pente nulle qui n'est ni maximum ni minimum

Ce que vous savez: f′ = 0 au point, il est donc stationnaire — mais le signe de f′ est le même des deux côtés, ce n'est donc pas un extremum.

Règle: f′ = 0, f″ = 0

Exemple résolu: f(x) = x³ en x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, et pourtant f′ > 0 des deux côtés : la courbe s'aplatit et continue de monter

Ouvrir ce cas: inflexion x³

Pente nulle qui n'est ni maximum ni minimum. La tangente est horizontale à l'origine, mais la courbe monte encore des deux côtés. f′ = 0 au point, il est donc stationnaire — mais le signe de f′ est le même des deux côtés, ce n'est donc pas un extremum. — La tangente est horizontale à l'origine, mais la courbe monte encore des deux côtés.

Références (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Problème entièrement résolu

La pente et la tangente de f(x) = x² en x = 1 5 étapes
f(x) = x², en x = 1. Obtenez la pente en ce point à partir de la définition plutôt qu'à partir d'une règle, déterminez la tangente, puis indiquez exactement de combien cette tangente s'est écartée de la courbe un dixième d'unité plus loin.
1. Un point isolé n'a pas de pente — la pente est une comparaison, elle nécessite donc deux points. Prenez le second point à une distance h et mesurez l'accroissement moyen sur cet intervalle. L'ensemble du calcul différentiel se réduit à ce quotient plus une limite.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Développez le carré. Les termes constants s'annulent, ce qui laisse un h dans chaque terme restant, si bien que le h au dénominateur se simplifie proprement. Remarquez ce que cette simplification vous coûte : elle est légitime pour tout h sauf 0, et 0 est précisément la valeur vers laquelle vous vous dirigez.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. C'est pourquoi on prend la limite au lieu d'effectuer une substitution directe. 2 + h est une droite en h, de sorte que la valeur vers laquelle elle tend se lit sans aucune approximation, et la pente en x = 1 vaut 2 sans que la règle 2x n'ait jamais été écrite.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Une tangente nécessite un point et une pente, et vous disposez désormais des deux : la courbe passe par (1, 1) avec une pente de 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Soustrayez la droite de la courbe. La différence n'est pas petite, ni approximativement quoi que ce soit — elle se factorise exactement, de sorte que la parabole se situe à (x − 1)² au-dessus de sa tangente pour tout x, et qu'à une distance h, l'écart est de h².
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Réponse

f′(1) = 2, tangente y = 2x − 1, et l'écart entre elles vaut exactement h² : réduisez le pas d'un facteur 10 et l'erreur de la tangente chute d'un facteur 100, passant de 0,01 à 0,0001. Ce passage au carré constitue toute la justification de l'approximation d'une courbe par une droite au voisinage d'un point. Le signe de l'écart vaut cependant plus que sa taille. (x − 1)² n'est jamais négatif, ainsi cette parabole touche ses tangentes sans jamais en traverser une. Placez f(x) = x³ en x = 0 à côté : la tangente est l'axe des abscisses, l'écart est x³ lui-même, et x³ est négatif à gauche et positif à droite, si bien que la droite traverse de part en part la courbe. Les deux fonctions possèdent une tangente horizontale quelque part et une seule d'entre elles y présente un extremum — ce n'est pas l'annulation de la dérivée qui fait un minimum, c'est le signe de l'écart.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Mène à riemann-sum la linéarité locale exprimée par un nombre : la pente de l'unique droite qui épouse la courbe en un point.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-27

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Mathématiques →

Exemples de problèmes

x² en x=1 - f(x)=x² en x=1 → pente f'(1)=2, tangente y=2x-1
sin en x=0 - f(x)=sin x en x=0 → pente f'(0)=1, tangente y=x
eˣ en x=0 - f(x)=eˣ en x=0 → pente f'(0)=1 ; eˣ est sa propre dérivée
inflexion x³ - f(x)=x³ en x=0 → pente f'(0)=0, point d'inflexion (ni minimum ni maximum)