Primitives

L'intégration possède une règle des puissances, tout comme la dérivation, et chaque table lui attribue une seule exception : n = −1. Faites glisser n à travers cette exception et observez où elle mène. Suivez ensuite une intégrale règle par règle, puis essayez par vous-même : saisissez une primitive, la page la dérive alors et compare le résultat à la fonction à intégrer.

Règle des puissances	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$
L’exception, n = −1	$\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$

Exemple résolu — Primitives

Constante entre les deux formes	100,00
Écart avec ln x, divisé par n + 1	0,9654

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Primitives

Une primitive de f sur un intervalle est une fonction F vérifiant F′(x) = f(x) pour tout x de l'intervalle. Si F en est une, alors F + C l'est aussi pour toute constante C. Sur un intervalle, ce sont d'ailleurs les seules. Sur un domaine en deux parties, tel que x ≠ 0 pour 1/x, chaque partie prend sa propre constante. L'intégrale indéfinie ∫f(x) dx désigne la famille entière.

Ce que signifie chaque symbole

F_n: la primitive de xⁿ passant par (1, 0) : (xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1), qui correspond à ∫₁^x tⁿ dt, et ln x en n = −1
C: la constante d'intégration. Sa dérivée est 0, donc n'importe quelle valeur donne une primitive

D’où vient la formule

Pourquoi 1/(n + 1) est la constante à retirer. F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt représente l'aire sous tⁿ de 1 à x. Une légère modification de n change un peu chaque hauteur tⁿ, l'aire change donc légèrement en retour. F_n ne peut pas sauter lorsque n franchit −1. En n = −1, elle doit d'ailleurs correspondre à l'aire sous 1/t de 1 à x, c'est-à-dire ln x. La forme classique s'écrit F_n + 1/(n + 1), et c'est cette constante-là qui explose.
$F_{n} (x) = \int_{1}^{x} t^{n} d t = \frac{x ^{n + 1} - 1}{n + 1} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \to \pm \infty \frac{1}{n + 1}$
Le calcul de la limite. Posez h = n + 1 et développez xʰ en série selon h. L’écart avec ln x est d’environ h(ln x)²/2, soit 0,9609h pour x = 4 : c’est le nombre vers lequel tend la dernière colonne du tableau.
$x^{h} = e^{h l n x} = 1 + h ln x + \frac{h ^{2} ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots \Rightarrow F_{n} (x) = \frac{x ^{h} - 1}{h} = ln x + \frac{h ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots$

Suppose: La vérification est numérique. La page dérive exactement votre F, en suivant les mêmes règles que vous. Elle compare ensuite F′ à f en 120 points répartis sur l'intervalle, aucun n'étant un nombre entier. Elle accepte une différence relative allant jusqu'à 10⁻⁶. Un facteur manquant ou une erreur de signe engendre une différence d'ordre 1. Là où f est définie mais votre F ne l'est pas, la réponse est rejetée. Là où f est continue sur l'ensemble de l'intervalle, la page intègre aussi f numériquement entre des points voisins. Elle compare ce résultat à la variation de votre F, ce qui permet de repérer une réponse juste morceau par morceau mais qui présenterait un saut.

Problèmes entièrement résolus

Développer avant d'intégrer 3 étapes
Calculez ∫(x² + 1)² dx.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La règle des puissances ne s'applique pas à une parenthèse. Développez d'abord l'expression pour que chaque terme devienne une puissance de x :
  
  $(x^{2} + 1)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
2. Intégrez terme à terme en augmentant chaque exposant d'une unité, puis divisez par ce nouvel exposant :
  
  $\int (x^{4} + 2 x^{2} + 1) d x = \frac{x ^{5}}{5} + 2 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + x + C$
3. Vérifiez en dérivant :
  
  $\frac{d}{d x} (\frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
Réponse

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. Augmenter l'exposant de la parenthèse pour poser (x² + 1)³/3 est l'erreur classique. Sa dérivée vaut 2x(x² + 1)² : ce 2x provient de l'intérieur de la parenthèse, ce que la règle des puissances ne prend jamais en compte. Ouvrez le problème dans l'outil et saisissez cette réponse pour voir les deux courbes se séparer.

$\int (x^{2} + 1)^{2} d x = \frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x + C$
Diviser avant d'intégrer 3 étapes
Calculez ∫(x³ − 2√x + 5)/x dx pour x > 0.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Divisez chaque terme par x et écrivez-le sous forme de puissance :
  
  $\frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} = x^{2} - 2 x^{- 1/2} + 5 x^{- 1}$
2. Les deux premiers relèvent de la règle des puissances :
  
  $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}, - 2 \int x^{- 1/2} d x = - 2 \cdot \frac{x ^{1/2}}{1/2} = - 4 x$
3. Le troisième donne x⁻¹, la seule puissance par laquelle la règle ne peut pas diviser :
  
  $5 \int x^{- 1} d x = 5 ln ∣ x ∣ = 5 ln x (x > 0)$
Réponse

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. Vous pouvez omettre les barres de ln|x| : le problème est posé pour x > 0, ce dont √x a de toute façon besoin.

$\int \frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} d x = \frac{x ^{3}}{3} - 4 x + 5 ln x + C$
Trois lignes du tableau 2 étapes
Calculez ∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Chaque terme figure dans le tableau :
  
  $\int cos x d x = sin x, \int sin x d x = - cos x, \int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan x$
2. Conservez chaque constante et remplacez chaque fonction par sa primitive :
  
  $2 sin x - 3 (- cos x) + 4 arctan x$
Réponse

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. Le terme du milieu est le piège classique. La primitive de sin x est −cos x, si bien que −3 sin x s'intègre en +3 cos x ; le signe moins provient de la dérivation de cos x, qui donne −sin x.

$\int (2 cos x - 3 sin x + \frac{4}{1 + x ^{2}}) d x = 2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C$
Une condition fixe la constante 2 étapes
Trouvez f sachant que f′(x) = 6x² − 4x + 1 et f(1) = 5.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Intégrez d'abord en gardant C :
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$
2. Posez ensuite x = 1 et déterminez C :
  
  $f (1) = 2 - 2 + 1 + C = 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4$
Réponse

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4. L'outil vérifie la condition tout autant que la dérivée. Laissez C à 0 : il valide F′ = f, signale que F(1) = 1 et non 5, puis vous invite à ajuster la constante de 4.

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$
Deux intégrations, deux constantes 2 étapes
Trouvez f sachant que f″(x) = 12x − 6, f′(0) = 2 et f(0) = −1.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Intégrez une première fois pour trouver f′, puis utilisez la condition sur f′ pour fixer sa constante :
  
  $f^{'} (x) = \int (12 x - 6) d x = 6 x^{2} - 6 x + C_{1}, f^{'} (0) = C_{1} = 2$
2. Intégrez de nouveau, puis utilisez la condition sur f :
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 6 x + 2) d x = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + C_{2}, f (0) = C_{2} = - 1$
Réponse

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1. Chaque intégration apporte sa constante, et chaque condition en fixe une. L'outil s'ouvre sur la seconde intégration, avec f′ comme intégrande et f(0) = −1 pour condition.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$
ln|x| du côté négatif 2 étapes
Trouvez f sachant que f′(x) = 2/x pour x < 0 et f(−1) = 3.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Pour x négatif, ln x n'est pas défini, mais ln(−x) l'est, et sa dérivée vaut 1/x :
  
  $x < 0 : \frac{d}{d x} ln (- x) = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$
2. D'où f(x) = 2 ln|x| + C, et la condition détermine C :
  
  $f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + C, f (- 1) = 2 ln 1 + C = C = 3$
Réponse

f(x) = 2 ln|x| + 3 pour x < 0. La condition ne dit rien des x positifs. Comme 1/x n'est pas défini en 0, une fonction égale à 2 ln x + 7 pour x > 0 conviendrait tout aussi bien.

$f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + 3 (x < 0)$
Trouver ln 4 avec une touche racine carrée 4 étapes
Une calculatrice possède une touche racine carrée mais pas de touche ln. Utilisez la limite présentée sur cette page pour trouver ln 4 à quatre décimales près. Appuyez d'abord sur n = −0,99 : la courbe passant par (1, 0) indique 1,3959 en x = 4, une valeur encore bien supérieure à ln 4 = 1,3863.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Dix appuis sur la touche racine carrée transforment 4 en 4 à la puissance 1/1024. Ainsi, h = n + 1 = 1/1024 :
  
  $4^{1/1024} = 1.001354720, h = n + 1 = \frac{1}{1024}$
2. La courbe passant par (1, 0) pour ce h, selon la formule de la page, avec une soustraction et une multiplication :
  
  $F (h) = \frac{4 ^{h} - 1}{h} = 1.3872332$
3. Son écart avec ln 4 est d'environ h(ln 4)²/2, soit la dernière colonne du tableau multipliée par h. Cet écart reste trop grand pour garantir quatre décimales :
  
  $\frac{h ( ln 4 ) ^{2}}{2} = \frac{0 . 9609}{1024} = 0.000938$
4. Une racine carrée supplémentaire divise h par deux, tout comme l'écart. Le double de la nouvelle valeur moins l'ancienne annule le terme dominant de l'écart :
  
  $2 F (\frac{h}{2}) - F (h) = 2 \times 1.3867637 - 1.3872332 = 1.386294$
Réponse

ln 4 ≈ 1,3863. La combinaison 2F(h/2) − F(h) élimine l'erreur proportionnelle à h et n'en laisse qu'une proportionnelle à h², soit environ 2×10⁻⁷ ici. La page fait varier n par pas de 0,01. La valeur h = 1/2048 se situe donc bien au-delà de ce que son curseur peut afficher.

$ln 4 \approx 1.3863$

ln x est la propre limite de la règle des puissances 🖖

Appuyez sur n = −0,99. La primitive classique de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n + 1). Elle divise par zéro en n = −1, c'est pourquoi les tables listent ∫x⁻¹ dx = ln|x| comme une règle à part entière. Le fantôme en tirets montre ce que fait la formule en chemin. En x = 4, elle vaut 101,40 et croît sans limite à mesure que n s'en approche. Toute cette croissance réside dans la constante. Soustrayez 1/(n + 1), ici 100,00 : vous obtenez la primitive passant par (1, 0), la courbe pleine, à 1,3959 contre ln 4 = 1,3863. Appuyez sur Balayez n de −2 à 0 et regardez n traverser −1. Le fantôme quitte le graphique, la courbe pleine ne saute jamais. En n = −1, elle devient ln x. Elle ne peut pas sauter, car il s'agit de l'aire sous tⁿ de 1 à x, et une légère modification de n ne change que très peu chaque hauteur tⁿ. Grégoire de Saint-Vincent est parvenu au même constat par une autre voie dans son Opus geometricum de 1647 : l'aire sous l'hyperbole de a à b ne dépend que de b/a. Son élève Alphonse Antonio de Sarasa a compris que cela fait de cette aire un logarithme.

ln x ne répond à 1/x que sur la moitié de la droite 🖖

Appuyez sur ln x pour 1/x. L'entraîneur attend une primitive de 1/x sur −4 ≤ x ≤ 4, et ln x a été saisi. Partout où ln x existe, sa dérivée est 1/x. La réponse semble donc juste, pourtant la vérification la refuse. En x = −2,75, où 1/x vaut −0,364, ln x n'a aucune valeur. Ce qui fonctionne des deux côtés est ln|x|, car la dérivée de ln(−x) est −1/(−x) = 1/x. Saisissez-la. Le panneau supérieur trace deux branches accompagnées de copies grises qui décalent chaque branche d'une quantité différente. Celles-ci seraient également acceptées. Saisissez ln|x| + 3sgn(x), qui vaut ln|x| + 3 à droite de 0 et ln|x| − 3 à gauche, et la réponse passe. Le panneau trace sa différence avec ln|x| sous la forme de deux segments plats, à 3 et −3. Puisque 1/x n'est pas définie en 0, rien ne relie la constante de gauche à celle de droite. Les tables écrivent ln|x| + C avec un seul C. Sur l'ensemble du domaine, la primitive générale possède pourtant bien une constante pour chaque côté. Lorsque la fonction à intégrer est continue sur l'intervalle, comme c'est le cas pour x³, la vérification refuse toute réponse présentant un saut, même si sa dérivée correspond parfaitement partout où elle existe.

Deux réponses qui ne se ressemblent pas du tout peuvent être toutes les deux justes 🖖

Appuyez sur Deux formes d'une réponse. La fonction à intégrer est (x + 1)². Augmentez la puissance et divisez, vous obtenez (x + 1)³/3. Développez d'abord, vous obtenez x³/3 + x² + x. Placées côte à côte, l'une semble juste et l'autre fausse. L'entraîneur accepte pourtant les deux. La ligne Votre F moins le nôtre en donne la raison : −1/3 en tout point, car le développement de (x + 1)³/3 donne x³/3 + x² + x + 1/3. Appuyez sur 2 sin x cos x pour un cas plus frappant. sin²x, −cos²x et −cos(2x)/2 ne partagent aucun terme visible. Toutes les trois sont justes, séparées respectivement par des écarts de 1 et ½. La vérification ne décide donc jamais en comparant votre réponse à celle de la page. Elle dérive la vôtre, la dérivation étant un procédé à résultat unique, et la compare à la fonction à intégrer. Trouver une primitive est une exploration, et deux bonnes explorations peuvent s'arrêter sur des constantes différentes.

Parcours

Techniques d'intégration

Références (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.