Choisir une méthode

Dans les pages précédentes, la méthode était annoncée avant même que vous découvriez l’intégrale. Ici, les exercices sont mélangés. Vous choisissez votre première approche avant que le champ de réponse s’ouvre. La page a déjà essayé les cinq approches sur l’intégrale proposée : elle vous indique si la vôtre ramène au tableau en trois étapes au plus, et si une autre y parvient plus vite.

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Leçon

La théorie — Choisir une méthode

Choisir une méthode, c’est décider comment aborder une intégrale sans indication préalable : lecture directe dans le tableau, changement de variable, intégration par parties, décomposition en éléments simples ou réécriture trigonométrique. Sur cette page, une approche fonctionne si, après au plus deux étapes supplémentaires, il ne reste que des intégrales du tableau. Chaque application d’une méthode compte pour une étape : intégrer dv par un changement de variable au cours d’une intégration par parties constitue une étape à part entière. Séparer les termes d’une somme ne compte pas.

Suppose: La recherche ne connaît que ces cinq approches. Elle ne sait pas mettre un trinôme sous forme canonique : pour ∫dx/(x² + 2x + 5), elle signalerait qu’aucun chemin n’aboutit. Aucune intégrale de ce type n’est donc proposée ici. Sa réécriture trigonométrique reprend les méthodes de la page précédente : une puissance impaire permet de réserver un facteur pour du ; les puissances paires se traitent par les formules de linéarisation ; tan² devient sec² − 1 ; la puissance de secⁿ est abaissée. Pour √(a² − x²), √(x² + a²) et √(x² − a²), les changements de variable sont respectivement x = a sin u, x = a tan u et x = a sec u.

Problèmes entièrement résolus

Au numérateur, la dérivée du dénominateur 2 étapes
Calculez ∫x/(x² + 9) dx.
1. Indice : le numérateur vaut la moitié de la dérivée du dénominateur. Réflexe : poser le dénominateur.
  
  $\frac{d}{d x} (x^{2} + 9) = 2 x \Rightarrow u = x^{2} + 9, x d x = \frac{d u}{2}$
2. Un logarithme, sans barres de valeur absolue puisque x² + 9 n'est jamais négatif :
  
  $\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Réponse

½ ln(x² + 9) + C. Inutile de chercher une décomposition en éléments simples : x² + 9 ne possède aucune racine réelle.

$\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Produit d'une puissance de x par une exponentielle 2 étapes
Calculez ∫x e^3x dx.
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1. Indice : l'un des facteurs se simplifie par dérivation tandis que l'autre s'intègre immédiatement. Réflexe : intégration par parties, avec u = x.
  
  $u = x, d v = e^{3 x} d x, v = \frac{1}{3} e^{3 x}$
2. Une seule étape, et l'intégrale restante figure dans le tableau des primitives :
  
  $\int x e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{3} \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$
Réponse

e^3x(x/3 − 1/9) + C. Aucun changement de variable ne convient ici : le x devant e^3x n'est pas la dérivée de 3x.

$\int x e^{3 x} d x = e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9}) + C$
Un dénominateur qui se factorise 2 étapes
Calculez ∫5/((x + 1)(x − 4)) dx.
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1. Indice : une fraction rationnelle dont le dénominateur est déjà factorisé. Réflexe : décomposition en éléments simples, par masquage.
  
  $\frac{5}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 1}, A = \frac{5}{5} = 1, B = \frac{5}{- 5} = - 1$
2. Deux logarithmes :
  
  $\int (\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 1}) d x = ln ∣ x - 4∣ - ln ∣ x + 1∣ + C$
Réponse

ln|(x − 4)/(x + 1)| + C. Le 5 au numérateur est ce que l'on divise lors du masquage : 5/(4 + 1) et 5/(−1 − 4).

$\int \frac{5 d x}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = ln \frac{x - 4}{x + 1} + C$
Une puissance paire du cosinus 2 étapes
Calculez ∫cos²x dx.
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1. Indice : une puissance paire, sans facteur impair pour former du. Réflexe : linéariser.
  
  $cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + cos 2 x)$
2. Intégrez terme à terme :
  
  $\int \frac{1}{2} (1 + cos 2 x) d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Réponse

x/2 + sin 2x/4 + C. Poser u = sin x ne fonctionne pas : l'un des cos x forme du, mais l'autre reste sous la forme √(1 − u²), la puissance étant paire.

$\int cos^{2} x d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Une allure d'intégration par parties, mais un changement de variable 2 étapes
Calculez ∫(ln x)/x dx pour x > 0.
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1. Indice : 1/x est la dérivée de ln x, qui figure juste à côté. Action : posez u = ln x.
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. Une puissance de u :
  
  $\int \frac{ln x}{x} d x = \int u d u = \frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Réponse

(ln x)²/2 + C. L'intégration par parties fonctionnerait aussi, en faisant réapparaître l'intégrale de départ, I = (ln x)² − I ; le changement de variable aboutit en une seule ligne.

$\int \frac{ln x}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Pas de racine réelle : la forme canonique 2 étapes
Calculez ∫dx/(x² − 6x + 10).
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1. Indice : le discriminant, 36 − 40, est négatif, donc rien ne se factorise. Action : passez à la forme canonique.
  
  $36 - 40 < 0; x^{2} - 6 x + 10 = (x - 3)^{2} + 1$
2. La forme en arctangente, décalée de 3 :
  
  $\int \frac{d x}{( x - 3 ) ^{2} + 1} = arctan (x - 3) + C$
Réponse

arctan(x − 3) + C. C'est la seule étape que la recherche de la page ne sait pas franchir ; voilà pourquoi elle mérite d'être faite une fois à la main.

$\int \frac{d x}{x ^{2} - 6 x + 10} = arctan (x - 3) + C$
Fraction impropre : divisez d'abord 2 étapes
Calculez ∫x³/(x² + 1) dx.
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1. Indice : le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur. Action : effectuez la division.
  
  $x^{3} = x (x^{2} + 1) - x \Rightarrow \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} = x - \frac{x}{x ^{2} + 1}$
2. Puis une puissance et une forme f′/f :
  
  $\int (x - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Réponse

x²/2 − ½ ln(x² + 1) + C. Deux étapes, la seconde par changement de variable : aucune ne se devine avant d'avoir franchi la première.

$\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Une aire sans indice apparent 3 étapes
Calculez ∫₀^π²/4 sin √x dx. Cliquez sur Aucun indice : la page trouve une primitive en deux étapes, un changement de variable puis une intégration par parties, et s’arrête là.

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. Posez u = √x, d’où x = u² et dx = 2u du. Les bornes changent aussi : x = 0 donne u = 0, et x = π²/4 donne u = π/2.
  
  $\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = \int_{0}^{π /2} 2 u sin u d u$
2. Intégrez par parties en dérivant 2u et en intégrant sin u :
  
  $\int 2 u sin u d u = - 2 u cos u + \int 2 cos u d u = 2 sin u - 2 u cos u$
3. Évaluez entre les nouvelles bornes, en utilisant cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1 :
  
  $[2 sin u - 2 u cos u]_{0}^{π /2} = (2 - 0) - (0 - 0) = 2$
Réponse

2, exactement. Les deux bornes contiennent π, qui disparaît du résultat : le changement de variable a transformé π²/4 en π/2, où le sinus vaut 1 et le cosinus 0. Appliquée à l’intégrande de départ avec 4 000 sous-intervalles, la méthode de Simpson donne 1,999999. Elle converge lentement vers 2 par valeurs inférieures, car la pente de √x est infinie en 0.

$\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = 2$

Quand les deux indices suggèrent un changement de variable et une intégration par parties, privilégiez le changement de variable 🖖

Cliquez sur Les deux indices. 2x·e^(x²) est le produit d’une puissance et d’une exponentielle, une forme qui suggère habituellement une intégration par parties. Cette méthode ramène bien au tableau, en trois étapes : le choix u = e^(x²) et dv = 2x dx fait apparaître 2x³e^(x²), une expression plus longue que celle de départ. Le changement de variable ne demande qu’une étape : x² est dans l’exponentielle, et sa dérivée 2x figure déjà à côté. La page a effectué cette comparaison sur 1 100 exercices générés. Les deux indices étaient présents dans 113 cas ; le changement de variable donnait le chemin le plus court dans les 113, et l’intégration par parties dans aucun. Dans 26 cas, cette dernière ne ramenait même pas au tableau en trois étapes. En l’absence de l’indice de changement de variable, l’indice d’intégration par parties orientait vers le chemin le plus court dans 181 cas sur 188.

Pour la plupart de ces intégrales, plusieurs départs sont possibles 🖖

Cliquez sur Deux voies possibles. Pour sin x·cos x, le changement de variable u = sin x suffit : une étape. L’intégration par parties aboutit elle aussi en une étape. Avec u = sin x et dv = cos x dx, l’intégrale réapparaît dans le résultat : I = sin²x − I, d’où I = sin²x/2. La réécriture trigonométrique, qui réserve un facteur pour du, aboutit également en une étape. Sur les 1 100 exercices, 842 admettaient au moins deux des cinq approches de départ permettant de revenir au tableau en trois étapes au plus. Pour 650 d’entre eux, une deuxième voie demandait tout au plus une étape de plus que la meilleure. Certaines de ces voies sont des détours qu’un professeur éviterait, comme une intégration par parties sur une fraction rationnelle. Elles sont comptées puisqu’elles aboutissent. La page accepte donc toute première approche qui permet de revenir au tableau ; sous les boutons, une ligne vous indique s’il existe un chemin plus court. Deux voies peuvent donner des réponses d’apparence différente. La première page du chapitre, Primitives, explique pourquoi elles sont toutes deux justes.

La longueur d’une intégrale renseigne très peu sur le nombre d’étapes nécessaires 🖖

Cliquez sur Court mais pas simple. arctan x ne compte que deux symboles, mais demande deux étapes : une intégration par parties avec dv = 1·dx, qui laisse x/(x² + 1), puis un changement de variable. Parmi les expressions qui lui ressemblent, −6x⁴ − 2/√(1 − x²) compte quinze symboles et se lit directement dans le tableau. Sur les 1 100 exercices, la longueur médiane est de 8 symboles pour les intégrales directement résolues par le tableau, de 10 pour celles qui demandent une étape, et de 9 pour celles qui en demandent deux. La plus longue intégrale du tableau compte 15 symboles ; la plus courte demandant deux étapes en compte 3. Les indices portent sur la structure de l’expression : les fonctions composées, le facteur que la dérivation simplifie, un dénominateur qui se factorise, la parité d’une puissance de sinus.

Parcours

Techniques d'intégration

Références (2)

A strategy for picking the technique, with the page's three findings in it: look for a simple substitution before the heavier techniques (u = x² − 1 for x/(x² − 1), which partial fractions would also do), “a polynomial times a trig function, exponential, or logarithm” as the sign that parts may work, “some integrals can be done in more than one way”, and a substitution that leads on to parts or partial fractions: P. Dawkins, “Integration Strategy”, Paul's Online Notes, Calculus II, section 7.7, Lamar University (page last modified 31 July 2026).
The both-cues integral done by parts: ∫t³e^(t²) dt, where the strict LIATE choice fails and dv = t·e^(t²) dt is taken instead, an integral that is itself a substitution (Example 3.4, “When LIATE Doesn't Quite Work”); and ∫sin(ln x) dx with dv = 1·dx, solved after two rounds (Example 3.5): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.1, “Integration by Parts”.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.