Intégrales doubles en coordonnées polaires

Découpez un domaine par des cercles centrés à l'origine et des demi-droites qui en partent : chaque cellule est un morceau de couronne, dont l'aire vaut son rayon moyen fois Δr fois Δθ. Ce rayon moyen, c'est le r de r dr dθ. Marquez une cellule dans l'une ou l'autre figure et comparez son aire dans les deux plans.

Intégrale double en coordonnées polaires	$\iint_{R} f d A = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ$
L'intégrale de Gauss	$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Exemple résolu — Intégrales doubles en coordonnées polaires

Cellule marquée dans le plan rθ	0,1745
Cellule marquée dans le plan xy	0,16
L'intégrale double	3,1416
La même sans le r (faux)	6,2832

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Intégrales doubles en coordonnées polaires

Une intégrale double en coordonnées polaires intègre sur un domaine décrit par un angle θ et une distance r à l'origine, avec l'élément d'aire dA = r dr dθ.

Ce que signifie chaque symbole

r, θ: la distance à l'origine et l'angle mesuré depuis le demi-axe des x positifs : x = r cos θ, y = r sin θ
r̄, Δr, Δθ: le rayon moyen d'une cellule, sa largeur en r et sa largeur en θ

D’où vient la formule

Découpez le domaine en cellules polaires. Une cellule entre les rayons r₁ et r₂ et les angles θ et θ + Δθ est la différence de deux secteurs, et son aire se factorise en rayon moyen fois Δr fois Δθ.
$Δ A = \frac{1}{2} (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) Δ θ = \frac{r _{1} + r _{2}}{2} (r_{2} - r_{1}) Δ θ = \overset{r}{ˉ} Δ r Δ θ$
Sommez et passez à la limite. La valeur de f dans chaque cellule fois l'aire de la cellule, sommée, tend vers une intégrale itérée dans laquelle r̄ est devenu r. Les bornes de r peuvent dépendre de θ.
$\iint_{R} f d A x = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ, = r cos θ, y = r sin θ$
Élevez la gaussienne au carré. Le produit de deux intégrales à une variable est une intégrale double sur le plan, et en polaires le r donne à e^(−r²) une primitive qui s'écrit avec une formule.
$I^{2} I = \iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{\infty} = π = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Suppose: Dans le domaine, θ est compris entre deux angles et, le long de chaque demi-droite, r entre deux courbes r₁(θ) ≤ r₂(θ). L'intégrale sur tout le plan est impropre ; des disques et des carrés de plus en plus grands donnent le même π, car chaque carré est pris entre deux disques.

Problèmes entièrement résolus

L'aire d'un disque 2 étapes
Calculez l'aire du disque de rayon R comme intégrale double en coordonnées polaires, et ce que vous obtenez si vous oubliez le r.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le disque est 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, et dA = r dr dθ :
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r d r d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{R ^{2}}{2} d θ = π R^{2}$
2. Sans le r :
  
  $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} d r d θ = 2 π R$
Réponse

πR², soit 3,1416 pour R = 1. Sans le r, 2πR : le périmètre, une longueur.

$A = π R^{2}, R = 1 : A \approx 3.1416$
À l'intérieur d'une cardioïde 2 étapes
Calculez l'aire à l'intérieur de la cardioïde r = 1 + cos θ.

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1. Pour chaque θ dans [0, 2π], r va de 0 à 1 + cos θ, et l'intégrale intérieure vaut la moitié du carré de cette borne :
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 + c o s θ} r d r d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + cos θ)^{2} d θ$
2. Sur un tour complet, l'intégrale de cos θ vaut 0 et celle de cos² θ vaut π :
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + 2 cos θ + cos^{2} θ) d θ = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2}$
Réponse

3π/2 ≈ 4,7124.

$A = \frac{3 π}{2} \approx 4.7124$
De x et y à r et θ 2 étapes
Calculez ∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (x² + y²) dy dx.

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1. y va de 0 jusqu'au cercle x² + y² = 1 et x de 0 à 1 : c'est le quart du disque unité dans le premier quadrant, soit 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2. Et x² + y² = r² :
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x^{2}} (x^{2} + y^{2}) d y d x = \int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r d r d θ$
2. Intégrez :
  
  $\int_{0}^{π /2} [\frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{1} d θ = \int_{0}^{π /2} \frac{1}{4} d θ = \frac{π}{8}$
Réponse

π/8 ≈ 0,3927.

$\frac{π}{8} \approx 0.3927$
Un disque qui n'est pas centré à l'origine 3 étapes
Calculez ∬ x dA sur le disque x² + y² ≤ 2x, et déduisez-en l'abscisse du centre de gravité du disque.

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1. En coordonnées polaires, le bord est r² = 2r cos θ, donc r = 2 cos θ, et r ≥ 0 impose cos θ ≥ 0. θ va de −π/2 à π/2, ce qui fait une fois le tour du cercle ; un tour complet de θ le parcourrait deux fois et doublerait le résultat.
  
  $x^{2} + y^{2} \leq 2 x ⟺ r \leq 2 cos θ, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$
2. Avec x = r cos θ :
  
  $\iint x d A = \int_{- π /2}^{π /2} \int_{0}^{2 c o s θ} r cos θ \cdot r d r d θ = \int_{- π /2}^{π /2} \frac{8}{3} cos^{4} θ d θ = \frac{8}{3} \cdot \frac{3 π}{8} = π$
3. Le disque a pour rayon 1 et pour aire π :
  
  $\overset{x}{ˉ} = \frac{\iint x d A}{A} = \frac{π}{π} = 1$
Réponse

∬ x dA = π ≈ 3,1416, donc le centre de gravité est en x = 1, au centre du disque.

$\iint x d A = π \approx 3.1416, \overset{x}{ˉ} = 1$
Le volume d'une boule 2 étapes
Calculez le volume d'une boule de rayon R comme intégrale double en coordonnées polaires.
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1. La moitié supérieure est le volume sous z = √(R² − x² − y²) au-dessus du disque r ≤ R :
  
  $V = 2 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} R^{2} - r^{2} r d r d θ$
2. Posez u = R² − r², d'où du = −2r dr ; c'est le r de l'élément d'aire qui fait marcher la substitution :
  
  $V = 2 \cdot 2 π \int_{0}^{R^{2}} \frac{1}{2} u d u = 2 π \cdot \frac{2}{3} R^{3} = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
Réponse

4πR³/3, le volume trouvé par tranches plus tôt dans le chapitre.

$V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
La gaussienne sur un disque 2 étapes
Calculez ∬ e^(−(x²+y²)) dA sur le disque de rayon R, puis sa limite quand R → ∞.

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1. En polaires, la fonction devient e^(−r²), et le r à côté d'elle lui donne une primitive qui s'écrit :
  
  $\int_{0}^{R} e^{- r^{2}} r d r = [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{R} = \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}})$
2. L'intégrale en θ multiplie par 2π :
  
  $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}}) d θ = π (1 - e^{- R^{2}})$
Réponse

π(1 − e^(−R²)), soit 3,0841 pour R = 2, qui tend vers π.

$π (1 - e^{- R^{2}}) R \to \infty π, R = 2 : \approx 3.0841$
∫e^(−x²) dx = √π 3 étapes
Montrez que l'intégrale de e^(−x²) sur toute la droite vaut √π.

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1. Soit I(b) l'intégrale de −b à b. Son carré est une intégrale double sur le carré |x|, |y| ≤ b :
  
  $I (b)^{2} = \int_{- b}^{b} e^{- x^{2}} d x \int_{- b}^{b} e^{- y^{2}} d y = \iint_{∣ x ∣, ∣ y ∣ \leq b} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A$
2. Le carré contient le disque de rayon b et se trouve dans le disque de rayon b√2. Comme la fonction est positive, d'après le problème 6 :
  
  $π (1 - e^{- b^{2}}) \leq I (b)^{2} \leq π (1 - e^{- 2 b^{2}})$
3. Les deux bornes tendent vers π quand b → ∞, donc I(b)² aussi, et I(b) est positif :
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = b \to \infty lim I (b) = π$
Réponse

√π ≈ 1,7725. Pour b = 2, les bornes valent 3,0841 et 3,1405, et I(2)² ≈ 3,1123 est entre les deux.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π \approx 1.7725$
La constante de la loi normale 2 étapes
Calculez l'intégrale de e^(−x²/2) sur toute la droite, et expliquez le facteur 1/√(2π) dans la densité de la loi normale centrée réduite.
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1. Posez x = √2 u, d'où dx = √2 du :
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 \int_{- \infty}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = 2 \cdot π = 2 π$
2. Divisez par √(2π), et le total vaut 1 :
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} d x = \frac{2 π}{2 π} = 1$
Réponse

√(2π). Ainsi (1/√(2π)) e^(−x²/2) a une aire totale égale à 1, comme doit l'avoir une densité de probabilité.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 π$

Oubliez le r, et l'aire du disque sort égale à son périmètre 🖖

Cliquez sur Disque unité. Avec le r, l'intégrale vaut π ≈ 3,1416 ; sans lui, les mêmes bornes donnent 2π ≈ 6,2832, le périmètre, qui est une longueur. ∫∫ dr dθ mesure le rectangle que devient le disque dans le plan rθ, 1 sur 2π, et dans ce plan toutes les cellules ont la même aire Δr Δθ, alors que dans le disque les cellules proches du centre sont de minces éclats et celles du bord sont larges. Une cellule entre les rayons r₁ et r₂ est la différence de deux secteurs, ½(r₂² − r₁²)Δθ, qui se factorise en ½(r₁ + r₂) · (r₂ − r₁) · Δθ : le rayon moyen fois Δr fois Δθ, exactement. Marquez une cellule au bord, puis une au centre, et comparez les deux lignes « cellule » des résultats. Comme rien n'a été approché, la somme sur la grille affiche π pour ce disque même avec n = 1, une seule cellule.

Le r que l'on oublie si facilement est justement ce qui permet de calculer ∫e^(−x²) dx 🖖

e^(−x²) n'a pas de primitive élémentaire, aucune qui se construise avec des puissances, des racines, des exponentielles, des logarithmes et des fonctions trigonométriques : Liouville l'a démontré dans les années 1830, et la page sur les intégrales non élémentaires applique son critère. Sur toute la droite, son intégrale vaut pourtant exactement √π. Appelons-la I. Alors I² est ∫e^(−x²) dx fois ∫e^(−y²) dy, c'est-à-dire l'intégrale de e^(−(x²+y²)) sur tout le plan, et en coordonnées polaires la fonction e^(−r²) arrive avec un r à côté d'elle. Or r e^(−r²) a une primitive : −½e^(−r²). L'intégrale intérieure vaut donc ½, l'intégrale en θ la multiplie par 2π, et I² = π. Cliquez sur Gaussienne sur un disque : la ligne de l'intégrale intérieure affiche ce crochet. La biographie de Kelvin par Silvanus Thompson (1910) raconte que Kelvin écrivit un jour ce résultat au tableau et dit à ses étudiants : « Un mathématicien est quelqu'un pour qui cela est aussi évident que, pour vous, deux fois deux font quatre. Liouville était un mathématicien. »

Le plan entier est une limite de carrés, et les disques donnent pourtant la bonne réponse 🖖

I² a été défini sur des carrés, |x|, |y| ≤ b, et calculé sur des disques. Cliquez sur Gaussienne sur un carré. Le carré contient le disque de rayon b et se trouve à l'intérieur du disque de rayon b√2 ; comme e^(−(x²+y²)) est positive, son intégrale sur le carré est comprise entre π(1 − e^(−b²)) et π(1 − e^(−2b²)). Les deux bornes tendent vers π, donc la valeur du carré aussi. Pour b = 2, les trois nombres sont 3,0841, 3,1123 et 3,1405. Cliquez sur Gaussienne, b = 1 : 1,9859, 2,231 et 2,7164, et les coins hors du disque intérieur portent 11 % de la valeur du carré. Voilà pourquoi l'argument donne l'intégrale sur toute la droite et ne fait qu'encadrer celle sur un intervalle fini : ∫e^(−x²) dx de −1 à 1 vaut 1,4936, et les disques la placent entre √1,9859 ≈ 1,4092 et √2,7164 ≈ 1,6482.

Parcours

Applications de l'intégration

Références (2)

The double integral over a polar region as the iterated integral of f(r, θ) r dr dθ (equation 5.8 and Theorem 5.8), the polar subrectangle's area r*ΔrΔθ with r* the middle radius, and the improper integral of e^(−10(x²+y²)) over the plane in polar coordinates (Example 5.35): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.3, “Double Integrals in Polar Coordinates”.
Insight block 2: Kelvin wrote ∫e^(−x²) dx = √π on the blackboard and told his class “A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.” (vol. 2, chapter XXV, p. 1139, footnote 1): S. P. Thompson, The Life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs, vol. 2, Macmillan, London (1910).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.