Aire entre deux courbes

L'aire entre deux courbes s'obtient en intégrant la courbe supérieure moins la courbe inférieure, tant que leurs positions ne s'inversent pas. Dès qu'elles se croisent, la différence change de signe et l'intégrale commence à soustraire une aire qu'elle devrait ajouter. Cet outil repère les intersections, effectue le découpage et affiche côte à côte l'aire réelle et l'intégrale brute.

Aire entre deux courbes	$A = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) d x$
Intersection en c	$\int_{a}^{b} f - g d x = \int_{a}^{c} (g - f) d x + \int_{c}^{b} (f - g) d x$

Exemple résolu — Aire entre deux courbes

Aire scindée aux intersections	0,5
Intégrale brute, non scindée	0
Intersections sur l'intervalle	1

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Aire entre deux courbes

L'aire entre deux courbes f et g sur [a, b] est ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Quand l'une des courbes reste constamment au-dessus, l'aire s'écrit ∫(haut − bas) dx ; dès qu'elles se croisent, vous découpez l'intégrale aux intersections en calculant sur chaque morceau le haut moins le bas.

Ce que signifie chaque symbole

f, g: les deux courbes, fonctions de x, ou de y lorsque le découpage s'effectue dans l'autre sens

D’où vient la formule

Trouvez leurs points d'intersection. Les croisements correspondent aux points de l'intervalle où f − g change de signe : c'est là que la courbe située au-dessus change. Résolvez f = g pour les trouver ; un point où les courbes ne font que se toucher n'en est pas un.
$f (x) = g (x) \Rightarrow x = c_{1}, \dots, c_{k}$
Intégrez « haut moins bas » sur chaque morceau. Entre deux croisements consécutifs, l'une des courbes reste au-dessus de l'autre : la fonction à intégrer y est positive, et l'intégrale donne l'aire de ce morceau.
$A = i \sum \int_{c_{i}}^{c_{i + 1}} (f (x) - g (x)) d x$

Problèmes entièrement résolus

Une parabole et une droite 2 étapes
Calculez l'aire comprise entre y = x² et y = x + 2.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Elles se coupent là où x² = x + 2 :
  
  $x^{2} = x + 2 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = - 1, 2$
2. Entre −1 et 2, la droite se situe au-dessus :
  
  $\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}$
Réponse

9/2 = 4,5. Vérifiez les positions relatives en un point : en x = 0, la droite vaut 2 et la parabole 0.

$A = \frac{9}{2} = 4.5$
Courbes se croisant dans l'intervalle 2 étapes
Calculez l'aire comprise entre y = x³ et y = x sur [−1, 1].

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. Elles se coupent en x = −1, 0 et 1, puis échangent leurs positions en 0 :
  
  $x^{3} = x \Rightarrow x = - 1, 0, 1$
2. Sur chaque intervalle, placez la courbe du dessus en premier :
  
  $\int_{- 1}^{0} (x^{3} - x) d x + \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
Réponse

½. L'intégrale directe de x − x³ sur [−1, 1] donne 0, ce qu'illustrait l'encadré sur l'intégrale nulle.

$A = \frac{1}{2}$
Deux courbes trigonométriques 2 étapes
Calculez l'aire comprise entre y = sin x et y = cos x sur [0, π/2].

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. Elles se coupent là où tan x = 1, en π/4 ; cos x se trouve au-dessus avant ce point :
  
  $sin x = cos x \Rightarrow x = \frac{π}{4}$
2. Les deux morceaux réunis :
  
  $\int_{0}^{π /4} (cos x - sin x) d x + \int_{π /4}^{π /2} (sin x - cos x) d x = (2 - 1) + (2 - 1)$
Réponse

2√2 − 2 ≈ 0,8284. Les deux morceaux sont égaux et valent √2 − 1 chacun, par symétrie autour de x = π/4.

$A = 22 - 2 \approx 0.8284$
Découpage selon y 2 étapes
Calculez l'aire comprise entre x = y² et x = y + 2.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Elles se coupent là où y² = y + 2, en y = −1 et y = 2 ; la droite se situe à droite :
  
  $y^{2} = y + 2 \Rightarrow y = - 1, 2$
2. Une seule intégrale en y :
  
  $\int_{- 1}^{2} (y + 2 - y^{2}) d y = \frac{9}{2}$
Réponse

9/2 = 4,5. On retrouve la valeur du premier problème, cette région étant l'image de la première par symétrie par rapport à la droite y = x.

$A = \frac{9}{2} = 4.5$
Courbes sécantes uniquement aux extrémités 1 étapes
Calculez l'aire comprise entre y = √x et y = x² sur [0, 1].

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. √x se situe au-dessus entre 0 et 1 :
  
  $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$
Réponse

1/3. Chaque courbe est l'image de l'autre par symétrie par rapport à y = x ; la droite y = x partage donc cette aire en deux moitiés valant 1/6.

$A = \frac{1}{3}$
Courbes sécantes en trois points 2 étapes
Calculez l'aire totale délimitée par y = x³ − x et y = 3x.
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1. Elles se coupent là où x³ − 4x = 0, en x = −2, 0 et 2 :
  
  $x^{3} - x = 3 x \Rightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Rightarrow x = - 2, 0, 2$
2. Les deux morceaux ont la même forme, à un demi-tour près autour de l'origine : doublez donc celui de droite, où 3x est au-dessus :
  
  $A = 2 \int_{0}^{2} (4 x - x^{3}) d x = 2 [2 x^{2} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{2} = 2 (8 - 4)$
Réponse

8. Sans découpage, l'intégrale sur [−2, 2] donnerait à nouveau 0.

$A = 8$

L'intégrale de la différence peut s'annuler sur une région d'aire pourtant bien réelle 🖖

Cliquez sur x³ et x : zéro, pourtant une aire. Sur [−1, 1], les deux courbes se croisent en 0. À gauche, x³ est au-dessus ; à droite, c'est x. Les deux lobes ont la même forme, à un demi-tour près autour de l'origine, et valent chacun 0,25. L'intégrale de x − x³ compte positivement le lobe droit et négativement le gauche : elle aboutit à 0. L'aire, elle, vaut 0,5. Cliquez sur sin et cos, un tour complet pour observer la même situation à plus grande échelle : une aire de 4√2 ≈ 5,6569 et une intégrale exactement égale à 0. L'intégrale de f − g mesure de combien f dépasse globalement g ; l'aire exige |f − g|. Pour intégrer une valeur absolue, vous la découpez là où l'expression change de signe.

Une même région peut exiger une seule intégrale ou deux selon le sens du découpage 🖖

Cliquez sur x = y² et x = y + 2. En intégrant selon y, chaque tranche horizontale part de la parabole à gauche pour aboutir sur la droite : une seule intégrale suffit, ∫ de −1 à 2 de (y + 2 − y²) dy = 4,5. Découpez plutôt cette région selon x, et le bord inférieur change en chemin : avant x = 1, les deux extrémités reposent sur la parabole, y = ±√x, tandis que de 1 à 4, le bas est formé par la droite. Il faut alors deux intégrales, avec des termes en √x, pour retrouver le même 4,5. Avant de fixer votre variable, regardez toujours quelles frontières chaque bande viendra toucher.

Archimède calculait déjà cette aire sans intégrale : les quatre tiers d'un triangle 🖖

Cliquez sur Parabole d'Archimède. La droite x + 2 coupe la parabole en (−1, 1) et (2, 4), délimitant une aire de 4,5. Construisez sur cette corde le triangle dont le troisième sommet correspond au point de tangence parallèle, en (½, ¼) : son aire vaut 3,375, et 4,5 en représente exactement les 4/3. Archimède l'a établi vers 250 av. J.-C., dans La Quadrature de la parabole, en épuisant le segment par une suite de triangles valant chacun le quart du précédent, puis en sommant 1 + ¼ + 1/16 + … = 4/3. L'intégrale donne ce résultat en une seule ligne. Sa méthode se passait de tout calcul différentiel : il n'existait pas encore.

Parcours

Applications de l'intégration

Références (2)

The method as the page uses it: Theorem 6.1 (∫ₐᵇ [f − g] dx when f ≥ g), Theorem 6.2 (∫ₐᵇ |f − g| dx for curves that cross, split at the intersections) and Theorem 6.3 (∫꜀ᵈ [u(y) − v(y)] dy along the y-axis): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.1, “Areas between Curves”.
Insight block 3: Proposition 24, “Every segment bounded by a parabola and a chord Qq is equal to four-thirds of the triangle which has the same base as the segment and equal height” (p. 251), proved through Proposition 23's sum of areas each a quarter of the one before (p. 250): T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes, Cambridge University Press (1897), “Quadrature of the Parabola”, Propositions 23–24, pp. 250–251.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.