Laboratoire d'intégration numérique
Estimez l'aire sous une courbe ou entre deux fonctions, et visualisez comment les méthodes numériques approximent l'intégrale.
pourquoi Simpson peut sembler presque exact 🖖
L'intégration numérique ne consiste pas seulement à obtenir une estimation, mais à comprendre le comportement de l'erreur. Les sommes gauche et droite portent un biais d'extrémité, le point médian et le trapèze s'améliorent généralement avec une convergence du second ordre pour les fonctions lisses, et Simpson s'améliore souvent bien plus rapidement. Lorsque doubler n change à peine l'estimation, votre approximation se trouve probablement dans un régime stable.
zoomez et toute courbe devient droite 🖖
L'intégration numérique découpe la région sous une courbe en fines bandes et remplit chacune d'une forme simple — un rectangle, un trapèze ou une petite parabole — puis additionne les morceaux. L'astuce : dans une bande étroite, même une courbe très sinueuse paraît presque droite, si bien qu'une forme grossière s'ajuste étonnamment bien. Observez le remplissage cyan : plus les bandes sont fines, moins le choix de la forme compte, car il reste moins de courbe à manquer.
La règle de Simpson précède Simpson 🖖
La formule de panneau que cet outil utilise pour Simpson, S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)), est identique à une règle que Johannes Kepler publia en 1615 pour jauger le volume des tonneaux de vin — la règle du tonneau de Kepler — plus d'un siècle avant que Thomas Simpson ne l'écrive en 1743. Un cas d'école où le nom d'une méthode survit à son véritable inventeur. Kepler en avait besoin car la paroi bombée d'un tonneau n'a pas de formule d'aire simple.
Exemples de problèmes
- Gauche grossier - Même avec un n élevé, les rectangles à gauche montrent un biais d'extrémité gauche sur une courbe convexe.
- Simpson lisse - Sur la courbe régulière de sin(x), la méthode de Simpson converge rapidement vers l'aire exacte.
- Courbe exponentielle - Pour exp(x), la méthode des trapèzes tend à surestimer car la courbe est convexe.
- Arc tangente - La méthode du point milieu capture bien le profil borné de 1/(1+x^2) avec un nombre modéré de subdivisions.
- Entre parabole et droite - L'intégration par différence suit l'aire algébrique entre la parabole et la droite.
- Entre sinus et cosinus - Le mode entre-courbes intègre sin(x)-cos(x) sur l'intervalle sélectionné.
- Personnalisé - Des préréglages personnalisés combinent, dans un même scénario, une parabole et une droite aux coefficients transformés.