Laboratoire d'intégration numérique

Estimez l'aire sous une courbe ou entre deux fonctions, et visualisez comment les méthodes numériques approximent l'intégrale.

Exemple résolu — Laboratoire d'intégration numérique

Valeur définie	2.666667
Intégrale exacte	2.666667
Forme	1x+0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

doublez le nombre de bandes, Simpson gagne un facteur 16 🖖

Toutes les méthodes présentées ici convergent ; seule leur vitesse diffère. Sur e^x dans [0 ; 1], doubler le nombre de bandes divise l’erreur de la somme à gauche par 2, celle du point milieu et des trapèzes par 4, celle de Simpson par 16. Simpson évalue trois points par bande, contre un seul pour la somme à gauche : le calcul est donc trois fois plus coûteux. Pour n = 8 avec cette fonction, son résultat est déjà plus proche de six ordres de grandeur.

zoomez et toute courbe devient droite 🖖

L’intégration numérique découpe la région située sous une courbe en bandes étroites, remplit chacune d’une forme simple (rectangle, trapèze ou petit arc de parabole), puis additionne leurs aires. Même une courbe très irrégulière paraît presque droite sur une bande assez étroite ; une forme rudimentaire l’approche donc étonnamment bien. Observez le remplissage cyan : plus les bandes s’amincissent, plus l’erreur possible sur chacune diminue, quelle que soit la forme choisie.

La règle de Simpson précède Simpson 🖖

Johannes Kepler publia en 1615 la formule parabolique utilisée ici pour la méthode de Simpson : S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)). Elle lui servait à estimer le volume des tonneaux de vin et porte encore en allemand le nom de Keplersche Fassregel. Thomas Simpson la consigna en 1743, un siècle et quart plus tard. Kepler en avait besoin parce que le renflement d’un tonneau ne se prête à aucune formule d’aire simple.

THÉORIE DE L’INTÉGRATION NUMÉRIQUE — CINQ FAÇONS DE MESURER UNE AIRE

Choisir la règle : quelle forme glissez-vous sous la courbe ?

Chaque règle découpe [a, b] en n bandes et remplace la courbe dans chaque bande par quelque chose de mesurable exactement. Les règles ne diffèrent que par cette forme de remplacement — une horizontale à un bord, une horizontale au milieu, une droite inclinée ou une parabole — et ce choix détermine votre erreur ainsi que la vitesse à laquelle elle diminue quand vous ajoutez des bandes.

Rectangles à gauche — plats au bord gauche h · Σ f(x_i)

Rectangles à droite — plats au bord droit h · Σ f(x_i+1)

Rectangles du point milieu — plats au centre h · Σ f(x_i + h/2)

Règle des trapèzes — une droite en travers (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Règle de Simpson — une parabole par trois points (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Rectangles à gauche — plats au bord gauche

Forme utilisée: Un rectangle par bande, sa hauteur relevée à l’extrémité gauche de la bande.

Règle: h · Σ f(x_i)

Comportement de l’erreur: Sur une courbe croissante, chaque rectangle passe en dessous : le total est sous-estimé. Diviser la largeur par deux réduit l’erreur d’environ moitié.

Ouvrir ce cas: Gauche, 50 bandes

$Rectangles à gauche — plats au bord gauche. Chaque bande est un rectangle calé sur son bord gauche, laissant un coin de courbe non compté. Un rectangle par bande, sa hauteur relevée à l’extrémité gauche de la bande.$

Chaque bande est un rectangle calé sur son bord gauche, laissant un coin de courbe non compté.

Rectangles à droite — plats au bord droit

Forme utilisée: Un rectangle par bande, sa hauteur relevée cette fois à l’extrémité droite.

Règle: h · Σ f(x_i+1)

Comportement de l’erreur: Sur la même courbe croissante, chaque rectangle dépasse désormais, surestimant à peu près de ce que la règle de gauche avait perdu.

Ouvrir ce cas: Droite, 8 bandes

Rectangles à droite — plats au bord droit. Mêmes bandes, hauteur prise au bord droit : le biais change de signe. Un rectangle par bande, sa hauteur relevée cette fois à l’extrémité droite. — Mêmes bandes, hauteur prise au bord droit : le biais change de signe.

Rectangles du point milieu — plats au centre

Forme utilisée: Un rectangle par bande, sa hauteur lue au milieu de la bande plutôt qu’à une extrémité.

Règle: h · Σ f(x_i + h/2)

Comportement de l’erreur: L’excédent sur une moitié de bande compense le manque sur l’autre. Diviser h par deux ramène l’erreur au quart environ.

Ouvrir ce cas: Arc tangente

Rectangles du point milieu — plats au centre. Échantillonner au centre laisse les deux erreurs de chaque bande se compenser. Un rectangle par bande, sa hauteur lue au milieu de la bande plutôt qu’à une extrémité. — Échantillonner au centre laisse les deux erreurs de chaque bande se compenser.

Règle des trapèzes — une droite en travers

Forme utilisée: Chaque bande devient un trapèze reliant les valeurs de la courbe aux deux bords de la bande.

Règle: (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Comportement de l’erreur: exp(x) sur [0, 1] avec n = 8 : les cordes passent au-dessus de la courbe convexe, l’estimation ressort donc trop haute.

Ouvrir ce cas: Courbe exponentielle

Règle des trapèzes — une droite en travers. Des cordes sur chaque bande : au-dessus d’une courbe convexe, en dessous d’une concave. Chaque bande devient un trapèze reliant les valeurs de la courbe aux deux bords de la bande. — Des cordes sur chaque bande : au-dessus d’une courbe convexe, en dessous d’une concave.

Règle de Simpson — une parabole par trois points

Forme utilisée: Les bandes sont prises par paires et une parabole est ajustée sur les trois points qui les couvrent. Exige un n pair.

Règle: (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Comportement de l’erreur: sin(x) sur [0, π] avec seulement n = 10 retrouve déjà la valeur exacte 2 à plusieurs décimales.

Ouvrir ce cas: Simpson lisse

Règle de Simpson — une parabole par trois points. Une parabole par paire de bandes, épousant la courbe bien mieux qu’une corde. Les bandes sont prises par paires et une parabole est ajustée sur les trois points qui les couvrent. Exige un n pair. — Une parabole par paire de bandes, épousant la courbe bien mieux qu’une corde.

Références (1)

Insight block 3 — Simpson's rule, a century before Simpson: J. Kepler, Nova stereometria doliorum vinariorum. Linz, 1615 — the Keplersche Fassregel, derived to gauge the volume of wine barrels.

Problème entièrement résolu

La méthode des trapèzes à n = 8 sur e x 5 étapes
Intégrez e^x de 0 à 1 avec huit trapèzes, et déterminez exactement l'erreur du résultat avant de la comparer à quoi que ce soit. Il s'agit de la méthode des trapèzes pour n = 8 appliquée à e^x sur [0, 1] — la seule fonction à intégrer dont l'estimation peut s'écrire sous forme explicite.
1. La méthode des trapèzes calcule la moyenne des deux hauteurs d'extrémité de chaque bande, de sorte que chaque hauteur intérieure est comptée une fois et les deux hauteurs extérieures comptent pour moitié. Pour e^x sur une grille régulièrement espacée, ces hauteurs ne sont pas huit nombres indépendants : chacun s'obtient en multipliant le précédent par e^1/8.
  
  $T = h [\frac{f _{0} + f _{8}}{2} + k = 1 \sum 7 f_{k}], h = \frac{1}{8}, f_{k} = e^{k /8} = r^{k}, r = e^{1/8} = 1.133148$
2. Les puissances consécutives de r se somment comme une série géométrique, de sorte que les sept hauteurs intérieures se réduisent à un unique quotient. La huitième puissance de r vaut exactement e, ce qui fait de l'intervalle [0, 1] un choix particulièrement commode pour cet exercice.
  
  $k = 1 \sum 7 r^{k} = \frac{r ^{8} - r}{r - 1} = \frac{e - r}{r - 1} = \frac{1.585134}{0.133148} = 11.905008$
3. Multiplier la parenthèse par la largeur de bande achève l'estimation. Rien jusqu'ici n'est approximatif, à l'exception de la décision initiale de remplacer le haut courbe des bandes par un segment droit.
  
  $T = \frac{1}{8} [\frac{1 + e}{2} + 11.905008] = \frac{1}{8} [1.859141 + 11.905008] = 1.720519$
4. Reprenons maintenant ces trois mêmes lignes sans les décimales. La moyenne des extrémités et le quotient géométrique ont un facteur commun, et ce qui subsiste après simplification est e − 1 — l'intégrale exacte — multiplié par une quantité qui ne dépend que de h. La méthode des trapèzes n'a pas produit une approximation de e^x ici ; elle a multiplié la réponse exacte par un facteur qui ne sait rien de la courbe.
  
  $T = h [\frac{1 + e}{2} + \frac{e - r}{r - 1}] = \frac{h ( e - 1 ) ( r + 1 )}{2 ( r - 1 )} = (e - 1) \cdot \frac{h}{2} coth \frac{h}{2}$
5. Ce facteur s'écrit x coth x pour x = h/2, et il est pair en x, de sorte que son développement en série commence par 1 + x²/3 et ne comporte aucun terme linéaire dont il faudrait se soucier. Pour x = h/2, cela donne 1 + h²/12, et le 1/12 cité par tous les manuels dans la borne d'erreur des trapèzes n'est rien d'autre que ce coefficient de la série. Le terme suivant, −h⁴/720, ne vaut que 3,4 × 10⁻⁷, si bien que le terme principal suffit à ajuster l'erreur à six chiffres près.
  
  $x coth x = \frac{x cosh x}{sinh x} = \frac{1 + \frac{x ^{2}}{2} + \dots}{1 + \frac{x ^{2}}{6} + \dots} = 1 + \frac{x ^{2}}{3} + \dots, x = \frac{h}{2} ⟹ T - I = \frac{I h ^{2}}{12} = \frac{1.718282}{768} = 0.0022373$
Réponse

L'outil affiche une estimation de 1,720519 pour une valeur exacte de 1,718282, et la différence de 0,0022368 est exactement ce que I·h²/12 = 0,0022373 prédisait à partir du seul espacement de la grille. Ces deux valeurs étaient disponibles avant même que e^x ne soit évaluée nulle part, ce qui constitue le fond du problème : l'erreur des trapèzes sur cette intégrale est une propriété de h, non un mystère propre à la fonction intégrée. Le prix d'une loi en h² est élevé. Obtenir les six décimales que l'outil affiche comme exactes nécessite 462 bandes — soit 463 hauteurs de e^x — alors que la méthode de Simpson de l'outil, qui attribue aux hauteurs gauche, centrale et droite de chaque panneau des poids 1 : 4 : 1, donne 1,718282 dès six panneaux, soit treize hauteurs. Ce facteur de trente-cinq n'apporte rien de nouveau sur le plan mathématique ; c'est une autre moyenne de hauteurs que la méthode des trapèzes côtoyait déjà.

$T = I \cdot \frac{h}{2} coth \frac{h}{2} = I (1 + \frac{h ^{2}}{12} - \frac{h ^{4}}{720} + \dots)$

Parcours

Trois méthodes numériques, et où chacune atteint ses limites

Mène à Méthode d'Euler

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Gauche, 50 bandes - Avec cinquante rectangles à gauche, l’approximation de x² reste inférieure de 0,0795 à la valeur exacte. Le biais dû au choix des extrémités ne disparaît pas quand n augmente ; il décroît seulement en proportion inverse.
Droite, 8 bandes - Huit rectangles à droite donnent 3,1875, contre 2,1875 pour huit rectangles à gauche. L’écart vaut exactement 1 : c’est h multiplié par f(2) - f(0), quel que soit le comportement de la courbe entre les deux extrémités.
Simpson lisse - Pour sin(x) sur [0 ; π], avec dix panneaux de Simpson : 2,00000678 au lieu de la valeur exacte 2. Dix bandes suffisent pour obtenir six chiffres exacts.
Courbe exponentielle - Avec huit trapèzes pour e^x, on obtient 1,720519 au lieu de 1,718282. L’exercice corrigé ci-dessous exprime cette approximation sous forme exacte et explique précisément pourquoi elle est trop grande.
Arc tangente - 1/(1+x²) est paire : sur [-2 ; 2], les sommes à gauche et à droite coïncident à 2,211342, sans encadrer la valeur exacte. La méthode du point milieu donne 2,215772 au lieu de 2,214297.
Entre parabole et droite - x² et x se coupent deux fois dans [-1 ; 2] ; l’aire algébrique est donc inférieure à l’aire comprise entre leurs courbes. Simpson donne exactement 1,5, car leur différence est un polynôme du second degré.
Entre sinus et cosinus - Pour sin(x) - cos(x) sur [0 ; π], avec dix-huit trapèzes : 1,994920 au lieu de la valeur exacte 2.
Personnalisé - La différence entre un polynôme du second degré et une fonction affine reste du second degré. La méthode de Simpson est exacte dans ce cas : le panneau donne 9,25, sans aucune erreur.