Visualiseur de la méthode d'Euler

modifiez la taille du pas et observez l'accumulation de l'erreur globale

Exemple résolu — Visualiseur de la méthode d'Euler

Euler y(xn)	7.000266
Exact y(xn)	7.000671
Erreur globale absolue	0.000405
Erreur / taille de pas	0.002025
Erreur finale avec h/2	0.000234
Rapport d'erreur	1.731285
Multiplicateur d'Euler	0.8

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Diviser le pas par deux ne divise l’erreur que par deux 🖖

La méthode d’Euler avance sur la tangente : y_n+1 = y_n + h · f(x_n, y_n). À chaque pas, l’erreur vaut environ h²/2 fois la dérivée seconde de la solution. C’est peu. Mais réduire h multiplie aussi le nombre de pas : il en faut 1/h sur un intervalle fixé. Ces erreurs en h² s’accumulent donc en une erreur totale proportionnelle à h, et non à h². C’est ce que signifie « d’ordre un ». Voilà le prix de la précision : chaque décimale exacte supplémentaire demande dix fois plus de calculs.

Suivre la pente pas à pas 🖖

La méthode d’Euler repose sur l’approximation la plus simple qui soit valable : partez du point où vous êtes, suivez la direction indiquée par l’équation sur une courte distance h, puis corrigez votre orientation. La courbe exacte, elle, continue de s’incurver. Chaque segment rectiligne néglige cette courbure et s’en écarte, toujours dans le même sens : sous une courbe convexe, au-dessus d’une courbe concave. Les sept exemples proposés ici suivent cette règle. Le panneau affiche l’erreur au point final pour h, puis pour h/2 ; vous pouvez ainsi lire directement leur rapport.

Où le nombre e se cache dans Euler 🖖

Appliquez la méthode d'Euler à l'équation y' = y en partant de y = 1 : chaque pas se contente de multiplier par (1 + h). Faites N pas de taille h = 1/N sur l'intervalle [0, 1] et le résultat est exactement (1 + 1/N)^N — la formule des intérêts composés. Quand N grandit, elle converge vers e ≈ 2.71828, si bien que les pas rectilignes rudimentaires d'Euler reconstruisent discrètement la capitalisation continue et la définition de l'exponentielle.

MÉTHODE D'EULER — LE PAS DÉCIDE SI LE RÉSULTAT VEUT DIRE QUELQUE CHOSE

Dans quel cas de pas êtes-vous ?

Euler prend la pente là où il se tient et avance en ligne droite pendant h avant de regarder à nouveau : yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Tout ce qui déraille tient à h. Assez petit et l'erreur diminue proportionnellement ; trop grand et la réponse oscille ou explose ; et aucun h ne vous protège d'une solution qui file à l'infini pendant que les nombres à l'écran restent sages.

Un pas raisonnable — l'erreur existe mais reste petite y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Pas trop grand — la réponse oscille autour de la vérité |1 + hλ| > 1

Un pas fin — vous payez en travail, pas en précision ε ∝ h

La solution exacte s'échappe à l'infini — et Euler n'y voit rien y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Un pas raisonnable — l'erreur existe mais reste petite

Ce que vous savez: Une équation lisse et stable avec un pas largement en deçà de la limite de stabilité. La courbe numérique suit l'exacte en restant légèrement en retrait.

Pas: y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Exemple résolu: y′ = x − y depuis y(0) = 1 avec h = 0,2 → en x = 2, Euler donne 1,2147 contre 1,2707 exact, une erreur de 0,056

Ouvrir ce cas: linéaire stable

Un pas raisonnable — l'erreur existe mais reste petite. Les pas rectilignes restent près de la vraie courbe et s'en écartent toujours du même côté. Une équation lisse et stable avec un pas largement en deçà de la limite de stabilité. La courbe numérique suit l'exacte en restant légèrement en retrait. — Les pas rectilignes restent près de la vraie courbe et s'en écartent toujours du même côté.

Pas trop grand — la réponse oscille autour de la vérité

Ce que vous savez: Une équation de décroissance où h a dépassé le point à partir duquel un pas franchit l'équilibre. La solution exacte ne change jamais de signe ; la numérique, si.

Pas: |1 + hλ| > 1

Exemple résolu: y′ = −2y avec h = 0,6 → 1, puis −0,2 ; 0,04 ; −0,008 : le premier pas saute déjà au-delà de zéro, alors que la valeur exacte en x = 0,6 vaut 0,301

Ouvrir ce cas: décroissance, h grossier

Pas trop grand — la réponse oscille autour de la vérité. Un pas franchit l'axe : les nombres changent de signe alors que la vraie solution ne le fait jamais. Une équation de décroissance où h a dépassé le point à partir duquel un pas franchit l'équilibre. La solution exacte ne change jamais de signe ; la numérique, si. — Un pas franchit l'axe : les nombres changent de signe alors que la vraie solution ne le fait jamais.

Un pas fin — vous payez en travail, pas en précision

Ce que vous savez: La même équation avec un pas bien plus petit. L'erreur baisse proportionnellement à h et le nombre de pas monte en proportion inverse.

Pas: ε ∝ h

Exemple résolu: y′ = −2y en x = 0,6 : avec h = 0,1 l'erreur vaut 0,039, avec h = 0,05 elle vaut 0,019 — moitié de pas, moitié d'erreur, deux fois plus de pas

Ouvrir ce cas: décroissance, h fin

Un pas fin — vous payez en travail, pas en précision. Diviser le pas par deux divise par deux l'écart à la courbe exacte et double le nombre de pas. La même équation avec un pas bien plus petit. L'erreur baisse proportionnellement à h et le nombre de pas monte en proportion inverse. — Diviser le pas par deux divise par deux l'écart à la courbe exacte et double le nombre de pas.

La solution exacte s'échappe à l'infini — et Euler n'y voit rien

Ce que vous savez: Une équation non linéaire dont la vraie solution a une asymptote verticale en un x fini. La solution numérique passe à côté et continue de rendre des nombres ordinaires.

Pas: y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Exemple résolu: y′ = y² depuis y(0) = 0,18 explose en x = 1/0,18 = 5,56, et pourtant Euler avec h = 0,18 annonce un tranquille 0,68 en x = 4,32, où la vraie valeur atteint déjà 0,81

Ouvrir ce cas: croissance quadratique

La solution exacte s'échappe à l'infini — et Euler n'y voit rien. La vraie courbe devient verticale en un x fini ; la numérique passe devant sans broncher. Une équation non linéaire dont la vraie solution a une asymptote verticale en un x fini. La solution numérique passe à côté et continue de rendre des nombres ordinaires. — La vraie courbe devient verticale en un x fini ; la numérique passe devant sans broncher.

Références (1)

The method, as Euler set it out: L. Euler, Institutiones calculi integralis, Volume I. Academia Imperialis Scientiarum, Saint Petersburg, 1768.

Intuition erronée courante

Plus de pas ne garantit pas à lui seul plus de précision. Si h reste trop grand par rapport à la courbure, Euler reste biaisé.

Problème entièrement résolu

La réponse d'Euler en x = 8 pour y′ = x − y 5 étapes
Écrivez la réponse d'Euler en x = 8 sous forme explicite, sans effectuer la moindre étape, puis expliquez pourquoi diviser h par deux ne divise pas l'erreur par deux. Il s'agit de y′ = x − y en partant de (0, 1) avec h = 0,2 et 40 étapes.
1. Commençons par la réponse visée par Euler. L'équation est linéaire, x − 1 est une solution particulière, et la condition initiale fixe à 2 le coefficient de la partie décroissante.
  
  $y^{'} = x - y, y (0) = 1 ⟹ y = x - 1 + 2 e^{- x}, y (8) = 7 + 2 e^{- 8} = 7.000671$
2. La règle d'Euler sur cette équation n'est pas un désordre non linéaire général — c'est une récurrence affine. Et le même x − 1 qui résolvait l'équation différentielle résout la récurrence exactement, étape par étape. Euler obtient parfaitement la partie affine de la réponse.
  
  $y_{n + 1} = y_{n} + h (x_{n} - y_{n}) = (1 - h) y_{n} + h x_{n}, y_{n} = x_{n} - 1 ⟹ y_{n + 1} = x_{n} - 1 + h = x_{n + 1} - 1$
3. Toute l'erreur réside donc dans ce qui reste, et ce qui reste est une suite géométrique de raison 1 − h. Quarante facteurs 0,8 atteignent le point final du panneau sans effectuer le moindre pas.
  
  $y_{n} = x_{n} - 1 + 2 (1 - h)^{n} ⟹ y_{40} = 7 + 2 (0.8)^{40} = 7 + 2.658456 \times 1 0^{- 4} = 7.000266$
4. Mettons à présent les deux parties décroissantes côte à côte : la vraie est e^−x, celle d'Euler est (1 − h)^x/h. Toutes deux sont des exponentielles en x, et δ est la différence totale entre leurs taux. Sa série commence à xh/2 — ce h en tête constitue tout le contenu de l'expression “premier ordre”.
  
  $(1 - h)^{x / h} = e^{- x - δ}, δ = x (\frac{- ln ( 1 - h )}{h} - 1) = \frac{x h}{2} + \frac{x h ^{2}}{3} + \dots = 0.925742$
5. L'erreur est ce qui subsiste lorsque l'on soustrait les deux exponentielles. Le premier ordre prédit que diviser h par deux la divise par deux, le rapport devrait donc être 2.
  
  $E_{h} = 2 e^{- x} (1 - e^{- δ}) : E_{0.2} = 0.000405, E_{0.1} = 0.000234, \frac{E _{0.2}}{E _{0.1}} = \frac{1 - e ^{- 0.925742}}{1 - e ^{- 0.428841}} = \frac{0.603763}{0.348737} = 1.731285$
Réponse

Euler s'achève à 7,000266 contre une valeur exacte de 7,000671, soit une erreur globale de 0,000405 ; divisez le pas par deux et elle ne descend qu'à 0,000234, soit un rapport de 1,731285 là où le premier ordre promettait 2. La promesse n'est pas rompue — elle n'a pas encore commencé à s'appliquer. Il faut que δ ≈ xh/2 soit petit, or pour x = 8 avec h = 0,2 ce nombre vaut 0,8, de sorte que le terme linéaire de l'erreur est encore en compétition avec tous les termes qui le suivent ; amener le rapport observé à 1,9933 nécessite h = 0,005, ce qui représente 1600 étapes sur ces mêmes huit unités. La forme explicite livre une lecture plus fine : la méthode d'Euler ne donne pas une approximation de cette solution, elle résout exactement une équation différente, où la décroissance géométrique 0,8ⁿ remplace e^−x — et 0,8 est le multiplicateur 1 + hλ qu'affiche déjà le panneau. Mesurée sur cette seule partie décroissante, l'erreur d'Euler atteint 60%. L'erreur globale ne paraît infime que parce que la partie sur laquelle elle se trompe s'est presque éteinte au moment où x atteint 8.

$\frac{E _{h}}{E _{h /2}} = \frac{1 - e ^{- δ_{h}}}{1 - e ^{- δ_{h /2}}} ⟶ 2 (δ ≪ 1), δ_{h} \approx \frac{x h}{2} = 0.8$

Parcours

Trois méthodes numériques, et où chacune atteint ses limites

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

linéaire stable - La seule équation proposée dont l’approximation d’Euler s’écrit sous forme fermée : 7 + 2(0,8)⁴⁰. Aucun pas n’est nécessaire, et l’erreur peut être vérifiée jusqu’au dernier chiffre.
décroissance, h grossier - Pour h = 0,6, le multiplicateur d’Euler vaut -0,2. L’approximation change donc de signe à chaque pas, tandis que la solution exacte reste toujours positive.
logistique, h moyen - Croissance logistique à partir de 0,2 : la pente augmente, atteint un maximum, puis s’annule. Euler donne 0,9993 au lieu de 0,9987, car la courbe est concave et sa tangente ne l’est pas.
décroissance, h fin - Même équation de décroissance avec h = 0,05 : le multiplicateur vaut 0,9 et les changements de signe disparaissent. Douze fois plus de pas assurent la stabilité, pas seulement la précision.
courbe de refroidissement - Un café à 90 degrés refroidit dans une pièce à 20 degrés. À la fin, Euler donne 20,06 contre 20,12 exactement : six centièmes d’écart après une baisse de soixante-dix degrés.
excitation sinusoïdale - Dans y' = cos(x), le membre de droite ne dépend pas de y. Ici, Euler coïncide donc exactement avec la somme de Riemann à gauche du cosinus : 1,079, alors que l’intégrale exacte vaut 0,970.
croissance quadratique - La solution de y' = y² tend vers l’infini en x = 5,56. Le panneau s’arrête à 4,32 et affiche 0,68 au lieu de 0,81. C’est lorsqu’elle paraît la plus sage qu’elle est la moins fiable.