Visualiseur de la méthode de Newton

recherche de racines par tangentes successives et diagnostic de convergence

Exemple résolu — Visualiseur de la méthode de Newton

Racine estimée	1.52138
Itérations	3
Résidu \|f(x)\|	5.894×10⁻⁷

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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0,55 et 0,58 aboutissent à des racines de signes opposés 🖖

À chaque étape, la méthode de Newton double le nombre de chiffres exacts. Le préréglage Racine rapide le montre bien : de x₀ = 1 vers √2, l’erreur prend successivement les valeurs 0,414, 0,0858, 0,00245, 2,1 × 10⁻⁶, 1,6 × 10⁻¹². Quatre étapes, douze chiffres. Mais ce même mécanisme peut provoquer l’échec de la méthode. Lorsque la dérivée est presque nulle, la tangente est quasiment horizontale et le pas devient immense. Pour x³ − x, partir de 0,5774 envoie le premier itéré à −2210 : voilà pourquoi 0,55 aboutit à la racine négative, tandis que 0,58 mène à la racine positive.

suivre la tangente jusqu'à l'axe 🖖

Pour trouver où une courbe traverse zéro, la méthode de Newton remplace la courbe par sa tangente au point d'estimation actuel et saute là où cette droite coupe l'axe des x. Comme une courbe lisse paraît presque droite de près, ce point d'intersection est en général bien plus proche de la vraie racine. En répétant, on converge vite. La formule : x_n+1 = x_n − f(x_n)/f'(x_n).

les ordinateurs divisent sans diviser 🖖

Les processeurs modernes calculent souvent a/b en trouvant d'abord 1/b, et la méthode de Newton y parvient sans aucune division. Appliquée à f(x) = 1/x − a, elle donne l'itération x_n+1 = x_n(2 − a·x_n), composée uniquement de multiplications et de soustractions, des opérations peu coûteuses pour le matériel. La même astuce sous-tend les routines rapides de racine inverse, dont la célèbre de Quake III.

MÉTHODE DE NEWTON — QUAND ELLE DOUBLE VOS DÉCIMALES, ET QUAND ELLE S'ENFUIT

Dans quel cas de Newton êtes-vous ?

La méthode de Newton suit la tangente jusqu'à l'axe et recommence : xₖ₊₁ = xₖ − f(xₖ)/f′(xₖ). Quand elle fonctionne, c'est spectaculaire : le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque étape. Toutes ses façons d'échouer viennent du même endroit — ce dénominateur. Un f′ presque nul vous projette au loin, un f′ qui s'annule à la racine vous réduit au pas de tortue, et démarrer du mauvais côté d'un point critique vous livre une tout autre racine.

Convergence quadratique — le cas qui a rendu Newton célèbre e_k+1 ∝ e_k²

Pente plate à la racine — la vitesse retombe au linéaire f′(r) = 0 ⇒ e_k+1 ≈ (1 − 1/m)e_k

Elle s'enfuit — le pas grandit au lieu de rétrécir x → −2x

Elle converge — vers une racine que vous n'aviez pas demandée f′(x₀) = 0

Convergence quadratique — le cas qui a rendu Newton célèbre

Ce que vous savez: f est lisse, f′ est confortablement non nul près de la racine et le point de départ est assez proche. Chaque étape élève à peu près l'erreur au carré.

Itération: e_k+1 ∝ e_k²

Exemple résolu: f(x) = x² − 2 depuis x₀ = 1 → 1,5 ; 1,416667 ; 1,41421569 ; 1,41421356237 : d'abord 1, puis 3, 6 et 12 décimales exactes

Ouvrir ce cas: racine rapide

Convergence quadratique — le cas qui a rendu Newton célèbre. Chaque tangente tombe bien plus près de la racine que la précédente, et l'erreur passe au carré. f est lisse, f′ est confortablement non nul près de la racine et le point de départ est assez proche. Chaque étape élève à peu près l'erreur au carré. — Chaque tangente tombe bien plus près de la racine que la précédente, et l'erreur passe au carré.

Pente plate à la racine — la vitesse retombe au linéaire

Ce que vous savez: La racine est multiple : f et f′ s'y annulent ensemble. La tangente est presque horizontale exactement là où vous allez.

Itération: f′(r) = 0 ⇒ e_k+1 ≈ (1 − 1/m)e_k

Exemple résolu: f(x) = x³ depuis x₀ = 0,1 → 0,0667 ; 0,0444 ; 0,0296 ; 0,0198 : chaque étape multiplie l'erreur par 2/3 au lieu de l'élever au carré

Ouvrir ce cas: pente plate

Pente plate à la racine — la vitesse retombe au linéaire. Une racine triple aplatit la tangente : chaque pas ne couvre qu'un tiers de ce qui reste. La racine est multiple : f et f′ s'y annulent ensemble. La tangente est presque horizontale exactement là où vous allez. — Une racine triple aplatit la tangente : chaque pas ne couvre qu'un tiers de ce qui reste.

Elle s'enfuit — le pas grandit au lieu de rétrécir

Ce que vous savez: f′ s'effondre plus vite que f quand on approche de la racine : la correction f/f′ dépasse davantage à chaque itération.

Itération: x → −2x

Exemple résolu: f(x) = ∛x depuis x₀ = 0,01 → −0,02 ; 0,04 ; −0,08 ; 0,16 : la mise à jour vaut exactement x → −2x, donc la distance double et le signe bascule sans fin

Ouvrir ce cas: diverge

Elle s'enfuit — le pas grandit au lieu de rétrécir. Chaque tangente coupe l'axe deux fois plus loin que la précédente, de l'autre côté. f′ s'effondre plus vite que f quand on approche de la racine : la correction f/f′ dépasse davantage à chaque itération. — Chaque tangente coupe l'axe deux fois plus loin que la précédente, de l'autre côté.

Elle converge — vers une racine que vous n'aviez pas demandée

Ce que vous savez: La fonction possède plusieurs racines et le départ se trouve près d'un point critique, où f′ est petit et le premier pas énorme.

Itération: f′(x₀) = 0

Exemple résolu: f(x) = x³ − x depuis x₀ = 0,7 s'installe en +1, mais depuis x₀ = 0,5 le tout premier pas atterrit en −1 — une racine au-delà de deux autres

Ouvrir ce cas: mauvais bassin

Elle converge — vers une racine que vous n'aviez pas demandée. Deux départs voisins, deux racines différentes : la frontière est au point critique. La fonction possède plusieurs racines et le départ se trouve près d'un point critique, où f′ est petit et le premier pas énorme. — Deux départs voisins, deux racines différentes : la frontière est au point critique.

Problème entièrement résolu

La racine de x³ − x − 2 par la méthode de Newton 5 étapes
La méthode de Newton trouve la racine de x³ − x − 2 en trois itérations. Il faut environ vingt étapes à la dichotomie pour atteindre seulement 10⁻⁶, seuil que Newton franchit dès la deuxième. Déterminez d’où vient cette rapidité et quel en est le prix.
1. La méthode repose sur une seule idée : remplacer la courbe par sa tangente et résoudre cette équation à la place, car une droite se résout exactement. La valeur approchée suivante est le point où la tangente s'annule.
  
  $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}, f (x) = x^{3} - x - 2, f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$
2. À partir de 1,5, la première étape accomplit presque tout le trajet. La fonction n'y vaut que −0,125, la pente est de 5,75, et leur rapport déplace la valeur approchée d'environ 0,022.
  
  $x_{0} = 1.5 : x_{1} = 1.5 - \frac{- 0.125}{5.75} = 1.52173913$
3. Deux étapes supplémentaires et les chiffres ne changent plus. L'outil indique trois itérations car la quatrième déplacerait la réponse de moins que la tolérance.
  
  $x_{2} = 1.52137981, x_{3} = 1.52137971$
4. La grandeur intéressante n’est pas l’approximation, mais l’erreur. Suivez-la : le motif apparaît aussitôt. Chaque erreur vaut approximativement le carré de la précédente ; le nombre de chiffres exacts double donc à chaque étape : 2, puis 4, puis 7, puis 14.
  
  $e_{n} = ∣ x_{n} - r ∣ : 2.14 \times 1 0^{- 2}, 3.59 \times 1 0^{- 4}, 9.92 \times 1 0^{- 8}, 7.55 \times 1 0^{- 15}$
5. Et la constante devant n'est pas arbitraire. Un développement de f au voisinage de la racine montre que le rapport d'une erreur à l'erreur précédente au carré tend vers |f″/2f′| évalué en ce point, ce qui vaut 0,768 pour cette équation du troisième degré. Les rapports observés sont 0,786, 0,768, 0,768.
  
  $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} ⟶ \frac{f ^{''} ( r )}{2 f ^{'} ( r )} = \frac{3 r}{2 ( 3 r ^{2} - 1 )} = 0.768$
Réponse

Après 3 itérations, l’outil affiche la racine 1,52138. Cette rapidité vient de la convergence quadratique : la dichotomie divise l’intervalle par deux à chaque étape et en demande environ vingt pour atteindre 10⁻⁶, tandis que Newton élève l’erreur au carré et franchit ce seuil dès la deuxième étape. En contrepartie, la convergence n’est pas garantie. Une fois la racine encadrée, la dichotomie ne peut pas échouer. Newton ne dispose d’aucun encadrement ; si la pente est presque nulle au point de départ, l’itéré suivant peut être projeté très loin. Toute la recherche numérique de racines repose sur ce compromis. C’est pourquoi les solveurs utilisés en pratique commencent par encadrer la racine avant de passer à la méthode de Newton.

$e_{n + 1} \approx 0.768 e_{n}^{2} : correct digits DOUBLE each step$

Parcours

Trois méthodes numériques, et où chacune atteint ses limites

Mène à Intégration numérique la tangente employée comme outil de résolution, et la convergence la plus rapide de ce parcours.

Références (1)

Insight block 2 draws the tangent. Neither the tangent nor the derivative is Newton’s, which this traces: T. J. Ypma, "Historical Development of the Newton–Raphson Method." SIAM Review 37(4), 531–551, 1995 — Newton’s own procedure used no derivative and no geometric tangent; the form taught today is closer to Simpson’s.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-27

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Exemples de problèmes

racine rapide - À partir de x0 = 1, l’erreur passe par 0,414, 0,0858, 0,00245, 2,1 × 10⁻⁶, 1,6 × 10⁻¹². Chacune vaut à peu près le carré de la précédente : quatre étapes donnent ainsi douze chiffres exacts de √2.
pente plate - x³ possède en 0 une racine triple, où Newton avance lentement au lieu d’élever l’erreur au carré : chaque étape multiplie simplement x par 2/3. Après six étapes, la méthode s’arrête à 0,0088 et annonce la convergence. La racine est 0.
diverge - Appliquée à la racine cubique, la méthode de Newton se réduit exactement à x → -2x. Les valeurs successives sont donc 0,01, -0,02, 0,04, -0,08 : elles doublent et changent indéfiniment de signe. La méthode diverge quel que soit le point de départ, sauf si vous partez de la racine elle-même.
mauvais bassin - x0 = 0,55 se trouve du côté positif, mais converge vers -1. La première tangente l’envoie à -3,60, car la dérivée s’annule presque en 1/√3 = 0,5774. Avec 0,58, la méthode converge au contraire vers +1.
racine négative - Il s’agit du même x² - 2 que dans Racine rapide, mais avec -1,2 comme point de départ au lieu de 1. La méthode converge vers -1,414 en trois étapes. Newton trouve la racine vers laquelle vous l’orientez, pas nécessairement celle que vous cherchiez.
tolérance stricte - Pour x³ - x - 2, avec un point de départ égal à 1,6, la méthode atteint 1,5213797 en trois itérations, même avec une tolérance de 10⁻⁸. Il faudrait environ vingt-sept divisions par deux à la dichotomie pour obtenir une précision comparable.