Visualiseur de la méthode de Newton

L'itération de Newton est puissante car elle exploite la pente locale : un bon point de départ double souvent le nombre de chiffres exacts à chaque étape. Le même mécanisme peut échouer près des dérivées plates ou aux frontières des bassins d'attraction : de minuscules changements de x0 peuvent mener à une racine différente, à un cycle ou à la divergence.

Pour trouver où une courbe traverse zéro, la méthode de Newton remplace la courbe par sa tangente au point d'estimation actuel et saute là où cette droite coupe l'axe des x. Comme une courbe lisse paraît presque droite de près, ce point d'intersection est en général bien plus proche de la vraie racine. En répétant, on converge vite. La formule : x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n).

Les processeurs modernes calculent souvent a/b en trouvant d'abord 1/b, et la méthode de Newton y parvient sans aucune division. Appliquée à f(x) = 1/x − a, elle donne l'itération x_{n+1} = x_n(2 − a·x_n), composée uniquement de multiplications et de soustractions, des opérations peu coûteuses pour le matériel. La même astuce sous-tend les routines rapides de racine inverse, dont la célèbre de Quake III.