Condensateurs et énergie stockée

Réglez la capacité, la tension d’alimentation et la résistance, puis choisissez le nombre de paliers de tension. Avancez dans la charge pour suivre l’énergie fournie : quelle part est stockée dans le condensateur, quelle part devient de la chaleur ? Plus bas, vous pouvez écarter les armatures d’un condensateur, avec la batterie débranchée ou toujours connectée.

Exemple résolu — Condensateurs et énergie stockée

Charge du condensateur	1,200 mC
Énergie stockée	7,200 mJ
Énergie fournie par l’alimentation	14,40 mJ
Chaleur dissipée dans la résistance	7,200 mJ
Part de l’énergie fournie conservée	50,00%
Intensité à l’instant de chaque saut	12,00 mA
Capacité initiale	354,2 pF
Énergie stockée initialement	1,771 µJ

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Condensateurs et énergie stockée

Un condensateur est constitué de deux conducteurs séparés par un isolant. Si l’un porte une charge +Q et l’autre une charge −Q, une tension V apparaît entre eux. Le rapport C = Q/V est la capacité, exprimée en farads. Pour deux armatures planes de surface A séparées par une distance d, C = ε₀εᵣA/d. Un condensateur chargé stocke une énergie U = ½CV² = Q²/2C. Une alimentation de tension constante V fournit une énergie QV pour déplacer la charge Q, soit le double de l’énergie finalement stockée.

Ce que signifie chaque symbole

C: capacité, en farads : la charge par volt. Le farad est une unité très grande ; les capacités utilisées sur cette page sont de l’ordre du microfarad ou du picofarad
Q: charge de chaque armature, en coulombs : les deux charges sont égales en valeur absolue et de signes opposés
V: tension entre les armatures. Pour l’alimentation, c’est la tension qu’elle maintient quelle que soit l’intensité du courant
U: énergie stockée dans le champ électrique entre les armatures, en joules
εᵣ: permittivité relative du milieu entre les armatures : 1 pour le vide, une valeur très proche de 1 pour l’air. Elle indique par quel facteur l’isolant multiplie la capacité
d: écartement des armatures. La capacité est proportionnelle à 1/d : diviser l’écartement par deux double la capacité
N: nombre de paliers égaux de la tension d’alimentation. Chaque saut vaut V/N

Suppose: Les composants sont idéaux : le condensateur n’a ni courant de fuite ni résistance propre, l’alimentation maintient exactement sa tension et la résistance suit la loi d’Ohm. Chaque palier dure quinze constantes de temps avant le suivant ; l’écart restant ne représente alors que 3 parts sur 10 millions de l’écart initial. Les armatures sont également idéales. Le champ entre elles est supposé uniforme et les effets de bord sont négligés, une approximation valable lorsque l’écartement est petit devant leur largeur. L’armature est déplacée lentement : le courant échangé avec la batterie ne dissipe alors aucune chaleur.

Dix paliers divisent les pertes par dix 🖖

Cliquez sur Dix paliers. Le condensateur atteint le même état qu’avec un seul saut : une tension de 12 V et une énergie stockée de 7,200 mJ. La résistance n’a dissipé que 720,0 µJ en chaleur, au lieu de 7,200 mJ. Chaque saut dissipe ½C(ΔV)² : tout se joue dans le carré. Avec dix sauts de 1,2 V, les pertes valent dix fois ½C(1,2 V)², soit un dixième de ½C(12 V)². La part d’énergie fournie qui reste stockée passe de 1/2 à N/(N+1). Elle atteint donc 90,91 % avec dix paliers et 99,01 % avec cent. Si la tension monte de façon continue et suffisamment lente, les pertes deviennent presque nulles. Les concepteurs de circuits parlent de charge par paliers. Cette technique fait partie des méthodes adiabatiques utilisées pour commander des charges capacitives, notamment les grilles des gros transistors de puissance, les lignes d’horloge et les capteurs tactiles.

Les pertes restent les mêmes quelle que soit la résistance 🖖

Cliquez sur Avec 10 Ω, puis sur Avec 1 MΩ. À l’instant du saut, l’intensité vaut respectivement 1,200 A et 12,00 µA : un rapport de 100 000. Les puissances dissipées à cet instant sont dans le même rapport. Pourtant, la ligne de chaleur indique 7,200 mJ dans les deux cas. Une faible résistance dissipe l’énergie en une brève pointe ; une résistance élevée l’étale dans le temps. L’aire sous la courbe de I²R reste identique. Pour comprendre pourquoi, suivez la charge : chaque coulomb quitte l’alimentation sous une tension de 12 V et rejoint un condensateur dont la tension moyenne au cours de la charge est de 6 V. L’écart d’énergie doit se dissiper dans l’élément qui les relie. La valeur de la résistance n’intervient pas dans ce bilan.

Écarter les armatures peut réduire l’énergie stockée 🖖

Cliquez sur Tripler l’écartement. À gauche, la batterie a été débranchée avant le déplacement : la charge reste sur les armatures. Le champ électrique ne dépend que de cette charge et reste à 100 kV/m. La tension, égale au champ multiplié par l’écartement, triple donc et atteint 300,0 V. L’énergie stockée triple aussi. Cette augmentation vient du travail que vous fournissez en tirant : 3,542 µJ. À droite, la batterie maintient la tension à 100 V. La capacité tombe au tiers de sa valeur initiale, les deux tiers de la charge retournent à la batterie et l’énergie stockée descend à 590,3 nJ. Les armatures s’attirent toujours : vous fournissez encore un travail de 1,181 µJ, exactement égal à l’énergie perdue par le condensateur. La batterie récupère ces deux apports, soit 2,361 µJ, le double de votre travail. Ce rapport vaut pour toute surface, toute tension et tout couple d’écartements.

Problème entièrement résolu

Choisir la tension intermédiaire 6 étapes
Vous devez charger un condensateur de 100 µF à 12 V à travers une résistance de 1 kΩ. L’alimentation dispose d’une sortie supplémentaire que vous pouvez utiliser avant de passer à 12 V. Quelle chaleur un seul saut à 12 V dissipe-t-il ? Quelle chaleur obtenez-vous si la sortie supplémentaire est à 4 V, puis à 6 V ? Quelle tension choisir pour cette unique étape intermédiaire ? Combien de paliers égaux faut-il pour limiter la chaleur à 1 % de l’énergie stockée ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Commençons par un seul saut. L’alimentation déplace une charge de 1,2 mC sous une tension de 12 V et fournit 14,40 mJ. Le condensateur stocke ½CV² = 7,200 mJ ; la résistance dissipe donc 7,200 mJ en chaleur. Vous retrouvez ce cas dans l’outil avec N = 1.
  
  $Q = C V = 1.2 mC, Q V = 14.40 mJ, \frac{1}{2} C V^{2} = 7.200 mJ$
2. Un saut de tension ΔV dissipe une chaleur de ½C(ΔV)², quelles que soient la résistance et la tension initiale du condensateur. Passer par une tension intermédiaire de x volts impose deux sauts, dont la chaleur totale vaut ½C[x² + (12 − x)²].
  
  $E_{heat} = \frac{1}{2} C [x^{2} + (12 - x)^{2}]$
3. À 4 V : ½ × 100 µF × (16 + 64) V² = 4,000 mJ. Une tension intermédiaire de 8 V donne le même résultat : les deux sauts sont simplement permutés.
  
  $x = 4 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (16 + 64) V^{2} = 4.000 mJ$
4. À 6 V : ½ × 100 µF × (36 + 36) V² = 3,600 mJ, soit la moitié des pertes d’un seul saut. Réglez N = 2 dans l’outil : la ligne de chaleur donne cette valeur.
  
  $x = 6 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (36 + 36) V^{2} = 3.600 mJ$
5. Pour trouver la meilleure tension intermédiaire, minimisez x² + (12 − x)². Sa dérivée, 2x − 2(12 − x), s’annule en x = 6 V, à mi-chemin. Le raisonnement vaut pour un nombre quelconque de sauts : à somme fixée V, la somme de leurs carrés est minimale lorsqu’ils sont tous égaux. Elle vaut alors N(V/N)² = V²/N.
  
  $\frac{d}{d x} [x^{2} + (12 - x)^{2}] = 2 x - 2 (12 - x) = 0 \Rightarrow x = 6 V$
6. Des paliers égaux minimisent donc les pertes ; c’est pourquoi l’outil ne propose que ce choix. La chaleur dissipée vaut l’énergie stockée divisée par N. Pour la limiter à 1 % de 7,200 mJ, il faut atteindre N = 100.
  
  $N (\frac{V}{N})^{2} = \frac{V ^{2}}{N}, \frac{7 . 200 mJ}{N} \leq 0.072 mJ \Rightarrow N \geq 100$
Réponse

7,200 mJ avec un seul saut, 4,000 mJ en passant par 4 V, 3,600 mJ en passant par 6 V. Pour une seule tension intermédiaire, le meilleur choix est à mi-chemin. Avec plusieurs tensions intermédiaires, des sauts égaux minimisent les pertes : chaleur = ½CV²/N. Il faut 100 paliers pour limiter la chaleur à 1 % de l’énergie stockée. La dernière ligne du tableau donne alors 72,00 µJ. L’outil utilise uniquement des paliers égaux. Avec des sauts inégaux, comme dans le cas du passage par 4 V, les pertes sont plus élevées ; la somme des carrés de l’étape 2 permet de calculer l’écart.

$4.000 mJ (4 V) > 3.600 mJ (6 V), N = 100 : 72.00 μ J$

Parcours

Ce qui n'est pas une résistance

Références (2)

The parallel-plate capacitance and the three forms of the stored energy in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §8.1 "Capacitors and Capacitance" (Equation 8.3) and §8.3 "Energy Stored in a Capacitor" (Equation 8.10).
Stepwise charging as a real circuit technique, for the last sentence of the first insight: E. J. Carlson and J. R. Smith, "An Analytical Model for Stepwise Adiabatic Driver Energy Consumption." arXiv:2210.16680, 29 October 2022. §1.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.