Résistances en série et en parallèle

Définissez une tension d'alimentation et deux ou trois résistances, puis reliez-les bout à bout, côte à côte, ou placez-en une devant un duo en parallèle. La page calcule la résistance équivalente, le courant traversant chaque branche et la répartition de la puissance.

Exemple résolu — Résistances en série et en parallèle

Résistance équivalente	1 410,67 Ω
Ce total ÷ la plus petite résistance	2,666673
Courant issu de l'alimentation	0,1630 A
Puissance dissipée par le réseau	37,500 W
Somme des puissances des branches	37,500 W
Sa part de la puissance totale	62,50%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Résistances en série et en parallèle

Deux résistances sont en série lorsque le même courant doit les traverser l'une après l'autre. Elles sont en parallèle lorsque chacune est soumise à la totalité de la tension d'alimentation et que le courant se divise entre elles. Les résistances en série s'additionnent, R = R₁ + R₂ + R₃. Celles en parallèle s'additionnent par leurs inverses, 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃. L'inverse d'une résistance est sa conductance, exprimée en siemens. Dans cette unité, la deuxième règle devient identique à la première : les conductances en parallèle s'additionnent exactement comme les résistances en série.

Ce que signifie chaque symbole

R: résistance d'un composant, en ohms. R_eq correspond à ce que le réseau entier représente vu depuis les deux bornes de l'alimentation
G: conductance, 1/R, en siemens. C'est ce qui s'additionne lorsque les branches sont en parallèle
V: tension, en volts. Partagée de manière égale par les branches en parallèle, divisée entre les branches en série proportionnellement à R
I: courant, en ampères. Identique à travers chaque résistance en série, divisé entre celles en parallèle proportionnellement à G
P: puissance, en watts. VI, ou de manière équivalente I²R ou V²/R. Le choix de la formule dépend de la grandeur que les branches ont en commun

Suppose: Un courant continu stable, des fils parfaits, une alimentation sans résistance propre et des résistances qui ne varient pas. Les chiffres des ampoules reposent plus que tout le reste sur cette dernière hypothèse. Un filament de tungstène est un bien meilleur conducteur à froid qu'à chaud. Une ampoule de 60 W fonctionnant à 23 W reste donc très en dessous de sa température nominale et sa résistance chute sous les 881,67 Ω utilisés précédemment. Les 37,500 W exacts relèvent davantage du cas d'école que de la mesure en laboratoire. Le fait de savoir quelle ampoule brille le plus reste vrai, car les deux filaments refroidissent et celle de 60 W conserve la plus grande résistance dans tous les cas.
Ne tient plus quand: Sur tout ce qui n'est pas une résistance. Une diode ne possède aucune résistance à combiner, seulement une courbe reliant sa tension à son courant, de sorte qu'aucune de ces règles ne s'y applique. Les condensateurs suivent des règles de même forme en inversant les termes. Ils s'additionnent en parallèle et par leurs inverses en série, mais uniquement pour un courant alternatif à une seule fréquence, et c'est là que commence la résonance RLC. Les règles atteignent aussi leurs limites sur leur propre terrain : un pont de Wheatstone est constitué de cinq résistances qu'aucune réduction en série ou en parallèle ne simplifiera. C'est pour ce cas que les lois des nœuds et des mailles de Kirchhoff ont été formulées. Les ressorts constituent la version mécanique de ce principe, s'affaiblissant bout à bout exactement comme le font les résistances en parallèle. La loi de Hooke décrit ce phénomène avec ses propres unités.

Deux ampoules en série, et celle de 60 W éclaire le plus 🖖

La puissance nominale correspond à ce qu'une ampoule consomme lorsqu'elle dispose des 230 V pour elle seule, ce qui fixe sa résistance : 529 Ω pour l'ampoule de 100 W et 881,67 Ω pour celle de 60 W. L'ampoule la moins puissante est la plus grande résistance. Placez-les en série et un seul courant les traverse toutes les deux. La puissance valant I²R, la plus grande résistance prend la plus grande part : 23,437 W contre 14,062 W. La paire consomme 37,500 W en tout. Cliquez sur Les mêmes en parallèle et le total passe à 160,000 W, soit la somme indiquée sur les boîtes, l'ampoule de 100 W reprenant la tête. Les deux mêmes ampoules, même alimentation, 4,27 fois la puissance.

Ajouter une branche en parallèle ne peut que réduire le total 🖖

Une branche en parallèle constitue un chemin supplémentaire, jamais un blocage, donc le total ne peut que baisser. Il chute vers un plancher qu'il n'atteint jamais : la plus petite branche. Dix ohms à côté d'un kiloohm donnent 9,90 Ω. Observez la ligne qui divise le total par la plus petite résistance du circuit. En parallèle, cette ligne reste inférieure à 1 quoi que vous saisissiez, et avec ce réglage, elle indique 0,990099. Le second panneau illustre ce même fait. Saisissez 100 Ω et 200 Ω, puis faites varier la troisième : une branche de 1 MΩ fait passer cette ligne de 0,666667 à 0,666622, tandis que la même variation porte le total en série de 300,10 Ω à 1 000 300,00 Ω.

La part change de côté et le nombre reste fixe 🖖

Cliquez sur 10 Ω à côté de 1 kΩ : la résistance de 10 Ω absorbe 99,01 % de la puissance. Cliquez sur Les deux mêmes en série : on retrouve 99,01 %, cette fois détenus par celle de 1 kΩ. Avec deux résistances, ce résultat est exact, et non approximatif. Le montage en série répartit la puissance selon R₂/(R₁+R₂) car le courant est partagé et la puissance vaut I²R ; le montage en parallèle la répartit selon G₁/(G₁+G₂) car la tension est partagée et la puissance vaut V²/R. Écrivez la seconde formule en utilisant les résistances et elle se réduit à la première. Les ampoules font de même, avec 62,50 % dans chaque configuration.

Problème entièrement résolu

Trois ampoules sur une même ligne, et la plus petite puissance nominale l'emporte 6 étapes
Une ampoule de 100 W, une de 60 W et une de 40 W, toutes prévues pour 230 V, sont branchées en série sur une alimentation de 230 V. Calculez ce que l'ensemble consomme et déterminez quelle ampoule éclaire le plus, avant de poursuivre votre lecture. Cliquez sur 100 W et 60 W en série pour observer la version à deux ampoules sur l'outil.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Une puissance nominale est une promesse valable pour une ampoule isolée sous 230 V. Convertissez donc d'abord chacune d'elles en résistance : 529,00, 881,67 et 1 322,50 Ω. L'ampoule de plus faible puissance constitue la plus forte résistance.
  
  $P 100 W 60 W 40 W R = V^{2} / P 529.00 Ω 881.67 Ω 1, 322.50 Ω$
2. En série, les résistances s'additionnent, et rien d'autre ne compte : 2 733,17 Ω pour les trois réunies.
  
  $R_{eq} = 529.00 + 881.67 + 1, 322.50 = 2, 733.17 Ω$
3. Une seule boucle, un courant unique. Chaque ampoule est traversée par ces mêmes 0,084151 A.
  
  $I = \frac{V}{R _{eq}} = \frac{230}{2 , 733 . 17} = 0.084151 A$
4. La puissance par ampoule vaut I²R. Leurs parts respectives suivent donc les résistances : 3,746 W, 6,244 W et 9,365 W. L'ampoule de 40 W absorbe 48,39 % du total.
  
  $R_{i} 529.00 Ω 881.67 Ω 1, 322.50 Ω P_{i} = I^{2} R_{i} 3.746 W 6.244 W 9.365 W P_{i} / \sum P 19 . 35% 32 . 26% 48 . 39%$
5. Les trois boîtes totalisent 200 W et la chaîne consomme 19,355 W, soit 9,68 % de la valeur imprimée. Toute ampoule ajoutée à une chaîne en série assombrit l'ensemble du système, y compris les ampoules déjà en place.
  
  $\frac{19 . 355}{100 + 60 + 40} = \frac{19 . 355}{200} = 0.0968$
6. Faites maintenant abstraction des résistances. Substituez R = V²/P dans la somme en série, et la tension d'alimentation s'élimine de part et d'autre. Il vous reste 19,355 W, une valeur issue des trois seules puissances nominales :
  
  $(\frac{1}{P _{1}} + \frac{1}{P _{2}} + \frac{1}{P _{3}})^{- 1} = (\frac{1}{100} + \frac{1}{60} + \frac{1}{40})^{- 1} = 19.355 W$
Réponse

19,355 W pour trois ampoules dont les boîtes totalisent 200, et l'ampoule de 40 W est la plus brillante des trois avec 9,365 W. La formule de la dernière étape est générale. Les puissances nominales des ampoules en série se combinent exactement de la même manière que les résistances en parallèle, sans qu'aucune résistance ni tension ne subsiste dans l'expression. C'est la même règle des inverses vue sous un autre angle. Elle indique ce que produit une ligne de n ampoules identiques : la ligne consomme une fraction 1/n de la puissance nominale d'une ampoule, et chaque ampoule qui la compose reçoit 1/n² de ce pour quoi elle a été conçue.

$(\frac{1}{100} + \frac{1}{60} + \frac{1}{40})^{- 1} = 19.355 W$

Parcours

Ce que la loi d’Ohm laisse de côté

Références (4)

The misconception this page is built against, measured on 145 students before and after instruction. Current being 'used up' along a circuit, and a second bulb in parallel changing the first, are both documented here: L. C. McDermott and P. S. Shaffer, "Research as a guide for curriculum development: An example from introductory electricity. Part I: Investigation of student understanding." American Journal of Physics 60(11), 1992, pp. 994-1003. DOI 10.1119/1.17003
The combination rules themselves, and the three forms of resistive power the branch table uses. The same edition is cited on Ohm's Law and RLC Resonance, deliberately: one circuits text across the chapter. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.
Where the lesson's `breaks` points next. A Wheatstone bridge cannot be reduced by series and parallel combination at all, and these are the equations written for the circuits that cannot: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The temperature dependence the lesson's `assumes` turns on, tabulated element by element. Tungsten is the entry behind the warning that a filament running below its rating is not the resistor its rating describes: P. D. Desai, T. K. Chu, H. M. James and C. Y. Ho, "Electrical Resistivity of Selected Elements." Journal of Physical and Chemical Reference Data 13(4), 1984, pp. 1069-1096. DOI 10.1063/1.555723

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.