Loi de Hooke et laboratoire des ressorts

Explore la constante de raideur, le déplacement, l'énergie élastique stockée et les ressorts en série/parallèle en temps réel.

Exemple résolu — Loi de Hooke et laboratoire des ressorts

Constante de raideur k	10 N/m
Constante de raideur k₁	10 N/m
Constante de raideur k₂	10 N/m
Masse m	0.1 kg
Constante d'amortissement c	0.00 N·s/m
Déplacement x	-0.45 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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De près, tout puits stable ressemble à un ressort 🖖

La loi de Hooke, F = -kx, décrit le comportement élastique linéaire des matériaux sous déformation. Le signe négatif représente la force de rappel, ramenant le système vers son état d'équilibre. À l'échelle atomique, c'est une approximation au premier ordre du potentiel de Lennard-Jones. Près du fond de tout puits de potentiel stable, la courbe d'énergie potentielle est approximativement quadratique, U = 1/2 kx². Cet état d'énergie implique que toute petite perturbation entraînera un mouvement harmonique simple, dont la fréquence est indépendante de l'amplitude. C'est la porte d'entrée mathématique pour comprendre les ondes sonores.

La raideur, et comment les ressorts s'associent 🖖

La loi de Hooke dit simplement qu'un ressort réagit avec une force directement proportionnelle à son étirement ou à sa compression — la constante de raideur k est tout bonnement sa rigidité, en newtons par mètre. Le mode systèmes révèle une jolie surprise : deux ressorts identiques côte à côte (en parallèle) doublent la raideur, mais ces deux mêmes bout à bout (en série) deviennent deux fois plus souples. Enchaîner des ressorts les assouplit au lieu de les renforcer.

Hooke a caché sa loi dans une anagramme 🖖

En 1676, Robert Hooke n'était pas prêt à dévoiler sa découverte : il la publia sous forme d'anagramme latine brouillée, ceiiinosssttuv. Deux ans plus tard, il la déchiffra — ut tensio, sic vis, « telle l'extension, telle la force ». Il protégeait son antériorité tout en concevant des montres à ressort. Cette même loi linéaire se niche aujourd'hui dans les balances de cuisine, les suspensions automobiles et le clic d'un stylo rétractable.

LOI DE HOOKE — QUELLE QUESTION, ET COMMENT LES RESSORTS SONT-ILS MONTÉS ?

Dans quel cas de ressort êtes-vous ?

Un ressort porte un seul nombre, sa raideur k, et tout le reste découle de ce que vous lui demandez. Tirez et la force vaut kx. Maintenez-le et l’énergie stockée vaut ½kx², qui croît comme le carré de l’allongement et non au même rythme. Lâchez, et ce même k devient une horloge. Et quand deux ressorts agissent ensemble, que ce soient leurs raideurs ou leurs souplesses qui s’additionnent dépend entièrement du montage.

Vous voulez la force — une droite passant par l’origine F = kx

Vous voulez l’énergie stockée — une parabole, donc une croissance au carré E = ½kx²

Vous lâchez — le ressort devient une horloge ω₀ = √(k/m)

Deux ressorts côte à côte — les raideurs s’additionnent k_eq = k₁ + k₂

Deux ressorts bout à bout — le couple est plus souple que chacun 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Vous voulez la force — une droite passant par l’origine

Ce que vous savez: Un ressort, un déplacement. F = kx : la force est proportionnelle à l’écart de l’extrémité par rapport au repos, et elle ramène vers ce repos.

Relation: F = kx

Exemple résolu: k = 100 N/m allongé de x = 0,3 m → F = 100 × 0,3 = 30 N

Ouvrir ce cas: Force vs déplacement

Vous voulez la force — une droite passant par l’origine. La force en fonction du déplacement est une droite dont la pente est la raideur. Un ressort, un déplacement. F = kx : la force est proportionnelle à l’écart de l’extrémité par rapport au repos, et elle ramène vers ce repos. — La force en fonction du déplacement est une droite dont la pente est la raideur.

Vous voulez l’énergie stockée — une parabole, donc une croissance au carré

Ce que vous savez: Le travail contre une force qui croît linéairement est l’aire sous cette droite, soit ½kx². Doubler l’allongement stocke quatre fois l’énergie.

Relation: E = ½kx²

Exemple résolu: k = 150 N/m maintenu à x = −0,4 m → E = ½ × 150 × 0,16 = 12 J ; à la moitié de ce déplacement, seulement 3 J

Ouvrir ce cas: Énergie du ressort

Vous voulez l’énergie stockée — une parabole, donc une croissance au carré. L’énergie stockée est l’aire sous la droite de force : une parabole en fonction du déplacement. Le travail contre une force qui croît linéairement est l’aire sous cette droite, soit ½kx². Doubler l’allongement stocke quatre fois l’énergie. — L’énergie stockée est l’aire sous la droite de force : une parabole en fonction du déplacement.

Vous lâchez — le ressort devient une horloge

Ce que vous savez: Lâchée sans vitesse, la masse oscille à ω₀ = √(k/m), quelle que soit la distance dont vous avez tiré. L’amortissement c ne fixe que la vitesse d’extinction.

Relation: ω₀ = √(k/m)

Exemple résolu: k = 120 N/m avec m = 1,5 kg → ω₀ = 8,944 rad/s, donc T = 0,702 s et f = 1,42 Hz. Avec c = 0,3, le taux d’amortissement vaut ζ = 0,011 : à peine amorti.

Ouvrir ce cas: Oscillation amortie

Vous lâchez — le ressort devient une horloge. La masse oscille à un rythme fixé par k et m seuls ; l’amortissement ne fait que rétrécir l’enveloppe. Lâchée sans vitesse, la masse oscille à ω₀ = √(k/m), quelle que soit la distance dont vous avez tiré. L’amortissement c ne fixe que la vitesse d’extinction. — La masse oscille à un rythme fixé par k et m seuls ; l’amortissement ne fait que rétrécir l’enveloppe.

Deux ressorts côte à côte — les raideurs s’additionnent

Ce que vous savez: Les deux ressorts couvrent le même écart : tous deux s’allongent du même x et chacun apporte sa force. Le couple se comporte comme un ressort unique de k₁ + k₂.

Relation: k_eq = k₁ + k₂

Exemple résolu: k₁ = 80 N/m et k₂ = 120 N/m en parallèle → the pair acts as 200 N/m, il faut donc 50 N pour 0,25 m

Ouvrir ce cas: Ressorts en parallèle

Deux ressorts côte à côte — les raideurs s’additionnent. Les deux ressorts s’allongent autant, donc à tout x leurs forces s’ajoutent. Les deux ressorts couvrent le même écart : tous deux s’allongent du même x et chacun apporte sa force. Le couple se comporte comme un ressort unique de k₁ + k₂. — Les deux ressorts s’allongent autant, donc à tout x leurs forces s’ajoutent.

Deux ressorts bout à bout — le couple est plus souple que chacun

Ce que vous savez: La même force traverse les deux ressorts : chacun s’allonge à sa façon et les deux allongements s’ajoutent. Ce sont les inverses des raideurs qui s’additionnent.

Relation: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Exemple résolu: Deux ressorts de 150 N/m en série → 150 × 150 / 300 = 75 N/m for the pair. Pour 0,25 m au total, chacun s’allonge de 0,125 m et la force vaut 18,75 N.

Ouvrir ce cas: Ressorts en série

Deux ressorts bout à bout — le couple est plus souple que chacun. La même force traverse les deux, donc les allongements s’ajoutent et le couple s’assouplit. La même force traverse les deux ressorts : chacun s’allonge à sa façon et les deux allongements s’ajoutent. Ce sont les inverses des raideurs qui s’additionnent. — La même force traverse les deux, donc les allongements s’ajoutent et le couple s’assouplit.

Références (1)

Insight block 3 — the anagram, and the law it concealed: R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring. London, 1678 — where "ceiiinosssttuv" is unscrambled to "ut tensio, sic vis".

Problème entièrement résolu

Deux ressorts de 150 N/m mis bout à bout, étirés de 0,25 m au total 5 étapes
Deux ressorts de 150 N/m montés bout à bout, étirés de 0,25 m au total. Déterminez la raideur de l'ensemble, la force exercée et l'énergie emmagasinée. Il s'agit du mode Plusieurs ressorts dans la configuration Ressorts en série, avec k₁ = k₂ = 150 N/m et une masse de 0,1 kg.
1. Partez de ce qui est commun aux deux ressorts. Un ressort étiré exerce la même tension à ses deux extrémités ; ainsi, la tension que le premier ressort transmet au second est la même que celle subie par le mur. La force est commune aux deux ressorts ; l'allongement ne l'est pas.
  
  $F = k_{1} x_{1} = k_{2} x_{2}$
2. Ce sont les allongements qui s'additionnent, car l'étirement total correspond aux deux étirements mis bout à bout. En simplifiant par la force commune, il reste la somme des inverses, et c'est cette somme des inverses qui explique pourquoi l'ensemble s'avère plus souple que chacun des ressorts pris isolément.
  
  $x = x_{1} + x_{2} = \frac{F}{k _{1}} + \frac{F}{k _{2}} ⟹ \frac{1}{k _{e q}} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150}, k_{e q} = 75 N/m$
3. L'ensemble se comporte désormais comme un unique ressort de 75 N/m pour l'étirement indiqué de 0,25 m. Chaque ressort fournit la totalité de la force tout en ne subissant que la moitié de l'allongement — le panneau d'affichage arrondit la valeur de 18,75 N à 18,8 N.
  
  $F = k_{e q} x = 75 \times 0.25 = 18.75 N, x_{1} = x_{2} = \frac{18.75}{150} = 0.125 m$
4. L'énergie correspond à l'aire sous la courbe force-allongement ; elle suit donc k_eq exactement comme la force. Répartie entre les ressorts, elle se divise en deux parts égales de 1,172 J. Un seul ressort de 150 N/m étiré de ces mêmes 0,25 m emmagasinerait 4,688 J, soit le double, car atteindre cet étirement nécessite deux fois plus de force.
  
  $P E = \frac{1}{2} k_{e q} x^{2} = \frac{1}{2} (75) (0.25)^{2} = 2.344 J = 2 \times \frac{1}{2} (150) (0.125)^{2}$
5. Diviser la raideur par deux ne divise pas la période par deux. La raideur figurant sous une racine carrée, l'ensemble met √2 fois plus de temps que les 0,162 s que prendrait la même masse avec un ressort unique.
  
  $T = 2 π \frac{m}{k _{e q}} = 2 π \frac{0.1}{75} = 0.229 s = 2 \times 0.162 s$
Réponse

L'outil affiche k_eq = 75,0 N/m, une force de rappel de 18,8 N, 2,344 J d'énergie emmagasinée et une période de 0,229 s. Lisez la règle des ressorts en série à l'envers et elle nous apprend quelque chose sur un ressort individuel : n'importe quel ressort est constitué de ses deux moitiés en série, chaque moitié doit donc être deux fois plus raide que l'ensemble. La raideur est inversement proportionnelle à la longueur au repos, et un ressort coupé en deux n'est pas un ressort plus faible mais un ressort plus raide — ce qui constitue à la fois le moyen économique d'affermir une suspension et la manière habituelle de la ruiner. Cela donne également l'étape 2 sans algèbre : joindre deux ressorts identiques bout à bout ne revient à rien d'autre qu'à fabriquer un ressort deux fois plus long.

$\frac{1}{k _{e q}} = i \sum \frac{1}{k _{i}} ⟹ k \propto \frac{1}{L}$

Parcours

D'un ressort à l'onde stationnaire

Mène à Résonance

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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