Laboratoire de résonance MHS

Ajuste la masse, la raideur du ressort, l'amortissement et la fréquence d'excitation pour voir la résonance, le déphasage et l'amplification d'amplitude en temps réel.

Exemple résolu — Laboratoire de résonance MHS

Déphasage φ	1.5708 rad≈90.0∘

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Un seul nombre fixe l'ampleur et la durée 🖖

Les deux préréglages d’excitation ne diffèrent que par le rythme : même masse, même ressort, même amortissement et même force de 1,2. Seule la pulsation d’excitation varie, de 4,00 à 2,2 rad/s. Cela suffit pour faire passer le facteur d’amplification M de 6,667 à 1,424, soit un rapport de 4,68. À la résonance, M vaut exactement 1/(2ζ) : ici, un déplacement statique de 0,0750 m devient une oscillation de 0,5000 m. Ce même 1/(2ζ) détermine aussi le temps d’attente. L’enveloppe croît avec une constante de temps de 3,333 s, tandis que la période vaut 1,571 s. Il faut donc environ 6,4 cycles pour atteindre 95 % de l’amplitude maximale, une valeur très proche de 6,667. Une résonance qui multiplie l’amplitude par cent exige à peu près cent cycles pour y parvenir. Voilà pourquoi il faut chanter une note de façon soutenue pour faire vibrer un verre à vin, et non pousser un cri.

La résonance, c'est une question de rythme 🖖

Cet outil parle avant tout de synchronisation. Toute masse au bout d'un ressort possède une fréquence propre ω₀ à laquelle elle 'aime' osciller. Excitez-la exactement à ce rythme — comme on lance une balançoire au bon moment — et chaque petite poussée ajoute de l'énergie, si bien que l'amplitude X grandit bien au-delà de ce qu'une force constante produirait. Le facteur d'amplification M mesure ce gain, et seul l'amortissement l'empêche de s'emballer. À la résonance, le mouvement est en retard de 90° exactement sur la force.

Le sommet se situe sous la fréquence propre 🖖

En traçant la courbe de résonance, on attend son point le plus haut en ω = ω₀. Ce n'est pas le cas : l'amplitude du déplacement culmine un peu plus bas, en ω_r = ω₀√(1 − 2ζ²). Plus étonnant encore : dès que le taux d'amortissement dépasse ζ = 1/√2 ≈ 0,707 — bien avant l'amortissement critique à ζ = 1 — ce sommet disparaît complètement et la courbe ne fait que descendre. Un système peut donc être faiblement amorti sans présenter le moindre pic de résonance.

OSCILLATEURS — QUEL AMORTISSEMENT, ET L'EXCITEZ-VOUS À SA PROPRE FRÉQUENCE ?

Quel cas d'oscillateur est le vôtre ?

Deux questions fixent le comportement de toute masse au bout d'un ressort. D'abord : comment l'amortissement c se compare-t-il à la valeur critique 2√(mk) ? En dessous le système oscille, exactement dessus il revient le plus vite sans dépassement, au-dessus il rentre en rampant. Ensuite : quelque chose le pousse-t-il ? Un oscillateur forcé a sa propre réponse, qui dépend de la proximité entre la fréquence d'excitation et ω₀ = √(k/m).

Aucun amortissement — il oscille indéfiniment c = 0, ω₀ = √(k/m)

Amortissement critique — retour le plus rapide, sans dépassement c = 2√(mk)

Sur-amorti — pas d'oscillation, mais lent c > 2√(mk)

Excité à la résonance — petite poussée, grande amplitude ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Excité hors résonance — la même force fait bien moins ω ≠ ω₀

Aucun amortissement — il oscille indéfiniment

Ce que vous savez: c = 0 et rien ne l'excite. L'énergie fait simplement l'aller-retour entre le ressort et la masse, et l'amplitude ne change jamais.

Amortissement: c = 0, ω₀ = √(k/m)

Exemple résolu: m = 1 kg, k = 16 N/m → ω₀ = √(k/m) = 4 rad/s, période de 1,57 s, et la même amplitude à chaque passage

Ouvrir ce cas: Libre non amorti

Aucun amortissement — il oscille indéfiniment. Non amorti : une sinusoïde pure à ω₀, identique d'un cycle à l'autre. c = 0 et rien ne l'excite. L'énergie fait simplement l'aller-retour entre le ressort et la masse, et l'amplitude ne change jamais. — Non amorti : une sinusoïde pure à ω₀, identique d'un cycle à l'autre.

Amortissement critique — retour le plus rapide, sans dépassement

Ce que vous savez: c vaut exactement 2√(mk). Le système revient à l'équilibre dans le temps le plus court possible et ne le franchit jamais.

Amortissement: c = 2√(mk)

Exemple résolu: m = 1, k = 16 → c critique = 2√16 = 8 N·s/m. À c = 8, le déplacement décroît jusqu'à zéro sans une seule oscillation

Ouvrir ce cas: Amortissement critique

Amortissement critique — retour le plus rapide, sans dépassement. Critique : le retour le plus court qui ne franchit jamais la ligne. c vaut exactement 2√(mk). Le système revient à l'équilibre dans le temps le plus court possible et ne le franchit jamais. — Critique : le retour le plus court qui ne franchit jamais la ligne.

Sur-amorti — pas d'oscillation, mais lent

Ce que vous savez: c dépasse 2√(mk). Les deux solutions décroissent exponentiellement, et la plus lente des deux domine le retour.

Amortissement: c > 2√(mk)

Exemple résolu: Portez c au-dessus de 8 avec m = 1 et k = 16 : à c = 20 le système met plusieurs fois plus de temps à se stabiliser qu'à c = 8

Ouvrir le cas critique et porter c au-dessus de 8

Sur-amorti — pas d'oscillation, mais lent. Sur-amorti : aucun franchissement, mais un retour bien plus long que dans le cas critique. c dépasse 2√(mk). Les deux solutions décroissent exponentiellement, et la plus lente des deux domine le retour. — Sur-amorti : aucun franchissement, mais un retour bien plus long que dans le cas critique.

Excité à la résonance — petite poussée, grande amplitude

Ce que vous savez: Une force périodique à ω ≈ ω₀ avec un amortissement faible. L'amplitude en régime établi est fixée par le seul amortissement, pas par la raideur.

Amortissement: ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Exemple résolu: F₀ = 1,2 N à ω = 4 rad/s avec c = 0,6 → amplitude 0,50 m contre une flèche statique F₀/k = 0,075 m : une amplification de 6,7

Ouvrir ce cas: Proche de la résonance

Excité à la résonance — petite poussée, grande amplitude. À ω = ω₀ la réponse domine largement la flèche statique. Une force périodique à ω ≈ ω₀ avec un amortissement faible. L'amplitude en régime établi est fixée par le seul amortissement, pas par la raideur. — À ω = ω₀ la réponse domine largement la flèche statique.

Excité hors résonance — la même force fait bien moins

Ce que vous savez: Même force et même amortissement, mais la fréquence d'excitation s'éloigne de ω₀. La réponse chute brutalement des deux côtés.

Amortissement: ω ≠ ω₀

Exemple résolu: La même F₀ = 1,2 N à ω = 2,2 au lieu de 4 → amplitude 0,107 m, environ un cinquième de la réponse à la résonance

Ouvrir ce cas: Hors résonance

Excité hors résonance — la même force fait bien moins. Écartez l'excitation de ω₀ et la même force ne produit qu'une fraction du mouvement. Même force et même amortissement, mais la fréquence d'excitation s'éloigne de ω₀. La réponse chute brutalement des deux côtés. — Écartez l'excitation de ω₀ et la même force ne produit qu'une fraction du mouvement.

Problèmes entièrement résolus

1 kg sur un ressort de 16 N/m entraîné à 4 rad/s 5 étapes
Une masse de 1 kg sur un ressort de 16 N/m avec un amortisseur de 0,6 N·s/m, excitée par une force de 1,2 N à 4 rad/s. Calculez l'amplitude en régime permanent et le retard de phase — puis indiquez lequel des quatre paramètres d'entrée détermine réellement la réponse.
1. Deux des cinq paramètres d'entrée fixent la fréquence propre du système. L'excitation se trouve précisément à cette fréquence, de sorte que le rapport r vaut exactement 1, et c'est cette unique coïncidence qui fait que tout ce qui suit se comporte de manière singulière.
  
  $ω_{0} = \frac{k}{m} = \frac{16}{1} = 4 rad/s; r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{4}{4} = 1$
2. Le taux d'amortissement compare c à la valeur critique 2√(km) = 8 N·s/m. À 0,6, le système fonctionne à 7,5 % du niveau critique : faiblement amorti, libre d'osciller.
  
  $ζ = \frac{c}{2 k m} = \frac{0.6}{2 16} = \frac{0.6}{8} = 0.075$
3. L'amplification comporte deux termes sous la racine — un terme de raideur et un terme d'amortissement. À r = 1, le terme de raideur est exactement nul, car la force de rappel du ressort et la force d'inertie s'annulent totalement. Seul l'amortisseur subsiste pour s'opposer à l'excitation.
  
  $M = \frac{1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}} r = 1 \frac{1}{2 ζ} = \frac{1}{0.15} = 6.667$
4. Multipliez le déplacement statique F₀/k = 0,075 m par ce facteur.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = \frac{1.2}{16} \times 6.667 = 0.075 \times 6.667 = 0.5 m$
5. Le retard de phase exprime ces deux mêmes termes sous forme d'angle plutôt que de longueur. Le terme de raideur étant nul, l'arctangente donne un quart de tour, quelle que soit la valeur de ζ : un système fortement amorti et un système à peine amorti accusent tous deux un retard d'exactement 90° ici.
  
  $ϕ = atan2 (2 ζ r, 1 - r^{2}) = atan2 (0.15, 0) = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 90. 0^{\circ}$
Réponse

X = 0,5 m, en retard d'un quart de cycle sur la force, et le paramètre qui détermine toute la réponse est c. En réécrivant l'amplitude à la résonance, k et m s'annulent tous deux : X = F₀/(cω₀) = 1,2/(0,6 × 4) = 0,5 m. Le ressort et la masse s'échangent mutuellement de l'énergie, et ni l'un ni l'autre n'a d'influence sur l'amplitude d'oscillation. Le retard de 90° en est la raison. Une force en phase avec la vitesse fournit de la puissance en continu, de sorte que le régime permanent s'établit là où l'amortisseur dissipe l'énergie exactement au même rythme que l'excitation la fournit : puissance moyenne fournie F₀ωX/2 = 1,2 W contre dissipation moyenne cω²X²/2 = 1,2 W, et ces deux valeurs ne sont égales qu'à X = 0,5 m et nulle part ailleurs. Si l'on calcule ce même bilan par cycle, la valeur 6,667 réapparaît à partir d'une définition sans rapport : le système emmagasine kX²/2 = 2 J et perd 1,885 J à chaque période, et 2π × 2/1,885 = 6,667. L'amplification et le facteur de qualité sont un même nombre sous deux noms différents.

$X = \frac{F _{0}}{k} \cdot \frac{1}{2 ζ} = \frac{F _{0}}{c ω _{0}} = \frac{1.2}{0.6 \times 4} = 0.5 m$
Même masse et même ressort entraînés à 2,2 rad/s au lieu de 4 5 étapes
Même masse, même ressort, même amortisseur, même force de 1,2 N — excitée cette fois à 2,2 rad/s au lieu de 4. Calculez l'amplitude et le retard de phase, puis déterminez si l'amortisseur joue encore un rôle.
1. Seule la fréquence d'excitation a changé, de sorte que ζ reste inchangé et que r tombe à 0,55.
  
  $r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{2.2}{4} = 0.55, ζ = \frac{0.6}{8} = 0.075$
2. Écrivez séparément les deux termes sous la racine, car leurs grandeurs relatives apportent la réponse à la question. Le terme d'amortissement contribue pour 0,00681 contre 0,48651 — soit 1,4 % du total.
  
  $(1 - r^{2})^{2} = (1 - 0.3025)^{2} = 0.697 5^{2} = 0.48651; (2 ζ r)^{2} = 0.082 5^{2} = 0.00681$
3. Additionnez-les et prenez l'inverse.
  
  $M = \frac{1}{0.48651 + 0.00681} = \frac{1}{0.49331} = \frac{1}{0.70236} = 1.424$
4. Même déplacement statique, amplification nettement moindre.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = 0.075 \times 1.424 = 0.1068 m$
5. Le retard dépend de ces deux mêmes termes, et avec le retour du terme de raideur au premier plan, il s'effondre de 90° à 6,7° : la masse se déplace désormais quasi en phase avec la force au lieu d'être en retard d'un quart de cycle.
  
  $ϕ = atan2 (0.0825, 0.6975) = 0.1177 rad = 6. 7^{\circ}$
Réponse

0,1068 m, en retard de 6,7° sur la force — et non, l'amortisseur ne compte plus. Supprimez-le : posez c = 0 et M devient 1/(1 - r²) = 1,4337, ce qui donne 0,1075 m. Cela représente 0,7 mm d'erreur sur une amplitude de 107 mm, soit 0,7 %. La grandeur qui déterminait toute la réponse à 4 rad/s n'est plus qu'une erreur d'arrondi à 2,2 — alors qu'à r = 1, la même suppression aurait envoyé l'amplitude à l'infini. C'est désormais le terme de raideur qui domine, et il convient d'être précis sur ce que cela signifie : le déplacement statique F₀/k = 0,075 m est inférieur de 30 % à l'amplitude réelle d'oscillation de la masse. Exciter lentement n'est pas la même chose qu'exciter de façon statique. Pour que 1/(1 - r²) reste à moins de 5 % de 1, il faut que r soit inférieur à 0,22, ce qui pour ce ressort implique de maintenir l'excitation sous 0,873 rad/s — et c'est seulement là que le ressort seul détermine la réponse.

$M (c = 0) = \frac{1}{1 - r ^{2}} = \frac{1}{0.6975} = 1.4337 (+ 0.7%); r = 1 : M (c = 0) \to \infty$

Parcours

D'un ressort à l'onde stationnaire

Mène à Interférences ce que ces deux grandeurs font à une horloge.

Références (2)

The textbook example of resonance that is not resonance: K. Y. Billah and R. H. Scanlan, "Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks." American Journal of Physics 59(2), 118–124, 1991 — the bridge failed by aeroelastic flutter, a self-excited instability, not by a periodic gust matching a natural frequency.
The driven oscillator, its phase lag and its Q, worked through: A. P. French, Vibrations and Waves, Chapter 4: Forced vibrations and resonance. W. W. Norton, 1971.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

Libre non amorti - Aucun amortissement : ζ = 0, et l’oscillation à ω₀ = 4 rad/s ne s’atténue jamais. La période vaut 1,571 s, tandis que l’énergie passe indéfiniment du ressort à la masse et inversement.
Amortissement critique - c = 8 vaut exactement 2√(km), donc ζ = 1 : c’est l’amortissement critique. Le système revient à l’équilibre le plus rapidement possible sans dépassement, avec une constante de temps de 0,250 s.
Proche de la résonance - L’excitation est exactement à ω₀ = 4 rad/s, avec ζ = 0,075. Ainsi, M = 6,667, soit 1/(2ζ). Un déplacement statique de 0,0750 m devient alors une oscillation de 0,5000 m, en retard de phase de 90° sur la force.
Hors résonance - Le même système est excité à 2,2 rad/s au lieu de 4 : M passe de 6,667 à 1,424, et le retard de phase de 90° à 6,7°. Seul le rythme a changé.