Simulateur de circuit RC

Observez comment un circuit résistance-condensateur se charge et se décharge de façon exponentielle avec la constante de temps τ = RC.

Valeurs de départ — Simulateur de circuit RC

R (Ω)	10000
C (F)	0.0001
V₀ (V)	5

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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La tension d'alimentation fixe la hauteur, jamais le tempo 🖖

τ = RC ne contient pas V, et cela s'oublie facilement. Fixez R et C, puis faites passer l'alimentation de 5 V à 12 V : la courbe monte plus haut et tous les affichages de tension suivent, mais le temps pour atteindre 63,2 % de la valeur finale ne bouge pas d'une milliseconde. Sur le préréglage de charge — 10 kΩ avec 100 µF — τ = 1 s quelle que soit la tension ; le préréglage rapide y arrive en 0,01 s uniquement parce qu'il change R et C, non parce que 12 V poussent plus fort. Mesurée en unités de τ, l'exponentielle garde toujours la même forme : 63,2 % à 1τ, 99,3 % à 5τ. La tension d'alimentation ne fait qu'étiqueter l'axe.

Un condensateur est un seau sous un robinet étroit 🖖

Imaginez le condensateur comme un petit réservoir et la résistance comme un robinet étroit qui l'alimente. Au début le réservoir est vide, la charge s'y engouffre et la courbe monte fortement ; à mesure qu'il se remplit, l'« écart de pression » diminue, le débit faiblit et la courbe s'aplatit. Tout se joue sur un seul nombre, τ = RC en secondes : agrandir la résistance ou le condensateur ralentit tout de façon proportionnelle.

Vos neurones aussi sont des circuits RC 🖖

La toute même équation tourne dans votre tête. La membrane d'un neurone stocke de la charge comme un condensateur, tandis que les canaux ioniques la laissent fuir comme une résistance, d'où une constante de temps membranaire τ_m = R_m C_m d'environ 10–20 ms. Ce nombre décide combien de temps un signal entrant persiste avant de s'effacer, et donc si deux stimuli arrivant presque ensemble s'additionnent assez pour faire décharger le neurone. Le cerveau calcule littéralement avec des courbes de charge RC.

CIRCUITS RC — DANS QUEL SENS, ET QUELLE EST LA CONSTANTE DE TEMPS ?

Dans quel cas RC êtes-vous ?

Deux choses seulement décident de la réponse. D’abord le sens : la charge monte vers l’alimentation en V₀(1 − e^(−t/τ)), la décharge s’en éloigne en V₀e^(−t/τ). Ensuite la constante de temps τ = RC, la seule horloge du circuit. Changez R ou C et la forme ne change en rien : seule change la vitesse à laquelle la même courbe est parcourue.

Charge — 63 % du chemin après une constante de temps V = V₀(1 − e^−t/τ)

Décharge — la même courbe à l’envers V = V₀e^−t/τ

Une petite τ — la même forme, parcourue en millisecondes τ = RC = 10 ms

Une grande τ — encore la même forme, étalée sur des minutes τ = RC = 100 s

Charge — 63 % du chemin après une constante de temps

Ce que vous savez: Le condensateur part vide et se remplit vers la tension d’alimentation. V(t) = V₀(1 − e^(−t/τ)), s’approchant de V₀ sans jamais tout à fait l’atteindre.

Réponse: V = V₀(1 − e^−t/τ)

Exemple résolu: R = 10 kΩ avec C = 100 µF → τ = 1 s. Depuis 5 V : 3,161 V à une τ, 4,751 V à trois, 4,966 V à cinq.

Ouvrir ce cas: Charge

Charge — 63 % du chemin après une constante de temps. La courbe monte vite puis s’aplatit, franchissant 63 % à exactement une constante de temps. Le condensateur part vide et se remplit vers la tension d’alimentation. V(t) = V₀(1 − e^(−t/τ)), s’approchant de V₀ sans jamais tout à fait l’atteindre. — La courbe monte vite puis s’aplatit, franchissant 63 % à exactement une constante de temps.

Décharge — la même courbe à l’envers

Ce que vous savez: Le condensateur part chargé et se vide à travers la résistance. V(t) = V₀e^(−t/τ), avec la même τ qu’au remplissage.

Réponse: V = V₀e^−t/τ

Exemple résolu: Les mêmes R et C depuis 5 V : 1,839 V à une τ, 0,249 V à trois, 0,034 V à cinq.

Ouvrir ce cas: Décharge

Décharge — la même courbe à l’envers. Depuis la pleine charge, la tension tombe à 37 % en une constante de temps puis continue vers zéro. Le condensateur part chargé et se vide à travers la résistance. V(t) = V₀e^(−t/τ), avec la même τ qu’au remplissage. — Depuis la pleine charge, la tension tombe à 37 % en une constante de temps puis continue vers zéro.

Une petite τ — la même forme, parcourue en millisecondes

Ce que vous savez: Réduire R ou C raccourcit la constante de temps. La courbe est identique ; seuls changent les nombres sur l’axe du temps.

Réponse: τ = RC = 10 ms

Exemple résolu: R = 1 kΩ avec C = 10 µF → τ = 10 ms. Depuis 12 V, le condensateur est à 7,585 V après 10 ms et à 11,919 V après 50 ms.

Ouvrir ce cas: RC rapide

Une petite τ — la même forme, parcourue en millisecondes. Dix millisecondes par constante de temps, mais la courbe est celle du cas de charge. Réduire R ou C raccourcit la constante de temps. La courbe est identique ; seuls changent les nombres sur l’axe du temps. — Dix millisecondes par constante de temps, mais la courbe est celle du cas de charge.

Une grande τ — encore la même forme, étalée sur des minutes

Ce que vous savez: Augmenter R ou C étire la constante de temps. Dix mille fois plus lent que le cas rapide, et pourtant exactement la même courbe.

Réponse: τ = RC = 100 s

Exemple résolu: R = 100 kΩ avec C = 1 mF → τ = 100 s. Depuis 9 V, le condensateur atteint 5,689 V après 100 s et demande environ 500 s pour être tenu pour plein.

Ouvrir ce cas: RC lent

Une grande τ — encore la même forme, étalée sur des minutes. Cent secondes par constante de temps : la même courbe étirée le long de l’axe. Augmenter R ou C étire la constante de temps. Dix mille fois plus lent que le cas rapide, et pourtant exactement la même courbe. — Cent secondes par constante de temps : la même courbe étirée le long de l’axe.

Références (2)

RC time constants and the 63.2% / 99.3% landmarks: Horowitz, P. & Hill, W. The Art of Electronics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2015, §1.4. ISBN 978-0-521-80926-9.
The membrane time constant behind the neuron block: Hodgkin, A. L. & Huxley, A. F. (1952). "A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve." The Journal of Physiology 117(4), 500–544.

Problème entièrement résolu

Un condensateur de 100 μF se chargeant à travers 10 kΩ depuis une alimentation de 5 V 5 étapes
Un condensateur de 100 μF se charge à travers une résistance de 10 kΩ depuis une alimentation de 5 V. Déterminez l'instant où il franchit le seuil des deux tiers auquel un temporisateur 555 bascule, puis déterminez quelle part de l'énergie de l'alimentation la résistance transforme en chaleur pour y parvenir. Il s'agit du mode Charge avec R = 10 kΩ, C = 100 μF et V₀ = 5 V.
1. Un ohm multiplié par un farad donne une seconde, ce qu'il vaut la peine de vérifier soi-même une fois plutôt que de l'admettre sans preuve. Rien d'autre dans ce circuit n'a la dimension d'un temps, ce produit est donc la seule horloge disponible.
  
  $τ = R C = 1 0^{4} Ω \times 1 0^{- 4} F = 1.00 s$
2. Puisque l'exposant est t/τ, les fractions 0,632, 0,950 et 0,993 s'appliquent à tout circuit RC jamais construit. Seules la tension qu'elles multiplient et la durée d'une période vous appartiennent.
  
  $V (t) = V_{0} (1 - e^{- t / τ}) : V (τ) = 5 (1 - e^{- 1}) = 3.161 V, V (3 τ) = 4.751 V, V (5 τ) = 4.966 V$
3. Un temporisateur 555 n'attend jamais l'état « chargé » — il compare la tension du condensateur aux deux tiers de celle de l'alimentation et bascule dès qu'elle l'emporte. Inversez donc la loi de charge pour obtenir la durée correspondant à une tension choisie. Une constante de temps ne suffit pas : 3,161 V reste en deçà du seuil de 3,333 V, et ces 0,099 s supplémentaires expliquent pourquoi le point de basculement se situe à ln 3 plutôt qu'à 1.
  
  $t = - τ ln (1 - \frac{V}{V _{0}}); V = \frac{2}{3} V_{0} ⟹ t = τ ln 3 = 1.099 s$
4. Comptabilisons à présent la charge plutôt que les volts. Chaque coulomb qui aboutit sur le condensateur a quitté l'alimentation sous la tension totale de 5 V, quelle que fût la tension du condensateur à cet instant, de sorte que l'alimentation fournit QV₀. La réserve propre du condensateur n'en représente que la moitié, car sa tension moyenne était de V₀/2 pendant qu'il se remplissait.
  
  $Q = C V_{0} = 5 \times 1 0^{- 4} C, W = Q V_{0} = C V_{0}^{2} = 2.5 mJ, E_{C} = \frac{1}{2} C V_{0}^{2} = 1.25 mJ$
5. La moitié manquante est bien allée quelque part, et il n'y a qu'un seul autre composant. L'intégration du dégagement thermique de la résistance sur toute la charge confirme cette valeur — et observez ce qui arrive à R : elle divise le courant et multiplie τ, de sorte qu'elle s'annule complètement.
  
  $E_{R} = \int_{0}^{\infty} i^{2} R d t = \frac{V _{0}^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / τ} d t = \frac{V _{0}^{2}}{R} \cdot \frac{τ}{2} = \frac{1}{2} C V_{0}^{2} = 1.25 mJ$
Réponse

L'outil affiche τ = 1,00 s, ainsi que 3,161 V, 4,751 V et 4,966 V à une, trois et cinq constantes de temps. L'étape 5 est celle qu'il faut retenir. Divisez la résistance par deux et le condensateur se charge en une demi-seconde au lieu d'une, tout en dissipant exactement les mêmes 1,25 mJ, car la chaleur est déterminée par C et V₀ seuls. Un condensateur alimenté par une résistance a donc un rendement de 50 % quelle que soit sa conception, ce qui explique pourquoi aucun chargeur efficace n'en utilise : une inductance et un interrupteur déplacent la même charge sans qu'une chute de tension fixe ne s'y oppose. Ce même rendement de 50 % explique pourquoi la charge d'une grande batterie de condensateurs à travers une résistance est un problème thermique avant d'être un problème électrique.

$E_{R} = E_{C} = \frac{1}{2} C V_{0}^{2} \forall R > 0$

Parcours

Résistance, puis réactance

Mène à first-order-step-response un temps.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Charge - Charge : τ=1s, V₀=5V
Décharge - Décharge depuis 5V
RC rapide - RC rapide : τ=10ms
RC lent - RC lent : τ=100s