Leçon
La théorie — Laboratoire de réponse indicielle du premier ordre
Un système du premier ordre est un système dont la vitesse de variation est proportionnelle à la distance qu’il lui reste à parcourir. Soumettez-le à une entrée constante appliquée brusquement — un échelon — et il ne saute pas : il comble l’écart restant à une vitesse fractionnaire constante, dessinant une approche exponentielle vers une nouvelle valeur de repos. La constante de temps τ est le temps que met cet écart à se réduire à 1/e de sa taille initiale.
Ce que signifie chaque symbole
K- le gain : combien de sortie le système finit par donner par unité d’entrée.
A- l’amplitude de l’échelon appliqué en
t = 0. τ- la constante de temps, dans les mêmes unités que
t. C’est le seul symbole ici qui agisse sur la chronologie. K·A- la valeur finale à laquelle la sortie se stabilise, une fois l’exponentielle épuisée.
D’où vient la formule
- Partez de la prémisse physique plutôt que de la formule. Un système du premier ordre évolue à une vitesse proportionnelle à sa distance restante à la cible : plus il lui reste à faire, plus il va vite. Écrit :
dy/dt = (K·A − y)/τ, soitτ·dy/dt + y = K·A. - Séparez les variables et intégrez :
dy/(K·A − y) = dt/τdonne−ln(K·A − y) = t/τ + c. - Appliquez la condition initiale. Le système est au repos avant l’échelon, donc
y(0) = 0, ce qui fixe la constante et laisseK·A − y = K·A·e^(−t/τ). Lisez cette ligne pour elle-même : c’est l’écart qui décroît exponentiellement, et c’est l’écart — non la sortie — qui est la chose simple. - D’où
y(t) = K·A(1 − e^(−t/τ)). La fraction restant à parcourir vaute^(−t/τ), qui ne dépend detetτque par leur rapport. Ce seul fait engendre tout le tableau des jalons : à une τ l’écart vaut1/e, donc 63,21% est fait ; à trois τ, 95,02% ; à cinq τ, 99,33%. Rien dans ces nombres ne peut être modifié par le gain ni par l’amplitude.
Comment lire ce que vous voyez
La courbe verte est y(t) et la ligne grise en pointillé la valeur finale K·A qu’elle n’atteint jamais tout à fait. Les lignes verticales marquent 1τ à 5τ, ce qui permet de lire les pourcentages des jalons directement sur la courbe. La ligne orange en pointillé rend l’étape 4 visible : elle quitte l’origine à la pente initiale K·A/τ et rencontre la ligne grise à exactement une constante de temps, un point marquant le croisement. La bande bleue vaut ±2% de la valeur finale — la définition courante de « arrivé » en ingénierie — et le repère vertical est l’instant saisi dans la case Temps. Le tableau en dessous met en évidence la ligne τ sur laquelle vous vous trouvez.
- Suppose
- Un seul élément de stockage, un système au repos avant l’échelon, et un échelon qui arrive instantanément. La linéarité est également supposée : doublez l’échelon et chaque point de la courbe double, ce qui est précisément pourquoi les pourcentages des jalons sont fixes. Rien ici ne modélise la saturation : un gain de 10 et un échelon de 10 prédiront volontiers une sortie de 100 qu’un actionneur réel ne pourrait pas fournir.
- Ne tient plus quand
- Une réponse du premier ordre est monotone — elle ne peut jamais dépasser sa valeur finale ni osciller. Donc si un système réel sonne, ou franchit sa cible avant de se stabiliser, il n’est pas du premier ordre, et aucune valeur de τ ne lui conviendra. Cela demande au moins deux éléments de stockage, d’où le comportement du second ordre d’un oscillateur amorti. Le temps mort casse le modèle autrement : un retard de transport décale toute la courbe vers la droite sans changer sa forme, et ne peut donc pas non plus être absorbé dans τ.
Problème entièrement résolu
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Sortie qui a atteint 63,21 % une constante de temps après un échelon 5 étapes
Un système du premier ordre se trouve à une constante de temps d'un échelon d'entrée, et la sortie a atteint 63,21 %. Démontrez que ces 63,21 % — ainsi que le temps de montée et le temps de réponse — ne sont aucunement des propriétés de ce système.
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L'équation régissant le système indique que la sortie rattrape l'entrée à une vitesse proportionnelle à son retard. Sa résolution donne une convergence exponentielle, le gain et l'amplitude de l'échelon n'apparaissant que comme un facteur multiplicatif global.
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Ainsi à t = τ, la fraction atteinte est 1 − e⁻¹. Le gain et l'échelon s'annulent : les 63,21 % sont une propriété de e, pas de ce système.
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La même simplification donne le temps de montée. Inversez la réponse pour trouver l'instant correspondant à n'importe quelle fraction, puis soustrayez les temps à 10 % et 90 %. La différence est τ ln 9, et ln 9 = 2,197 est un nombre pur.
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Le temps de réponse à 2 % revient à chercher quand l'écart exponentiel résiduel tombe à 0,02, ce qui donne τ ln 50 = 3,912τ. À nouveau, ni le gain ni l'amplitude de l'échelon n'interviennent.
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Ce qui signifie que tout le raisonnement s'inverse. Mesurez un temps de montée sur un matériel réel et τ = tᵣ/2,197 — une seule lecture de chronomètre caractérise entièrement la dynamique.
Réponse
L'outil affiche 0,6321, 63,21 %, un temps de montée de 2,197 et un temps de réponse de 3,912. Chacune de ces valeurs est τ multiplié par une constante issue de e, et aucune d'elles ne dépend du gain ou de l'échelon. Cliquez tour à tour sur les préréglages rapide et lent pour observer la séparation : la sortie, la valeur en régime permanent et les 63,21 % ne bougent pas du tout, tandis que chaque temps sur le panneau est multiplié par exactement dix — 2,197 devient 21,972 et 3,912 devient 39,120. Il n'existe qu'une seule réponse indicielle du premier ordre au monde, et τ décide seulement de la vitesse à laquelle vous l'observez. Deux constantes de temps atteignent 86,47 %, trois atteignent 95,02 %, cinq atteignent 99,33 % — d'où la règle des ingénieurs « cinq constantes de temps et c'est stabilisé ».
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Parcours
Résistance, puis réactance
Références (1)
- The standard treatment of the first-order lag, including the rise and settling times this page reports and why they are pure multiples of τ: K. J. Åström & R. M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.