Analyseur de résonance RLC

Fixe les valeurs de R, L et C pour voir la fréquence de résonance, le facteur Q et la courbe d'impédance.

Valeurs de départ — Analyseur de résonance RLC

Résistance R (Ω)	100
Inductance L (H)	0,01
Capacité C (F)	0,00000253

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Leçon

La théorie — Analyseur de résonance RLC

Un circuit RLC série est à la résonance à la seule fréquence pour laquelle la réactance de l’inductance et la réactance du condensateur sont égales et opposées, et s’annulent donc exactement. À cette fréquence, le circuit se comporte comme si seule la résistance était présente.

Ce que signifie chaque symbole

R: résistance, en ohms. Le seul élément qui dissipe de l’énergie, et donc la seule chose qui limite Q.
L: inductance, en henrys. Sa réactance X_L = 2πfL augmente avec la fréquence.
C: capacité, en farads. Sa réactance X_C = 1/(2πfC) diminue avec la fréquence — les deux courbes se croisent donc en un point unique.
Q: le facteur de qualité — l’acuité de la résonance. Il fixe également la largeur de bande, BW = f₀/Q.

D’où vient la formule

La résonance est par définition la fréquence à laquelle les deux réactances sont égales : X_L = X_C, soit 2πf₀L = 1/(2πf₀C).
Multipliez les deux membres par 2πf₀C et divisez par L, ce qui donne (2πf₀)² = 1/(LC).
Prenez la racine carrée et divisez par 2π : f₀ = 1/(2π√(LC)). Remarquez ce qui est absent — R n’apparaît pas du tout, la résistance modifie donc l’acuité du pic, mais jamais sa position.

Comment lire ce que vous voyez

Huit lignes, chacune affichée à côté de l’expression qui l’a produite, afin de pouvoir vérifier le calcul plutôt que de le croire sur parole. Les quatre premières sont celles auxquelles la dérivation ci-dessus aboutit : fréquence de résonance f₀, pulsation ω₀, facteur de qualité Q = (1/R)√(L/C), et largeur de bande BW = f₀/Q. Avec les composants par défaut — R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2.53 µF —, on lit 1.00 kHz, 6287 rad/s, 0.6287 et 1.59 kHz. Les quatre suivantes décrivent le même circuit sous d’autres angles : les deux fréquences à 3 dB, 483 Hz et 2.07 kHz, le coefficient d’amortissement ζ = 0.7953, et l’impédance série minimale — 100 Ω, c’est-à-dire R lui-même, car à la résonance les réactances s’annulent et il ne reste rien d’autre. Le schéma indique où la sortie est prélevée : aux bornes de R.

Suppose: Composants idéaux en régime permanent sinusoïdal — une résistance pure, une inductance pure et une capacité pure, alimentés depuis suffisamment longtemps pour que les phénomènes transitoires se soient dissipés. Rien ici ne décrit le comportement du circuit durant les premiers cycles suivant la mise sous tension.
Ne tient plus quand: Les valeurs par défaut sont à peine résonnantes, et l’affichage le confirme si l’on lit les deux fréquences ensemble : Q = 0.6287 donne une largeur de bande de 1.59 kHz, ce qui est plus large que la fréquence centrale de 1,00 kHz elle-même — il n’y a aucun pic digne de ce nom. L’acuité nécessite que R soit petit par rapport à √(L/C). Les bobines réelles possèdent également leur propre résistance d’enroulement, qui s’ajoute à R et limite le Q qu’un montage réel peut atteindre.

Q compte combien de fois l’énergie fait l’aller-retour avant de devenir de la chaleur 🖖

Q est une mesure générale de l'énergie stockée divisée par l'énergie perdue par cycle. Dans un circuit RLC série, une faible résistance permet à l'énergie de faire de nombreux allers-retours entre le champ magnétique de la bobine et le champ électrique du condensateur avant de se dissiper en chaleur. La même idée se retrouve dans les horloges atomiques : une raie spectrale étroite signifie un Q énorme, ce qui permet à l'oscillateur de distinguer des écarts de fréquence extrêmement petits.

Ce qu'est vraiment la résonance 🖖

Chaque couple bobine–condensateur possède une fréquence propre, f₀ = 1/(2π√(LC)), où l'énergie oscille d'avant en arrière comme un enfant qui lance une balançoire. Excité à f₀, le circuit voit les réactances de L et de C s'annuler : il ne reste que la résistance, et le courant atteint un pic aigu. Remarquez que f₀ ne dépend que de L et de C ; le curseur de résistance affine ou élargit le pic, mais ne le déplace jamais.

Une tension qui dépasse sa source 🖖

À la résonance, la source ne "voit" que la résistance, pourtant les tensions aux bornes de la bobine et du condensateur atteignent chacune Q fois l'entrée — et, déphasées de 180°, elles s'annulent exactement. Alimentez un circuit de Q = 50 sous 10 V et le condensateur subit 500 V. Cette surtension permet aux émetteurs à étincelles et aux bobines Tesla d'atteindre des tensions énormes, et peut détruire discrètement un condensateur prévu pour la seule tension d'entrée.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Les valeurs par défaut sont L = 10 mH et C = 2.53 µF, donnant f₀ = 1.00 kHz et Q = 0.6287. Doublez l’inductance à 0.02 et divisez la capacité par deux à 1.265e-6. Prédisez l’effet de chacune.

Afficher la réponse

f₀ ne bouge pas — toujours 1.00 kHz — tandis que Q double à 1.257 et que la largeur de bande passe de 1.59 kHz à 796 Hz. f₀ dépend du produit LC, que vous avez laissé intact ; Q = (1/R)√(L/C) dépend du rapport, que vous avez quadruplé. Une seule paire de composants, deux réglages indépendants : échangez L contre C pour affiner le pic sans le déplacer, ou changez-les ensemble pour le déplacer sans changer sa forme.
Remettez les composants et faites tomber la résistance de 100 à 10. Six des huit lignes changent. Lesquelles deux ne changent pas ?

Afficher la réponse

f₀ et ω₀ — R n’apparaît nulle part dans f₀ = 1/(2π√(LC)). Tout le reste bouge : Q de 0.6287 à 6.287, la largeur de bande de 1.59 kHz à 159 Hz, le coefficient d’amortissement de 0.7953 à 0.07953, et les deux fréquences à 3 dB se resserrent autour du pic immobile — 924 Hz et 1.08 kHz au lieu de 483 Hz et 2.07 kHz. L’impédance série minimale suit R exactement, de 100 à 10.0, car à la résonance les réactances s’annulent et il ne reste que la résistance.

Problème entièrement résolu

Fréquence de résonance de 100 Ω, 10 mH, 2,53 µF en série 6 étapes
R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2,53 µF en série. Trouvez la fréquence de résonance et le facteur Q — puis expliquez ce qu'un Q inférieur à 1 signifie réellement pour ce circuit.
1. Les réactances de la bobine et du condensateur ont des signes opposés, si bien qu'à une certaine fréquence elles s'annulent exactement et l'impédance devient purement résistive. Cette fréquence constitue la définition de la résonance.
  
  $Z (ω) = R + j (ω L - \frac{1}{ω C}); ℑ Z = 0 ⟹ ω_{0} = \frac{1}{L C}$
2. Effectuez la substitution. Le produit LC vaut 2,53 × 10⁻⁸, et tout le reste dépend de sa racine carrée.
  
  $ω_{0} = \frac{1}{0.01 \times 2.53 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{1.5906 \times 1 0 ^{- 4}} = 6287 rad/s, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} = 1001 Hz$
3. Le facteur Q compare la réactance à la résonance avec la résistance. La forme pratique √(L/C)/R n'a besoin d'aucune fréquence, et ζ n'est que son inverse divisé par deux.
  
  $Q = \frac{ω _{0} L}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{100} 3953 = 0.6287, ζ = \frac{1}{2 Q} = 0.7953$
4. La largeur de bande est la fréquence centrale divisée par Q, et les deux fréquences de coupure à −3 dB ne sont pas symétriques par rapport à celle-ci — elles sont symétriques sur une échelle logarithmique, de sorte que leur moyenne géométrique est f₀.
  
  $BW = \frac{f _{0}}{Q} = 1592 Hz; f_{1, 2} = f_{0} (1 + \frac{1}{4 Q ^{2}} \mp \frac{1}{2 Q}) = 483 and 2074 Hz$
5. Interprétez maintenant Q en termes d'énergie plutôt que de largeur de bande. Les deux définitions concordent, et celle basée sur l'énergie est celle qui indique si le circuit va osciller.
  
  $Q = 2 π \frac{energy stored}{energy lost per cycle} < 1 ⟹ it loses more each cycle than it holds$
6. Enfin, partez d'une exigence réelle pour remonter à la résistance qu'elle implique.
  
  $AM at 1 MHz, 9 kHz spacing : Q = \frac{f _{0}}{BW} = 111 ⟹ R = \frac{1}{Q} \frac{L}{C} = 0.57 Ω$
Réponse

Q = 0,63, ce qui signifie que le circuit perd plus d'énergie par cycle qu'il n'en emmagasine. Telle est la lecture physique de Q : 2π fois l'énergie emmagasinée sur l'énergie perdue par cycle. En dessous de 1, il n'y a plus de quoi osciller, et la largeur de bande de 1,59 kHz autour d'une fréquence centrale de 1,00 kHz dit la même chose dans le domaine fréquentiel — la bande passante est plus large que la fréquence sur laquelle elle est centrée. C'est un filtre, pas un résonateur, et la résistance en est la cause. Conservez les mêmes L et C ainsi que la même fréquence centrale de 1 kHz : exiger le Q ≈ 111 qu'impose la séparation de stations AM espacées de 9 kHz nécessite d'abaisser la résistance série totale à 0,57 Ω, ce qui est inférieur à la résistance du propre fil de la bobine. C'est la véritable raison pour laquelle les étages d'entrée radio utilisent des transformateurs accordés plutôt qu'une résistance, une bobine et un condensateur en série.

$f_{0} = 1.00 kHz, Q = 0.6287, BW = 1.59 kHz ⟹ a filter, not a resonator$

Parcours

Résistance, puis réactance

Références (1)

Series resonance, the quality factor and bandwidth as set out in a standard circuits text: J. W. Nilsson & S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.