Lois de Kirchhoff et pont de Wheatstone

Placez une source, quatre branches et un détecteur. La page résout le pont de la seule manière possible, avec deux équations de nœuds. Elle indique ce que lit le détecteur, où se trouve le point d'équilibre, et pourquoi ni la source ni le détecteur n'y figurent.

Exemple résolu — Lois de Kirchhoff et pont de Wheatstone

Potentiel en C (loi des nœuds)	6,6667 V
Potentiel en D (loi des nœuds)	6,6667 V
Tension aux bornes du détecteur	0,0000 mV
Courant traversant le détecteur	0 A
Écart à l'équilibre (R₁R₄ − R₂R₃)	0,00
Valeur d'équilibrage de R₄	300,0000 Ω
Courant fourni par la source	0,055556 A
Courant manquant aux deux nœuds	5,90 × 10⁻¹⁷ A

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Lois de Kirchhoff et pont de Wheatstone

Deux lois de conservation dictent tout ce qui se trouve sur cette page. La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que la somme des courants arrivant à une jonction est égale à la somme des courants qui en repartent, car la charge ne s'accumule nulle part. La loi des mailles de Kirchhoff indique que la somme des variations de tension sur une boucle fermée est nulle, car une charge ramenée à son point de départ n'a gagné aucune énergie. Appliquées à un circuit comportant n potentiels de nœuds inconnus, elles fournissent n équations, ce qui est suffisant quelle que soit sa configuration. Un pont de Wheatstone est le plus petit circuit nécessitant ces lois. Il se compose de quatre branches entre une source et un détecteur placé au centre, et s'équilibre lorsque R₁/R₂ = R₃/R₄.

Ce que signifie chaque symbole

E: la source, en volts. Elle détermine tous les courants du circuit et n'apparaît nulle part dans la condition d'équilibre
V_C: le potentiel au point médian de gauche, en volts. C'est l'une des deux inconnues, et l'équation de nœud correspondante forme l'une des deux équations
V_D: le potentiel au point médian de droite. Il s'agit de l'autre inconnue
I_g: le courant du détecteur, en ampères. Il est positif lorsqu'il circule de C vers D. Il est nul, et exclusivement nul, à l'équilibre
R_g: la propre résistance du détecteur, en ohms. Elle modifie l'intensité du courant lorsque le pont est déséquilibré, mais n'affecte pas le point d'équilibre

Suppose: Des fils idéaux, des résistances linéaires, un courant continu stable et une source sans aucune résistance interne. La page précédente a pourtant longuement expliqué que cela n'est jamais vrai en pratique. Cette supposition est ici sans conséquence pour la raison même qui motive cette page. Une résistance interne se place en série avec la source, modifie tous les courants du circuit, mais ne déplace absolument pas le point d'équilibre. Le détecteur est traité comme une simple résistance, ce qui correspond à un galvanomètre à cadre mobile mais pas à un instrument électronique moderne.
Ne tient plus quand: En courant alternatif, où une branche présente une réactance en plus de sa résistance. L'équilibre nécessite alors deux conditions (l'amplitude et la phase) exigeant l'utilisation d'un pont d'impédance. Le modèle échoue également sur tout élément non linéaire. Une diode ou un filament d'ampoule dans une branche ne possède pas de résistance unique à insérer dans le rapport. Enfin, la question de la précision mérite d'être soulignée. Une mesure en pont ne vaut que par les trois branches que vous pensez connaître. L'expression R₃ = R₁R₄/R₂ hérite en effet de leurs trois erreurs cumulées. Le détecteur ne participe en rien à la précision de la mesure. Il lui suffit de distinguer zéro de non-zéro, ce qui représente un instrument bien plus simple à concevoir qu'un appareil de mesure.

Cinq résistances, et aucune paire n'est en série 🖖

Tout ce que les trois pages précédentes vous ont appris s'arrête ici. Observez le circuit. Le nœud C comporte trois fils (R₁, R₂ et le détecteur) alors qu'une paire en série nécessite une jonction que rien d'autre ne touche. R₁ et R₂ ne sont donc pas en série. Le constat est identique pour le nœud D. De même, aucune de ces cinq résistances ne partage ses deux extrémités, rien n'est donc en parallèle. Les règles d'association n'ont aucune prise sur ce montage. Cliquez maintenant sur Détecteur retiré. Le galvanomètre ayant disparu, le nœud C ne possède plus que deux fils et l'outil signale aussitôt R₁+R₂ et R₃+R₄. Le pont est irréductible à cause du détecteur, et c'est exactement pour cela qu'on l'y place. Ce qui permet de résoudre ce circuit, ce sont deux lois de conservation (la charge en un nœud, l'énergie sur une maille) menant à deux équations à deux inconnues.

Zéro reste zéro, indépendamment de la pile 🖖

Cliquez sur Équilibré et lisez la colonne du détecteur dans le tableau ci-dessous. La valeur est nulle à 1 V comme à 100 V. Elle est nulle avec un détecteur de 5 Ω comme avec un de 500 Ω. Le courant de la source, dans la colonne suivante, passe de 0,005556 A à 0,555556 A sur ces six mêmes lignes. Il est multiplié par cent, mais le point nul ne bouge pas. C'est ce qui fait d'un pont un véritable instrument de mesure et non un simple calcul. Les deux grandeurs les plus difficiles à cerner (la tension réellement délivrée par la source et la charge que l'appareil impose au circuit) disparaissent lors d'une lecture à zéro. Un ohmmètre doit nécessairement connaître ces deux valeurs et sa précision en dépend entièrement.

Seul le rapport compte, choisissez donc des branches adaptées 🖖

L'équilibre se traduit par R₁/R₂ = R₃/R₄, aucune autre caractéristique des quatre résistances n'entre en jeu. Cliquez sur Équilibré, puis sur Branches décuplées. R₁ et R₂ passent de 100 et 200 Ω à 1 000 et 2 000. Le détecteur indique toujours 0 A, et le courant de la source chute de 0,055556 A à 0,025556 A. La mesure est identique, en utilisant moins de la moitié du courant. C'est à cela que sert une branche de rapport. Vous choisissez la paire qui correspond au courant dont vous disposez ou à l'échauffement que vous tolérez. L'inconnue obtenue sera la même dans les deux cas.

Problème entièrement résolu

Mesure d'une résistance dont vous ne pouvez pas lire la valeur 6 étapes
R₃ est inconnue. R₁ = 100 Ω et R₂ = 200 Ω sont des étalons précis à 0,01 %. R₄ est une boîte à décades que vous réglez jusqu'à ce que le détecteur affiche zéro. L'annulation se produit à R₄ = 300,0000 Ω. Déterminez R₃ et évaluez la précision de ce résultat.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Au point nul, aucun courant ne traverse le détecteur. C et D sont donc au même potentiel. C'est le seul fait sur lequel repose toute la méthode.
  
  $I_{g} = 0 ⟹ V_{C} = V_{D}$
2. En l'absence de courant dans R_g, R₁ et R₂ forment un simple diviseur à deux résistances. Il en va de même pour R₃ et R₄. Chaque point médian correspond à la source multipliée par sa branche inférieure divisée par sa paire.
  
  $V_{C} = E \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, V_{D} = E \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
3. Égalez les deux points médians et la source s'annule immédiatement des deux côtés.
  
  $\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
4. Effectuez un produit en croix, l'expression se réduit alors à un produit de paires : R₁R₄ = R₂R₃.
  
  $R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4} = R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4} ⟹ R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$
5. Donc R₃ = R₁R₄/R₂ = 100 × 300,0000 ÷ 200 = 150,0000 Ω. Relisez le contenu de cette ligne. Elle ne contient que trois résistances, rien d'autre. Ni tension de source, ni résistance de détecteur, ni courant.
  
  $R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = \frac{100 \cdot 300 . 0000}{200} = 150.0000 Ω$
6. Abordons maintenant la précision, un point que les manuels omettent souvent. Les erreurs relatives s'additionnent lors d'un produit ou d'un quotient. R₃ porte ainsi les erreurs des trois branches connues, et aucune de celle du détecteur.
  
  $\frac{Δ R _{3}}{R _{3}} \leq \frac{Δ R _{1}}{R _{1}} + \frac{Δ R _{4}}{R _{4}} + \frac{Δ R _{2}}{R _{2}} = 3 \times 0 . 01% = 0 . 03%$
Réponse

R₃ = 150,0000 Ω, à environ 0,03 %. Les trois étalons sont précis à 0,01 % chacun et leurs erreurs relatives s'additionnent dans le pire des cas. Le détecteur ne contribue en rien à l'erreur finale. On ne lui a jamais demandé de fournir une valeur chiffrée, mais uniquement de distinguer zéro de non-zéro. C'est le compromis sur lequel repose l'instrument entier. C'est aussi la raison pour laquelle un pont a surpassé toutes les méthodes directes pendant un siècle et demi. Il est infiniment plus simple de concevoir un appareil détectant l'absence d'un courant plutôt qu'un outil mesurant précisément son intensité.

$R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = 150.0000 Ω \pm 0 . 03%$

Parcours

Ce que la loi d’Ohm laisse de côté

Références (3)

The laws themselves, published while Kirchhoff was still a student. The paper is about current spreading through a plane conductor; the two rules this page uses are stated on the way: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The bridge, from the Bakerian Lecture that made it famous — and in which Wheatstone credits Christie rather than claiming it: C. Wheatstone, "XIII. The Bakerian lecture. — An account of several new instruments and processes for determining the constants of a voltaic circuit." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 133, 1843, pp. 303-327. DOI 10.1098/rstl.1843.0014
Christie's paper of ten years earlier, where the diamond of four resistances and a null detector appears first. The bridge carries the wrong name and has done since 1843: S. H. Christie, "VIII. The Bakerian Lecture. — Experimental determination of the laws of magneto-electric induction in different masses of the same metal, and of its intensity in different metals." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123, 1833, pp. 95-142. DOI 10.1098/rstl.1833.0011

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.