Treillis hyperstatique et barre surabondante

Suspendez une charge à trois barres ou à deux. Choisissez les matériaux et les sections, chauffez une barre ou provoquez le tassement d'un ancrage. Augmentez ensuite la charge jusqu'à la plastification des barres. Le tableau sous le dessin effectue les calculs dans l'ordre où vous les feriez à la main.

Exemple résolu — Treillis hyperstatique et barre surabondante

Degré d'hyperstaticité	1
Raideur barre centrale	50,000 kN/mm
Raideur barre extérieure	35,355 kN/mm
Raideur du nœud K_xx	35,355 kN/mm
Raideur du nœud K_xy	0,000 kN/mm
Raideur du nœud K_yy	85,355 kN/mm
Vecteur charge R_x	0,000 kN
Vecteur charge R_y	+150,000 kN

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Treillis hyperstatique et barre surabondante

Une structure est dite isostatique lorsque les équations d'équilibre suffisent à elles seules pour déterminer chaque effort qui la traverse. Elle devient hyperstatique lorsqu'elle comporte plus d'efforts inconnus que d'équations. Cet excédent constitue le degré d'hyperstaticité, et chaque élément supplémentaire est qualifié de surabondant. Les équations manquantes proviennent de la compatibilité : les éléments étant reliés entre eux, leurs allongements doivent correspondre à un seul et même déplacement du nœud. L'allongement d'un élément élastique s'obtient en divisant son effort par sa rigidité k = EA ÷ L, valeur à laquelle vous ajoutez la déformation propre d'un éventuel changement de température. C'est ainsi que les propriétés des matériaux s'introduisent dans un calcul que la statique seule ne pouvait pas mener à bien.

Ce que signifie chaque symbole

k: la rigidité axiale d'une barre, EA ÷ L, en kN par mm. Il s'agit de l'effort nécessaire pour l'allonger d'un millimètre
Δ: l'allongement d'une barre selon son propre axe, en mm. La compatibilité est une condition portant sur ces déformations
N_y: l'effort de plastification d'une barre, soit sa section multipliée par sa limite d'élasticité. La barre ne supporte jamais plus que cette valeur, quelle que soit l'ampleur de son allongement
P_y: la charge pour laquelle la première barre plastifie. Cette valeur dépend des rigidités et de toute contrainte interne existante
P_c: la charge de ruine, palier où les barres encore élastiques plastifient à leur tour. La statique seule permet de la calculer

Ne tient plus quand: Vous remarquerez que les barres sont supposées continuer à s'allonger après leur plastification. L'acier doux possède cette capacité, jusqu'à de multiples fois sa déformation de plastification, ce qui vous permet d'exploiter la réserve du premier assemblage. Une barre en fonte, ou toute barre fragile se fracturant près de sa limite d'élasticité, ne redistribue en revanche aucun effort. Pour un tel matériau, la charge de ruine correspond strictement à la charge de première plastification, exactement comme dans le treillis à deux barres.

Retirez la barre centrale et la première plastification devient la ruine 🖖

Cliquez sur Acier, trois barres et augmentez la charge. La barre centrale plastifie la première, à 213,39 kN, sans que rien ne s'effondre. Elle continue de supporter 125 kN tout en s'allongeant. Dès lors, les deux barres extérieures absorbent chaque kilonewton supplémentaire, et le treillis ne cède finalement qu'à 301,78 kN. Maintenant, cliquez sur Barre centrale retirée. Les deux barres restantes atteignent leur limite d'élasticité simultanément à 176,78 kN, et il n'y a plus de troisième barre pour reprendre l'effort. Pour des barres identiques inclinées à 45°, la charge de ruine du treillis à trois barres vaut exactement √2 fois sa charge de première plastification, ce que la ligne de réserve affiche sous la valeur 1,414. Dans un treillis à trois barres, une plastification vous sert d'avertissement. Dans un treillis à deux barres, elle signe la rupture de l'ouvrage.

Un après-midi chaud introduit 19,88 kN dans un treillis à vide 🖖

Cliquez sur Chauffé, aucune charge. La structure est à vide, et la barre centrale est de 40 K plus chaude que les deux autres. Si elle était libre, elle s'allongerait de 0,960 mm. Les barres extérieures l'empêchant de descendre autant, la barre centrale se retrouve comprimée de 19,88 kN et chaque barre extérieure tendue de 14,06 kN, avant même que vous n'ayez accroché la moindre charge au treillis. Cliquez ensuite sur Deux barres, une chauffée : vous appliquez les mêmes 40 K sur l'une des barres du treillis à deux éléments. Chaque barre supporte alors 106,07 kN, à chaud comme à froid, à la dernière décimale près. Deux équations ont suffi pour déterminer ces deux efforts, et la température n'y figure pas. Le nœud se déplace, un point c'est tout. Voilà le prix de la réserve du premier bloc. Les efforts dans une structure hyperstatique dépendent de ses rigidités, de sa température et du tassement de ses appuis. Dans une structure isostatique, ils ne dépendent que de la charge et de la géométrie. Deux résistances en parallèle rencontrent d'ailleurs le même mur : la loi de conservation vous indique que leurs courants s'additionnent, et seules les valeurs des résistances dictent comment ce courant se répartit. Le pont de Wheatstone, que vous retrouvez sur la page consacrée à Kirchhoff, illustre ce principe sans aucun raccourci série ou parallèle pour le masquer.

La chaleur décale la première plastification et laisse la ruine inchangée 🖖

Conservez les trois barres et modifiez le réglage de la température. Refroidissez la barre centrale de 100 K : elle est déjà en traction avant l'application de la charge, et plastifie donc la première à 128,54 kN. Chauffez-la de 100 K : la charge extérieure doit d'abord annuler une compression avant de pouvoir allonger cette barre. La première plastification est alors repoussée à 298,24 kN. Pourtant, la charge de ruine reste fixée à 301,78 kN dans les deux cas. Il en va de même pour toutes les températures et tassements que les réglages vous permettent de tester, du moment que vous ne modifiez rien d'autre. Sous une charge verticale, les trois barres atteignent leur effort de plastification au moment de la ruine, peu importe le chemin suivi pour y parvenir. Seule la statique détermine la charge qui les équilibre. Une contrainte interne décide du moment où la première barre plastifie, mais n'a aucune influence sur l'instant où la structure s'effondre. C'est la raison pour laquelle vous pouvez dimensionner un portique en acier ductile pour sa charge de ruine, sans vous soucier des contraintes induites par son montage ou le tassement du sol. L'ouvrage nécessite simplement des barres capables de s'allonger considérablement après leur plastification. Une barre fragile qui casserait dès le premier seuil élastique emporterait toute la réserve avec elle.

Problème entièrement résolu

Trois barres sous une charge suspendue 7 étapes
Une charge de 150 kN est suspendue à trois barres d'acier de 500 mm² : une barre verticale de 2 m de long et deux autres inclinées à 45° de part et d'autre, toutes fixées à la même poutre. Calculez l'effort dans chaque barre, la charge pour laquelle la première barre plastifie, et la charge de ruine de l'ensemble. Prenez E = 200 GPa et une limite d'élasticité de 250 MPa. Cliquez sur Acier, trois barres pour vérifier chaque résultat.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Commencez par la statique. Par symétrie, les deux efforts extérieurs sont égaux. L'équilibre horizontal est donc satisfait d'office, et il ne vous reste que l'équation verticale. Celle-ci comporte deux inconnues :
  
  $N_{c} + 2 N_{o} cos 4 5^{\circ} = 150 kN$
2. La troisième équation est celle de la compatibilité. Supposez que le nœud descende d'une distance v. La barre centrale s'allonge de v, et chaque barre extérieure s'allonge de la projection de v sur son axe :
  
  $Δ_{c} = v, Δ_{o} = v cos 4 5^{\circ}$
3. La rigidité de chaque barre vaut EA ÷ L. Les barres extérieures étant √2 fois plus longues, elles se révèlent plus souples :
  
  $k_{c} = \frac{E A}{L} = \frac{200 \times 1 0 ^{9} \cdot 500 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 50.000 kN/mm, k_{o} = \frac{E A cos 4 5 ^{\circ}}{L} = 35.355 kN/mm$
4. La rigidité verticale du nœud s'obtient en ajoutant la barre centrale à la contribution verticale des deux barres extérieures. Vous en déduisez la descente du nœud :
  
  $K_{y y} = k_{c} + 2 k_{o} cos^{2} 4 5^{\circ} = 50.000 + 35.355 = 85.355 kN/mm, v = \frac{150}{85 . 355} = 1.7574 mm$
5. Multipliez chaque rigidité par l'allongement de sa barre. Les deux efforts satisfont l'équation d'équilibre vertical, ce qui vous sert de vérification :
  
  $N_{c} = 50.000 \cdot 1.7574 = 87.87 kN, N_{o} = 35.355 \cdot 1.7574 \cdot 0.7071 = 43.93 kN$
6. Chaque effort est proportionnel à la charge tant que les barres restent dans le domaine élastique. La barre centrale atteint la première son effort de plastification de 500 mm² × 250 MPa = 125 kN. Augmentez proportionnellement la charge pour atteindre cette limite :
  
  $P_{y} = 150 \cdot \frac{125}{87 . 87} = 213.39 kN$
7. Dès lors, la barre centrale maintient son effort à 125 kN. Les barres extérieures reprennent le reste de la charge jusqu'à atteindre 125 kN à leur tour. Tous les efforts étant connus, l'équilibre vertical vous donne la charge de ruine :
  
  $P_{c} = N_{y} + 2 N_{y} cos 4 5^{\circ} = 125 + 2 \cdot 125 \cdot 0.7071 = 301.78 kN$
Réponse

Les barres supportent 87,87 kN au centre et 43,93 kN de chaque côté. La barre centrale plastifie la première à 213,39 kN, et l'ensemble ne cède finalement qu'à 301,78 kN. Regardez bien quelles étapes ont nécessité d'utiliser les rigidités. La répartition des 150 kN et le calcul de la charge de première plastification en dépendaient, lors des étapes 2 à 5. Ce n'est pas le cas de la charge de ruine : l'étape 7 reprend l'équation de l'étape 1 en plaçant chaque barre à son effort de plastification, et le module E n'y apparaît nulle part.

$N_{c} = 87.87, N_{o} = 43.93, P_{y} = 213.39, P_{c} = 301.78 kN$

Parcours

Le cheminement des charges

Références (3)

The three-bar truss is the textbook's own first example of a problem statics cannot finish, and this page's closed form for it is the one check:compute asserts against the stiffness solution: S. Timoshenko, Strength of Materials, Part I: Elementary Theory and Problems, 3rd ed. D. Van Nostrand, New York, 1955. The chapter on statically indeterminate problems in tension and compression.
Insight 3 is the plastic theorems at work: a self-stress from heat or settlement moves the first yield and not the collapse load. A modern account of compatibility, the plastic theorems and why an elastic solution is fragile where a collapse load is not: J. Heyman, Basic Structural Theory. Cambridge University Press, 2008. DOI 10.1017/cbo9780511754487
Where the four materials' stiffness, yield and expansion figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, or a design code such as EN 1993-1-1 for structural steel and EN 1999-1-1 for aluminium.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.