Le flambement d'Euler et la colonne élancée

Choisissez un matériau, une section transversale, une longueur et les conditions aux limites. La page calcule la charge de flambement, la charge d'écrasement, et détermine laquelle des deux intervient en premier.

Exemple résolu — Le flambement d'Euler et la colonne élancée

Aire de la section	706,86 mm²
Moment quadratique	3,976 × 10⁻⁸ m⁴
Rayon de giration, √(I ÷ A)	7,500 mm
Élancement, KL ÷ r	400,0
Charge de flambement	8,72 kN
Charge d'écrasement	176,71 kN
Première rupture atteinte	8,72 kN
Rupture finale par	flambement

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le flambement d'Euler et la colonne élancée

Une colonne courte chargée dans son axe cède par écrasement. La contrainte atteint la limite du matériau et la pièce lâche, sous une charge équivalente à la section multipliée par la résistance. Une colonne longue n'atteint jamais ce stade. Elle cède par flambement. Elle fléchit latéralement puis plie, à la charge critique d'Euler, P = π²EI ÷ (KL)². Dans cette formule, E représente la rigidité, I le moment quadratique, L la longueur et K un coefficient conditionné par les fixations aux extrémités. La rupture qui surviendra sera simplement celle correspondant à la charge la plus basse. Vous comparez habituellement ces deux situations grâce à l'élancement λ = KL ÷ r. La valeur r = √(I ÷ A) correspond au rayon de giration. Cette longueur exprime la distance qui sépare concrètement la matière du centre de la pièce.

Ce que signifie chaque symbole

E: la rigidité, en pascals. La résistance du matériau à l'allongement, et l'unique propriété de la matière présente dans la formule d'Euler
I: le moment quadratique, en m⁴. Une propriété purement liée à la FORME, expliquant pourquoi un tube surpasse une barre de même poids
r: le rayon de giration, √(I ÷ A), en mètres. La distance effective qui sépare la matière de l'axe central de la section
λ: l'élancement, KL ÷ r. Le chiffre unique qui décide auquel des deux types de rupture vous ferez face
K: le coefficient de fixation. 1 pour des appuis articulés, 0,5 pour un double encastrement, 2 pour une extrémité libre

Suppose: La théorie suppose une colonne parfaitement droite, une charge d'un centrage irréprochable, une section uniforme et un matériau préservant son élasticité jusqu'à l'instant fatal. Chacune de ces hypothèses fait preuve d'un immense optimisme. La charge d'Euler marque l'instant précis où une colonne parfaite perd sa stabilité. Elle ne désigne pas la force qui brisera une colonne réelle. Dans la pratique, une pièce naît avec de légers défauts de courbure et d'alignement. Elle commence donc à fléchir immédiatement et cède bien en deçà de ce seuil. Traitez cette valeur comme un plafond infranchissable, jamais comme une charge de travail exploitable. Les véritables codes de calcul effacent d'ailleurs l'angle vif entre les deux courbes pour le remplacer par une transition douce calquée sur les essais en laboratoire.
Ne tient plus quand: Le modèle s'effondre près de l'élancement limite, là où aucune des deux idéalisations ne tient. La colonne reste assez massive pour que le matériau commence à plastifier du côté comprimé avant d'atteindre la charge élastique de flambement. La véritable rupture s'amorce sous les deux courbes. La théorie échoue également sur le profilé en I, et de façon très visible. Une poutre laminée se révèle environ treize fois plus rigide sur un axe que sur l'autre. Une colonne isolée taillée dans ce profil flambera toujours latéralement autour de son axe faible. La valeur calculée sur l'axe fort, bien que figurant sur cette page, ne doit jamais servir de base à vos dimensionnements. Enfin, le modèle échoue sur le bois d'une manière que le tableau masque. Le chiffre annoncé correspond à une résistance caractéristique en compression issue d'un classement. Ce n'est absolument pas une limite d'élasticité. Le bois en est totalement dépourvu. Il périt par le pur effondrement de ses parois cellulaires.

Un acier supérieur ne flambe pas sous une charge supérieure 🖖

Cliquez sur Un poteau élancé puis sur Le même, en acier fort. La barre, la longueur et les appuis ne changent pas. Le matériau possède une résistance 2,76 fois plus élevée. La charge de flambement est de 8,72 kN avant et de 8,72 kN après. Ce n'est pas une simple proximité. Les valeurs sont strictement identiques jusqu'au dernier chiffre gardé en mémoire par l'ordinateur. La charge d'Euler s'écrit π²EI ÷ (KL)². La résistance du matériau n'y figure nulle part. Seule compte la rigidité E, qui reste semblable pour les deux aciers. Ce nouveau métal coûteux vous offre une charge d'écrasement qui passe de 176,71 kN à 487,73 kN. Cette colonne n'atteindra jamais un tel effort. La ligne évaluant l'utilisation de la résistance évolue dans la mauvaise direction, reculant de 4,93 % à 1,79 %. Le meilleur matériau produit finalement le plus mauvais rendement.

Il existe une longueur où les deux types de rupture s'inversent 🖖

L'écrasement ignore la longueur. Le flambement, au contraire, ne se soucie presque de rien d'autre. Les deux courbes du premier panneau finissent donc obligatoirement par se croiser. Ce point définit l'élancement limite, calculé par λ = π√(E ÷ résistance). Vous n'y trouverez ni longueur, ni section, ni forme. Seules s'y croisent les deux propriétés du matériau. L'acier de construction franchit ce cap à 88,86 et l'acier à haute résistance à 53,49. Ce constat illustre une réalité incontournable. Plus le matériau est résistant, plus vite il devient un investissement inutile. Sous cette limite, vous payez pour de la résistance. Au-delà, vous achetez de la rigidité et de la géométrie. La résistance propre du matériau a définitivement cessé d'être le sujet.

L'épaisseur opère à la puissance quatre, la résistance à la puissance un 🖖

Si la résistance ne sert à rien à ce niveau, quel paramètre agit ? Le deuxième panneau explore la taille de la section et mesure la pente de la courbe. Sur la branche du flambement, la charge critique d'une barre ronde pleine évolue selon la puissance quatre de son diamètre, mesurée à 4,000000. Sur la branche de l'écrasement, elle suit le carré, mesurée à 2,000000. Doubler le diamètre multiplie la charge de flambement par seize. Un tube creux offre des performances encore plus spectaculaires pour son poids. Repousser la matière vers l'extérieur propulse I vers le haut sans presque toucher à A. Voilà pourquoi un mât d'échafaudage ou un cadre de vélo adoptent une forme tubulaire. La barre pleine du premier réglage représente une bien piètre manière de dépenser de l'acier.

Problème entièrement résolu

Le choix entre deux aciers pour un poteau de 3 m 6 étapes
Vous devez dimensionner un poteau de 3 m articulé aux deux extrémités à l'aide d'une barre ronde pleine de 30 mm. On vous propose un acier de construction à 250 MPa ou un acier à haute résistance à 690 MPa pour un budget supérieur. Calculez ce que chaque option peut supporter, et recommandez le meilleur achat. Cliquez sur Un poteau élancé pour afficher la première moitié du problème sur l'outil.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Commencez par la géométrie. Elle demeure identique pour les deux options et représente l'unique préoccupation de la formule d'Euler. Une barre ronde de 30 mm possède une aire de 706,86 mm² et un moment quadratique de 3,976 × 10⁻⁸ m⁴.
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = 706.86 m m^{2}, I = \frac{π d ^{4}}{64} = 3.976 \times 1 0^{- 8} m^{4}$
2. Le rayon de giration en découle. Pour une barre ronde pleine, il s'agit tout simplement du quart du diamètre : 7,500 mm.
  
  $r = \frac{I}{A} = \frac{d}{4} = 7.500 mm$
3. Des articulations aux deux bouts imposent K = 1. L'élancement se résume donc à diviser la longueur nue par ce rayon : 3 ÷ 0,0075 = 400. C'est une colonne redoutablement élancée. La limite d'inversion pour l'acier de construction se situe à 88,86.
  
  $λ = \frac{K L}{r} = \frac{1 \cdot 3 . 0}{0 . 0075} = 400.0 λ_{c} = π \frac{E}{σ _{y}} = 88.86$
4. Passez maintenant à Euler. Gardez E = 200 GPa pour les deux nuances, car la rigidité de l'acier reste quasi universelle :
  
  $P_{E} = \frac{π ^{2} E I}{( K L ) ^{2}} = \frac{π ^{2} \cdot 200 \times 1 0 ^{9} \cdot 3 . 976 \times 1 0 ^{- 8}}{3 . 0 ^{2}} = 8.72 kN$
5. Penchez-vous enfin sur les charges d'écrasement. C'est le seul point de divergence entre vos deux matériaux :
  
  $σ_{y} A σ_{y} P_{E} 250 MPa 176.71 kN 8.72 kN 690 MPa 487.73 kN 8.72 kN$
6. Comparez vos binômes. Le poteau flambe à 8,72 kN dans les deux cas. Il ne subira jamais d'efforts approchant de près ou de loin ces limites d'écrasement. L'acier supérieur n'ajoute strictement aucune capacité portante à votre structure.
  
  $\frac{8 . 72}{176 . 71} = 4 . 93%, \frac{8 . 72}{487 . 73} = 1 . 79%$
Réponse

Achetez l'acier le moins cher. Les deux barres flambent à 8,72 kN. L'unique exploit de l'acier à 690 MPa consiste à faire chuter la fraction de résistance exploitée de 4,93 % à 1,79 %. Vous paieriez pour de la résistance sans en retirer le moindre gain. Cherchez plutôt votre salut dans la formule d'Euler. Envisagez un poteau plus court, un maintien à mi-hauteur, des encastrements au lieu d'articulations, ou la même quantité d'acier repoussée vers l'extérieur. Remplacez la barre pleine de 30 mm par un tube de 78 × 3 mm. Vous conservez 706,86 mm² d'acier dans les deux scénarios. Le poids à porter et le prix à payer ne bougent pas. Le moment quadratique se voit en revanche multiplié par 12,52. La charge de flambement bondit de 8,72 kN à 109,18 kN. Vous obtenez une capacité multipliée par douze à budget constant, uniquement en éloignant la matière de l'axe central. Tout l'art de l'ingénierie réside ici. Voilà pourquoi la solution à un problème de flambement ne se trouve jamais dans un meilleur alliage.

$P_{E}_{250} = P_{E}_{690} = 8.72 kN \Rightarrow \frac{I _{78 \times 3}}{I _{30}} = 12.52$

Parcours

Le cheminement des charges

Références (2)

Euler's own, and it is an appendix rather than the book. The critical load appears in the additamentum De curvis elasticis, which is where the elastica and this page's formula both start: L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Additamentum I: De curvis elasticis. Lausanne and Geneva, 1744.
Where the five materials' stiffness and strength figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, e.g. the CRC Handbook of Chemistry and Physics or a structural-steel design code such as EN 1993-1-1 for steel and EN 338 for graded timber.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.