Moment cinétique

Tenez-vous sur un plateau tournant sans frottement, un haltère dans chaque main, tournez, puis resserrez les bras. Définissez la vitesse de rotation, les haltères, le moment d'inertie de votre corps et l'amplitude du mouvement de vos mains. La page intègre le mouvement en temps réel, affiche ce qui est conservé et ce qui ne l'est pas, puis fait la somme du travail effectué par vos bras.

Exemple résolu — Moment cinétique

Moment d'inertie, bras écartés	3,600 kg·m²
Moment d'inertie, bras resserrés	1,200 kg·m²
Moment cinétique, identique de bout en bout	22,62 kg·m²/s
Rotation bras resserrés	3,000 rev/s
Rotation si les haltères atteignaient l'axe	3,462 rev/s
Énergie cinétique, bras écartés	71,06 J
Énergie cinétique, bras resserrés	213,18 J
Rotation et énergie multipliées par	3,000

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Moment cinétique

Le moment cinétique d'un corps tournant autour d'un axe fixe est L = Iω, soit son moment d'inertie par rapport à cet axe multiplié par sa vitesse angulaire. Le moment d'inertie additionne chaque élément de masse que multiplie le carré de sa distance à l'axe. Un haltère dont le centre est à la distance r apporte donc m r² + I_own d'après le théorème de Huygens-Steiner ; pour deux disques situés à une distance d de part et d'autre de la main, I_own = m d². En l'absence de couple externe autour de l'axe, L ne peut pas changer, ce qui donne I_out ω_out = I_in ω_in, tandis que l'énergie cinétique ½ I ω² = L²/2I varie selon le travail fourni par les bras.

Ce que signifie chaque symbole

I: moment d'inertie par rapport à l'axe du plateau, kg·m²
ω: vitesse angulaire en rad/s ; la page affiche f = ω/2π en tr/s
L: moment cinétique par rapport à l'axe, Iω, en kg·m²/s
I_b: moment d'inertie propre du corps et du plateau, que le resserrement des bras ne modifie pas
d: moitié de la longueur de la barre d'un haltère, 0,1 m : ses disques se trouvent à la distance d de part et d'autre de la main

Suppose: Un plateau sans frottement dans son roulement et rien d'autre ne touchant le corps, il n'y a donc aucun couple autour de l'axe. Les bras n'ont aucune masse ; de vrais bras, de quelques kilogrammes chacun, augmenteraient le moment d'inertie avec les mains écartées ainsi que le gain. Chaque haltère est constitué de deux disques ponctuels sur une barre légère, maintenue horizontale et perpendiculaire au bras, et le moment d'inertie propre du corps reste fixe, quels que soient les mouvements des bras. Le travail comptabilisé est celui de la traction mω²r qui maintient les haltères sur leurs cercles ; la faible énergie de leur mouvement d'aller-retour est nulle aux deux extrémités et n'est pas prise en compte.

Resserrez les haltères et l'énergie cinétique triple 🖖

Appuyez sur Rapprocher, 2 kg et observez les deux flèches sur l'axe. L conserve sa longueur tandis que la vitesse de rotation triple, passant de 1 à 3,000 tr/s : aucun élément extérieur n'exerce de couple autour de l'axe, L = Iω doit donc se maintenir alors que le moment d'inertie chute de 3,600 à 1,200 kg·m². L'énergie cinétique, ½Iω² = L²/2I, ne bénéficie d'aucune protection de ce genre et augmente du même facteur, passant de 71,06 J à 213,18 J. Cette énergie supplémentaire a une source. Pour maintenir les deux haltères en rotation au rayon r, les mains doivent les tirer vers l'intérieur avec une force 2mω²r, et les ramener dans le sens de cette traction constitue un travail : la surface grisée sous la courbe du deuxième panneau. Le tableau des résultats en fait la somme sur mille bandes et obtient 142,12 J, soit le gain exact jusqu'au dernier chiffre affiché. Repoussez les mains vers l'extérieur et cette même traction effectue cette fois un travail sur les bras, et la vitesse de rotation retombe à 1 tr/s.

Des mains quatre fois plus proches, pour une rotation seulement triplée 🖖

Si les haltères constituaient l'ensemble du système, comme des points dans vos mains, L = 2mr²ω ferait que les rapprocher de 0,8 m à 0,2 m vous ferait tourner seize fois plus vite. La page indique 3,000. L'essentiel de ce qui tourne ne bouge pas lorsque vous tirez. Votre corps et le plateau conservent leur 1 kg·m², et chaque haltère garde la partie de son moment liée à sa propre taille, md² d'après le théorème de Huygens-Steiner, quelle que soit la distance à laquelle vous l'amenez. Il y a donc un plafond : avec les deux haltères sur l'axe, la ligne sous la rotation indique 3,462 tr/s, et aucun effort supplémentaire ne permet de le dépasser. Des haltères plus lourds représentent une part plus importante de ce qui tourne. Plus lourd, 10 kg multiplie la rotation par 7,000, mais en partant d'à peine un quart de tour par seconde, les mains doivent déjà retenir 483,6 N à la fin.

Même sans aucun moment cinétique, vous pouvez pivoter 🖖

Cliquez sur De l'arrêt, mouvement. L vaut zéro du début à la fin, et chaque mouvement laisse tout de même le corps tourné de 25,00°. Balayez les bras de 45° avec les mains écartées et le corps tourne de 32,50° dans le sens opposé, puisque les haltères représentent 2,600 des 3,600 kg·m² qui tournent. Resserrez-les et balayez en sens inverse : le corps ne revient que de 7,50°, car ils ne représentent plus que 0,200 sur 1,200. Les bras terminent là où ils ont commencé par rapport au corps ; ce n'est pas le cas du corps. Un moment cinétique nul interdit toute rotation continue : entre les balayages, le corps reste immobile, et Mouvement, bras écartés le ramène à 0,00°. Un chat lâché à l'envers depuis le repos n'a lui non plus aucun moment cinétique, et retombe sur ses pattes. Thomas Kane et M. P. Scher en ont publié une explication dynamique en 1969, suivie en 1970 d'une étude sur la manière dont une personne peut pivoter sur elle-même en bougeant ses membres.

Problème entièrement résolu

À quel moment du trajet la traction est-elle la plus forte ? 4 étapes
Les haltères de 2 kg se rapprochent de 0,8 m à 0,2 m avec L = 22,62 kg·m²/s. La traction retenue par les deux mains est de 126,3 N au départ et de 284,2 N à l'arrivée. Est-elle maximale à la fin ? Sinon, où l'est-elle, et quelle est sa valeur ? Cliquez sur Resserrer, 2 kg pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Les mains maintiennent les haltères sur leur cercle avec 2mω²r, et ω = L/I(r), la traction ne dépend donc que de r :
  
  $F (r) = 2 m (\frac{L}{I ( r )})^{2} r = \frac{2 \times 2 \times 22 . 6 2 ^{2} r}{( 1 . 04 + 4 r ^{2} ) ^{2}} F (0.8) = 126.3 N, F (0.2) = 284.2 N$
2. La ligne de 0,30 m du tableau, 313,2 N, est supérieure aux deux extrémités, la traction maximale se situe donc quelque part entre les deux. Annulez la dérivée de r/I², avec I′ = 4mr :
  
  $\frac{d}{d r} \frac{r}{I ^{2}} = \frac{I - 2 r I ^{'}}{I ^{3}} = \frac{I - 8 m r ^{2}}{I ^{3}} = 0 \Rightarrow I = 8 m r^{2}$
3. Écrivez l'expression de I et résolvez pour r :
  
  $I_{b} + 2 m d^{2} + 2 m r^{2} = 8 m r^{2} \Rightarrow r^{* 2} = \frac{I _{b} + 2 m d ^{2}}{6 m} = \frac{1 . 04}{12} = 0.08667 \Rightarrow r^{*} = 0.2944 m$
4. Remplacez r* dans I et dans la traction :
  
  $I (r^{*}) = 8 \times 2 \times 0.08667 = 1.3867 kg m^{2} F (r^{*}) = \frac{4 \times 22 . 6 2 ^{2} \times 0 . 2944}{1 . 386 7 ^{2}} = 313.3 N$
Réponse

La traction est maximale lorsque les mains se trouvent à 0,2944 m de l'axe : 313,3 N sur les deux mains, 156,7 N chacune, soit environ le poids d'une masse de 16 kg. Plus près de l'axe, la rotation continue d'augmenter, mais r diminue plus vite que ω² ne croît, et les 9 derniers centimètres exigent moins de traction.

$r^{*} = 0.2944 m : F_{m a x} = 313.3 N = 2 \times 156.7 N (\approx 16 kg a hand)$

Parcours

Rotation et moment cinétique

Références (3)

Conservation of angular momentum when the moment of inertia changes, and the skater's kinetic energy rising by I/I′ because of the work she does pulling her arms in, the page's first two claims: W. Moebs, S. J. Ling and J. Sanny, University Physics Volume 1, OpenStax, Houston, 2016. Section 11.3, "Conservation of Angular Momentum".
The falling cat, which turns over with no angular momentum, given a dynamical explanation: T. R. Kane and M. P. Scher, "A dynamical explanation of the falling cat phenomenon", International Journal of Solids and Structures 5(7), 663–670, 1969.
A person turning themselves round by moving their limbs, the page's third claim in a human body: T. R. Kane and M. P. Scher, "Human self-rotation by means of limb movements", Journal of Biomechanics 3(1), 39–49, 1970.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.