Gyroscope

Lancez la rotation de la roue, choisissez l'angle de relâchement de son axe et décidez de lui donner ou non une impulsion latérale au départ. La page intègre le mouvement sous vos yeux. Elle affiche la hauteur de chute de la roue, sa vitesse de rotation et l'écart entre la formule du manuel et la réalité.

Exemple résolu — Gyroscope

Moment d'inertie selon l'axe	0,180 kg·m²
Inertie par rapport au pivot	0,170 kg·m²
Moment cinétique de rotation	11,31 kg·m²/s
Couple du poids sur le pivot	3,923 N·m
Vitesse constante (formule)	0,3468 rad/s
Un tour à cette vitesse	18,12 s
Vitesse simulée (39 cycles)	0,3468 rad/s
Écart avec la formule	−0,005%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Gyroscope

Dans ce contexte, un gyroscope est une roue en rotation dont l'axe repose sur un pivot fixe à l'une de ses extrémités. Lorsque l'axe est à l'horizontale, son poids exerce un couple τ = mgl par rapport au pivot. Ce couple est horizontal et perpendiculaire à l'axe. Le couple étant le taux de variation du moment cinétique, le moment cinétique de rotation L = I₃ω₃ pivote latéralement au lieu de s'incliner vers le bas. Dans une précession constante, l'axe tourne autour de la verticale à Ω = mgl/L. Lâché sans vitesse initiale, il chute d'abord légèrement puis subit une nutation. Il oscille entre sa hauteur de départ et un point bas situé à environ 2I₁mgl/L² radians plus bas, environ L/(2πI₁) fois par seconde.

Ce que signifie chaque symbole

L: moment cinétique de la rotation autour de l'axe, I₃ω₃
Ω: vitesse de précession constante, mgl/L, la vitesse à laquelle l'axe tourne autour de la verticale
I_3: moment d'inertie par rapport à l'axe ; mR² pour un cerceau
I_1: moment d'inertie par rapport à un axe passant par le pivot et perpendiculaire à l'axe de rotation, ml² + ½mR²
l: distance du pivot au centre de la roue
k: vitesse de rotation latérale au relâchement, en unités de Ω

Suppose: Nous supposons une roue rigide assimilée à un cerceau dont toute la masse est concentrée sur la jante. L'axe est léger et repose sur un pivot ponctuel sans frottement. La gravité standard est de 9,80665 m/s². Il n'y a ni air ni frottement d'aucune sorte. L'énergie, le moment cinétique autour de la verticale et le moment cinétique autour de l'axe sont donc tous conservés. Le tableau des résultats indique avec quelle précision l'intégrateur parvient à les maintenir.
Ne tient plus quand: Un véritable pivot présente des frottements qui amortissent la nutation. La roue adopte alors une précession fluide, légèrement en dessous de sa position de relâchement. Le frottement des roulements ralentit également la rotation. À mesure que L diminue, la précession accélère et la chute s'accentue, jusqu'à ce que la roue bascule complètement.

Une fois lâchée, une roue en rotation chute avant de pivoter 🖖

Cliquez sur Lâchée à 10 tr/s et observez le deuxième panneau. Pivoter latéralement implique que le centre de la roue se déplace. Cette énergie cinétique doit bien venir de quelque part. La roue ne peut donc pas commencer sa précession dès l'instant où vous la lâchez. Elle tombe d'abord. L'axe s'incline de 0,597° et son centre descend de 2,09 mm. Au point le plus bas de la chute, la vitesse latérale atteint 0,6937 rad/s, soit le double de sa moyenne. Elle remonte ensuite à la hauteur à laquelle elle a été lâchée. Le mouvement latéral s'y arrête net et le cycle recommence. L'extrémité de l'axe dessine ainsi une série de points de rebroussement, à raison de 10,59 par seconde. Les notes de cours de dynamique du MIT de Peraire et Widnall qualifient ce mouvement de cuspidal. Les cours de Cambridge de David Tong le décrivent exactement comme le comportement d'une toupie que l'on fait tourner puis que l'on lâche. Une chute aussi faible est difficile à percevoir à l'œil nu. Le frottement d'un véritable pivot amortit rapidement la nutation, ce qui donne l'impression qu'une roue de démonstration flotte dans l'air. L'ombre grise représente la même roue sans rotation, pendante à la verticale après 0,39 s.

Faites-la tourner deux fois plus vite, elle pivotera deux fois plus lentement 🖖

Le couple du poids par rapport au pivot est de 3,923 N·m lorsque l'axe est à l'horizontale. Il modifie L de 3,923 kg·m²/s à chaque seconde, toujours latéralement. Plus L est grand, plus il faut de temps pour le faire tourner. La vitesse de rotation est donc Ω = mgl/L. Cela correspond à un tour en 9,06, 18,12 et 36,23 s pour des rotations de 5, 10 et 20 tr/s. La chute est proportionnelle à 1/L², elle est divisée par quatre à chaque fois que la vitesse double. La simulation donne 2,386°, 0,597° et 0,149°. La formule Ω = mgl/L considère que L est aligné avec l'axe. C'est vrai uniquement tant que le moment cinétique de rotation est immense par rapport à celui qu'ajoute le mouvement latéral. Le tableau montre cette évolution. La roue simulée tourne 0,087 % plus lentement que la formule à 5 tr/s, 3,026 % à 2 tr/s et 21,481 % à 1 tr/s. À cette dernière vitesse, la roue plonge de 39,013° et se comporte davantage comme un pendule en torsion que comme un gyroscope.

Poussez l'axe latéralement et la roue s'élève 🖖

Une impulsion sur l'extrémité de l'axe correspond à un couple. Tout comme pour le poids, l'extrémité de L se déplace dans la direction du couple et non dans celle de l'impulsion. Une impulsion dans le sens de rotation actuel de la roue génère un couple vers le haut, ce qui fait monter l'axe. Cliquez sur Poussée à 2Ω. Lâchée en pivotant déjà au double de la vitesse constante, l'axe s'élève de 0,597°. C'est exactement la distance de chute de la roue non poussée. Sa vitesse de rotation moyenne reste de 0,3468 rad/s. Retenez-la avec une poussée de −1 et elle chutera de 1,195°, soit le double. Cliquez sur Lâchée à la vitesse Ω. Vous ne verrez aucune chute ni nutation. Pour un axe horizontal, une précession constante exactement à mgl/L est en effet une solution des équations complètes, quelle que soit la rotation. Réglez la poussée sur 1 et lisez le tableau. À 1 tr/s, où le relâchement sans vitesse initiale présentait une erreur de 21,481 %, la roue tourne désormais à 3,4684 rad/s. C'est exactement le résultat de la formule. L'erreur à faible rotation est le prix à payer lorsque l'on lâche la roue sans vitesse initiale. Les notes de Tong soulignent qu'il faut exactement la bonne poussée pour qu'une toupie effectue une précession sans osciller.

Problème entièrement résolu

Que supporte le pivot et à quelle vitesse la roue doit-elle tourner ? 5 étapes
La roue tourne à 10 tr/s avec son axe à l'horizontale, dans une précession constante. Quelle force le pivot exerce-t-il sur l'axe, vers le haut et latéralement ? Quelle vitesse de rotation maintiendrait la chute sous les 0,1° lors d'un relâchement sans vitesse initiale ? Cliquez sur Lâchée à 10 tr/s pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le moment cinétique de rotation et la vitesse constante sont affichés sur la page :
  
  $L = I_{3} ω_{3} = 0.180 \times 2 π \times 10 = 11.31 kg m^{2} /s Ω = \frac{m g l}{L} = \frac{3 . 923}{11 . 31} = 0.3468 rad/s$
2. Dans une précession constante avec l'axe à l'horizontale, le centre conserve la même hauteur. L'accélération verticale est donc nulle, et le pivot pousse vers le haut avec une force qui compense exactement le poids. La rotation n'en absorbe aucune partie :
  
  $N_{z} = m g = 2 \times 9.80665 = 19.61 N$
3. Le centre décrit un cercle de rayon l à la vitesse Ω. Le pivot doit donc également le pousser vers le support :
  
  $N_{h} = m l Ω^{2} = 2 \times 0.2 \times 0.346 8^{2} = 0.0481 N$
4. Pour la deuxième question, inversez l'estimation de la chute pour une toupie rapide, avec δ = 0,1° = 0,001745 rad :
  
  $δ = \frac{2 I _{1} m g l}{L ^{2}} \Rightarrow L \geq \frac{2 I _{1} m g l}{δ} = \frac{2 \times 0 . 170 \times 3 . 923}{0 . 001745} = 27.64 kg m^{2} /s$
5. et divisez par I₃ ainsi que par 2π :
  
  $ω_{3} = \frac{27 . 64}{0 . 180} = 153.6 rad/s = \frac{153 . 6}{2 π} rev/s = 24.44 rev/s$
Réponse

Le pivot supporte 19,61 N vers le haut, soit le poids total de la roue, et 0,0481 N latéralement vers le support. Cela représente moins d'un quart de pour cent du poids. La rotation ne rend pas la roue plus légère. Pour maintenir la chute sous les 0,1°, il faut atteindre 24,44 tr/s. La résolution exacte de l'équation d'énergie à cette vitesse donne une chute de 0,0999997°. L'estimation y est donc précise à environ 2,5 parties par million.

$N_{z} = 19.61 N, N_{h} = 0.0481 N, f \geq 24.44 rev/s (exact drop 0.099999 7^{\circ})$

Parcours

Rotation et moment cinétique

Références (2)

The heavy symmetric top from its Lagrangian: the two conserved momenta and the energy, the three kinds of nutation, why a top that is spun and simply let go falls first and traces cusps, and why precessing without bobbing needs exactly the right push: D. Tong, "Classical Dynamics", lecture notes for a final-year undergraduate course, University of Cambridge, chapter 3 "The Motion of Rigid Bodies", section 3.6 "The Heavy Symmetric Top".
Steady precession from Euler's equations in Euler angles, the gyroscopic limit in which the precession rate is the weight's moment over the spin angular momentum, and the names unidirectional, looping and cuspidal for the three kinds of unsteady motion: J. Peraire and S. Widnall, "Lecture L30 - 3D Rigid Body Dynamics: Tops and Gyroscopes", 16.07 Dynamics, MIT OpenCourseWare, Fall 2009.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.