Torsion d'un arbre : arbres pleins et creux

Choisissez un arbre, plein ou creux, et ce qu'il doit transmettre : une puissance à une certaine vitesse, ou un couple. La page calcule la contrainte de cisaillement, la torsion et le coefficient de sécurité. Elle peut aussi dimensionner le plus petit arbre de la section choisie capable de faire le travail. Le tableau sous le dessin effectue les calculs.

Exemple résolu — Torsion d'un arbre : arbres pleins et creux

Vitesse angulaire	314,2 rad/s
Couple	477,5 N·m
Diamètre intérieur	72,39 mm
Moment quadratique polaire	614 000 mm⁴
Cisaillement maximal	29,63 MPa
Cisaillement à l'alésage	28,15 MPa
Angle de torsion	0,835°
Torsion par mètre	0,557°/m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Torsion d'un arbre : arbres pleins et creux

Un arbre transmettant un couple T subit une torsion. La contrainte de cisaillement croît proportionnellement au rayon, τ = T r ÷ J, et atteint son maximum à la surface. J représente le moment quadratique polaire, J = π(D⁴ − dᵢ⁴) ÷ 32, qui détermine la part de la section située loin de l'axe. L'arbre se tord d'un angle φ = T L ÷ (G J), où G est le module de cisaillement. Un arbre tournant à la vitesse angulaire ω transmet une puissance P = T ω.

Ce que signifie chaque symbole

T: le couple, en N·m. À partir d'une puissance et d'une vitesse, T = P ÷ ω
J: le moment quadratique polaire, en m⁴. La puissance quatrième du diamètre explique pourquoi une légère augmentation du diamètre apporte tant
τ: la contrainte de cisaillement, nulle sur l'axe et maximale à la surface
φ: l'angle de torsion, en radians. Proportionnel à la longueur
G: le module de cisaillement, la raideur du matériau au cisaillement. Environ 80 GPa pour l'acier et 26 GPa pour l'aluminium

Le centre d'un arbre ne porte presque rien 🖖

La contrainte de cisaillement dans un arbre en torsion croît proportionnellement à la distance du centre : nulle sur l'axe, maximale à la surface. La moitié intérieure du rayon ne transmet qu'un seizième du couple tout en contenant un quart du métal. Retirez donc le centre. Cliquez sur Dimensionner arbre creux : pour les mêmes 150 kW à 3 000 tr/min, un arbre plein nécessite 32,30 mm. Un arbre creux dont l'alésage fait 80 % du diamètre nécessite 38,50 mm, pour seulement 51,2 % de la masse du premier. Le graphique illustre l'ensemble du compromis. À diamètre extérieur identique, un alésage de 80 % conserve 59,0 % de la capacité en couple pour 36,0 % de la masse. L'arbre de transmission d'une voiture est un tube large et fin pour une raison connexe que cette page ne calcule pas. Il doit également être rigide en flexion, sous peine de tournoyer vu sa longueur et sa vitesse. Or, un tube large offre la plus grande raideur pour son poids.

Faites tourner un arbre dix fois plus vite et il peut transmettre dix fois plus de puissance 🖖

La puissance est le produit du couple par la vitesse angulaire. Pour un arbre de taille donnée, le couple est plafonné par la contrainte que l'acier peut supporter. La puissance qu'il peut transmettre augmente donc proportionnellement à sa vitesse de rotation. Cliquez sur Arbre auto, 3 000 tr/min, puis sur Même puiss., 300 tr/min : les mêmes 150 kW à un dixième de la vitesse exigent dix fois le couple. La contrainte grimpe à 296,29 MPa et le coefficient de sécurité tombe de 4,87 à 0,49. Pour ramener la contrainte et le facteur de conception à leur niveau initial, l'arbre doit être plus épais de la racine cubique de dix, soit 2,15 fois le diamètre. L'Arbre d'hélice de navire représente l'extrême. Ses 20 MW à 90 tr/min sont transmis par une barre pleine de 650 mm de diamètre, alors que la résistance seule se contenterait de 531 mm. Les arbres réels sont aussi dimensionnés pour la flexion, la fatigue et les vibrations. C'est également pourquoi l'arbre de sortie d'un réducteur, qui tourne lentement, est généralement le plus épais du mécanisme.

Tordre c'est cisailler, et le cisaillement est une traction à 45° 🖖

Chaque point à la surface d'un arbre en torsion subit un cisaillement pur. Le tableau de résultats montre ce que cela signifie à 45° de l'axe : une contrainte principale de +τ et une de −τ, de même valeur. Suivez le lien sous le tableau pour observer cet état dans le cercle de Mohr. Ce même fait détermine l'endroit où un arbre se rompt. L'acier doux, comme tout métal ductile, cède par cisaillement, à travers la section. Un matériau fragile comme la fonte cède par traction, le long de l'hélice à 45°. Lorsque la raideur importe plus que la résistance, le métal plus léger peut l'emporter. Cliquez sur Aluminium, même raideur et une barre de 52,98 mm se tord autant que celle en acier de 40 mm pour 60,3 % de sa masse.

Problème entièrement résolu

Dimensionner un arbre d'entraînement, plein et creux 5 étapes
Un arbre en acier doit transmettre 150 kW à 3 000 tr/min avec un facteur de conception de 2. L'acier plastifie à 250 MPa en traction. Trouvez le plus petit diamètre plein, le plus petit diamètre extérieur creux dont l'alésage fait 80 % du diamètre, et comparez la masse de l'arbre creux à celle de l'arbre plein. Cliquez sur Dimensionner arbre creux pour vérifier.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le couple se déduit de la puissance et de la vitesse angulaire :
  
  $T = \frac{P}{ω} = \frac{150 000}{2 π \cdot 3000/60} = 477.5 N m$
2. La contrainte de cisaillement admissible correspond à la limite élastique au cisaillement, soit la limite en traction ÷ √3, divisée par le facteur de conception :
  
  $τ_{allow} = \frac{σ _{y}}{3 n _{d}} = \frac{250}{3 \cdot 2} = 72.17 MPa$
3. Un arbre plein atteint cette contrainte à sa surface lorsque :
  
  $d = 3 \frac{16 T}{π τ _{allow}} = 3 \frac{16 \cdot 477 . 5}{π \cdot 72 . 17 \times 1 0 ^{6}} = 32.30 mm$
4. Un arbre creux avec un alésage de 0,8 D possède 1 − 0,8⁴ du J de l'arbre plein à D égal. Son diamètre extérieur est donc le diamètre de l'arbre plein divisé par la racine cubique de 1 − 0,8⁴ :
  
  $D = \frac{d}{3 1 - 0 . 8 ^{4}} = \frac{32 . 30}{3 0 . 5904} = 38.50 mm, d_{i} = 0.8 D = 30.80 mm$
5. La masse est proportionnelle à l'aire de la section, le rapport des deux masses est donc :
  
  $\frac{m _{hollow}}{m _{solid}} = (1 - 0 . 8^{2}) (\frac{38 . 50}{32 . 30})^{2} = 0.36 \cdot 1.4208 = 51 . 2%$
Réponse

L'arbre plein requiert 32,30 mm et l'arbre creux 38,50 mm à l'extérieur pour 30,80 mm à l'intérieur. L'arbre creux pèse 51,2 % de la masse de l'arbre plein pour une résistance strictement identique. Il est 19 % plus large, ce qui représente le prix à payer. C'est la raison pour laquelle les arbres creux sont privilégiés partout où le poids importe plus que l'encombrement.

$d = 32.30 mm, D = 38.50 mm, 51 . 2%$

Parcours

Le cheminement des charges

Références (1)

Where the four materials' modulus and yield figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specifications: EN 10025 / ASTM A36 for mild steel, AISI 4140, 6061-T6 aluminium and Ti-6Al-4V.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.