Simulateur de rapports et de vitesses d'engrenages

pourquoi l'une de ces roues laisse le rapport intact, alors qu'une autre dicte tout

Exemple résolu — Simulateur de rapports et de vitesses d'engrenages

Rapport global	3,00:1
Vitesse de sortie (tr/min)	400,0 RPM
Couple de sortie	30,0 N·m
Roue 1 (N1)	12 dents
Roue 2 (N2)	36 dents
Roue 3 (N3)	24 dents
Roue 4 (N4)	36 dents
Vitesse d'entrée (tr/min)	1 200 RPM

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Les roues centrales inversent le sens et c'est tout 🖖

Dans un train simple, le rapport s'obtient en divisant la dernière denture par la première. Tous les engrenages intermédiaires s'annulent. Le préréglage des roues folles passe de 12 à 36 à travers des roues de 36 et 24, pour aboutir à un rapport de 3,00:1. Remplacez ces deux éléments par 20 et 90, ou 100 et 8, ou encore 12 et 12. Le panneau affichera invariablement 3,00:1 et 400 tr/min. Une roue folle trouve sa place en inversant la rotation ou en franchissant l'espace entre deux arbres. C'est une vraie fonction, mais ce n'est pas un rapport de transmission.

C'est la composition qui multiplie véritablement 🖖

Solidarisez une seconde roue dentée au même arbre : les rapports des étages se multiplient au lieu de s’annuler. Dans le préréglage composé, les roues comptent 12, 36, 12 et 48 dents ; les rapports successifs sont 3,00 puis 4,00, soit 12,000 au total. Le choix des roues compte autant que leur agencement. Si vous composez les 12, 36, 24 et 36 dents du train simple, vous obtenez 4,50, car les deux dernières roues ont 24 et 36 dents, et non 12 et 48. Un train composé permet d’obtenir un grand rapport de transmission dans un espace réduit. Il existe d’autres solutions, comme la vis sans fin ou le train épicycloïdal.

Vitesse et couple s'échangent, la puissance demeure 🖖

Un rapport de 12 divise la vitesse par 12 et multiplie le couple par 12 : à l’entrée, 1 200 tr/min et 10 N·m ; à la sortie, 100 tr/min et 120 N·m. Le produit vaut 12 000 des deux côtés, quels que soient les nombres de dents choisis. Faites fonctionner le mécanisme en sens inverse avec le préréglage de surmultiplication : le même calcul donne 4 500 tr/min sous 11,1 N·m à partir de 500 tr/min sous 100 N·m. Les engrenages échangent vitesse angulaire et couple, sans jamais créer de puissance.

Problèmes entièrement résolus

Les deux roues du milieu qui ne changent absolument rien 7 étapes
Chargez Train simple à roues intermédiaires : 12, 36, 24 et 36 dents, avec une entrée à 1 200 tr/min sous 10 N·m. Le panneau indique un rapport de 3,00:1. Parmi ces quatre nombres de dents, deux n’ont aucune incidence sur ce rapport. Démontrez lesquels, puis changez l’agencement des étages pour découvrir ce que peuvent réellement produire ces mêmes quatre roues.
1. Une règle unique s'applique à chaque engrenement : là où deux roues se touchent, les dents passent le point de contact au même rythme, de sorte que la plus petite roue tourne plus vite en proportion exacte du nombre de dents.
  
  $\frac{ω _{1}}{ω _{2}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} at every mesh$
2. Un train simple est une suite de trois engrenements, on multiplie donc les trois.
  
  $\frac{ω _{in}}{ω _{out}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} \cdot \frac{N _{3}}{N _{2}} \cdot \frac{N _{4}}{N _{3}}$
3. En insérant les nombres, chaque étage semble compter : 3,00, puis 0,667, puis 1,50.
  
  $= \frac{36}{12} \cdot \frac{24}{36} \cdot \frac{36}{24} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 3.000$
4. Simplifions maintenant. Chaque nombre intermédiaire apparaît une fois au numérateur et une fois au dénominateur, si bien que le produit complet se réduit au dernier sur le premier, et les roues situées entre eux n'y laissent aucune trace.
  
  $\frac{N _{2}}{N _{1}} \cdot \frac{N _{3}}{N _{2}} \cdot \frac{N _{4}}{N _{3}} = \frac{N _{4}}{N _{1}} = \frac{36}{12} = 3$
5. Le reste découle du seul rapport. La vitesse se divise, le couple se multiplie.
  
  $ω_{out} = \frac{1200}{3} = 400 rpm, τ_{out} = 10 \times 3 = 30 N m$
6. Et le produit reste inchangé. Les engrenages transfèrent la puissance entre vitesse et force ; ils n'en créent jamais, et l'outil respecte cela quel que soit le réglage.
  
  $ω τ (rpm \cdot N m) : 1200 \times 10 = 400 \times 30 = 12, 000$
7. Pour que les engrenages du milieu interviennent dans le calcul, montez-en deux sur le même arbre : ils seront ainsi solidaires. Les rapports des étages se multiplient alors au lieu de s’annuler, et les mêmes quatre nombres de dents donnent 4,50 au lieu de 3,00.
  
  $compounded instead: \frac{36}{12} \cdot \frac{36}{24} = 3.00 \times 1.50 = 4.50$
Réponse

Le rapport vaut 36/12 = 3 ; il est affiché sous la forme 3,00:1. Les engrenages 2 et 3 n’y contribuent pas. Même en essayant toutes les paires de pignons intermédiaires proposées par l’outil, le rapport ne varie jamais.

Un pignon intermédiaire n’est pas inutile ; simplement, il ne modifie pas le rapport de transmission. Il inverse le sens de rotation de la sortie, comme le montre l’alternance des flèches le long du train d’engrenages, et permet de transmettre le mouvement entre deux axes éloignés sans allonger la chaîne ni augmenter la taille du couple d’engrenages. En revanche, il ne peut pas modifier la vitesse de rotation du dernier arbre. Lorsqu’il faut obtenir un rapport élevé dans un espace réduit, on utilise donc un montage composé : changez l’agencement des étages et, avec exactement les mêmes nombres de dents, vous obtenez 3,00 × 1,50 = 4,50, soit 266,7 tr/min et 45,0 N·m. C’est ce qui distingue un réducteur d’une simple file d’engrenages.
L'arbre au milieu d'un réducteur à deux étages 6 étapes
Chargez Multiplicateur (12:1) : 12, 36, 12 et 48 dents, une entrée à 1 200 tr/min sous 10 N·m, une sortie à 100 tr/min et 120 N·m. Entre ces deux arbres s'en trouve un troisième dont le panneau ne parle jamais. Calculez ce qu'il porte, puis décidez lequel des deux étages doit assurer la plus grande réduction.
1. Les deux étages se multiplient parce que les roues 2 et 3 sont calées sur un même arbre et ne peuvent pas tourner indépendamment l'une de l'autre. Trois fois quatre font douze, et les cartes de vitesse et de couple découlent de ce seul nombre.
  
  $i = \frac{N _{2}}{N _{1}} \cdot \frac{N _{4}}{N _{3}} = \frac{36}{12} \cdot \frac{48}{12} = 3.00 \times 4.00 = 12.00 ⟹ 100.0 rpm, 120.0 N m$
2. C'est sur cet arbre que le premier étage s'achève et que le second commence. Il tourne à la vitesse d'entrée divisée par le premier rapport et porte le couple d'entrée multiplié par ce même rapport.
  
  $n_{mid} = \frac{n _{in}}{r _{1}} = \frac{1200}{3.00} = 400 rpm, T_{mid} = T_{in} r_{1} = 10 \times 3.00 = 30 N m$
3. Ce qui laisse le produit intact une deuxième fois. Le panneau montre déjà qu'il se conserve entre l'entrée et la sortie ; il se conserve aussi au milieu, car un train d'engrenages n'a nulle part où stocker quoi que ce soit.
  
  $n T (rpm \cdot N m) : 1200 \times 10 = 400 \times 30 = 100 \times 120 = 12, 000$
4. Intervertissez maintenant les étages : quatre d'abord, trois ensuite. Le rapport global reste 12,00:1 et la sortie reste à 100 tr/min sous 120 N·m ; rien de ce qu'un lecteur voit sur la page n'a donc changé. L'arbre intermédiaire, lui, a changé : il tourne plus lentement et porte un tiers de couple en plus.
  
  $stages swapped (12/48/12/36) : i = 4.00 \times 3.00 = 12.00, n_{mid} = 300 rpm, T_{mid} = 40 N m$
5. L'énoncé général est court. Le premier rapport fixe entièrement l'arbre intermédiaire, et les deux rapports doivent se multiplier pour donner le rapport global que vous vouliez ; le couple intermédiaire se place donc quelque part entre celui de l'entrée et celui de la sortie, jamais en dehors.
  
  $T_{mid} = T_{in} r_{1}, n_{mid} = \frac{n _{in}}{r _{1}}, r_{1} r_{2} = i fixed ⟹ T_{in} \leq T_{mid} \leq T_{out}$
6. Le choix mérite d'être fait, car un arbre se dimensionne au couple et non à la vitesse. À contrainte de cisaillement admissible fixée, le diamètre varie comme la racine cubique du couple.
  
  $d \propto T^{1/3} (torsion, one allowable shear stress) : (\frac{40}{30})^{1/3} = 1.10$
Réponse

400 tr/min sous 30 N·m, soit 12 000 tr/min·N·m, le même produit qu'aux deux extrémités.

Placez la petite réduction en premier et l'arbre intermédiaire tourne vite en étant peu chargé ; placez la grande en premier et il tourne lentement en étant lourdement chargé. L'agencement 3-puis-4 de ce préréglage donne 30 N·m, l'agencement 4-puis-3 en donne 40, et la règle de la racine cubique traduit cela par environ 10 % sur le diamètre de l'arbre et 21 % sur son poids. L'arbre rapide a ses propres coûts : ses roulements tournent à 400 tr/min plutôt qu'à 300, et ses dentures engrènent à une vitesse au primitif plus élevée. La règle est donc un point de départ, pas un verdict. Ce qui la rend facile à manquer, c'est que le rapport global, la vitesse de sortie, le couple de sortie et le sens de rotation sont identiques dans les deux cas. Toutes les cartes de la page sont aveugles à cette décision.

$n_{mid} T_{mid} = n_{in} T_{in} always; min T_{mid} ⟺ min r_{1} (small stage first)$

Parcours

Machines simples : échanger la force contre la distance

Mène à screw-thread

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

Train à roues folles - De douze dents à trente-six via deux roues folles : le rapport est de 3,00:1. Les deux roues centrales pourraient être presque n'importe quoi sans le modifier.
Réducteur (4:1) - Une réduction de quatre pour un : 1 800 tr/min en entrée, 450 en sortie, et le couple grimpe de 15 à 60 N·m.
Multiplicateur (12:1) - Roues de 12, 36, 12 et 48 dents, en train composé : 3,00 × 4,00 = 12,000, d’où une sortie à 100 tr/min sous 120 N·m.
Train surmultiplicateur - Une composition dans l'autre sens : 500 tr/min deviennent 4 500, et 100 N·m passent à 11,1. La puissance s'établit à 50 000 des deux côtés.