Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences

Plan incliné, Vis et Coin

le même triangle, enroulé autour d'un cylindre ou enfoncé dans une bûche

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Une rampe plus douce gagne toujours, et la victoire coûte toujours plus cher 🖖

L'avantage idéal vaut 1/sin θ. Sur le papier, une pente plus douce est donc préférable : à 15°, la géométrie propose 3,86 contre 1,41 à 45°. Le frottement en récupère toutefois la majeure partie. Maintenez μ à 0,2. Vous obtenez en réalité 2,21 contre 1,18. Adoucir la pente vous fait ainsi gagner 1,03 d'avantage réel là où la géométrie en promettait 2,45, soit 42 % de cette promesse. Balayer l'ensemble des angles ne révèle aucun point d'inflexion : 5° donne un résultat encore meilleur avec 3,49, et descendre plus bas l'améliore de nouveau. Le prix à payer est le rendement. Celui-ci chute à 30,4 %, et vous devez pousser sur 11,47 mètres pour chaque mètre d'élévation.

Une vis est cette même rampe enroulée 🖖

Déroulez un tour de filetage pour obtenir un triangle. Sa hauteur correspond au pas, sa base à la circonférence. Le préréglage de la vis standard comporte un pas de 3 mm sur un rayon de 10 mm. Sa pente s'élève à 2,734° pour un avantage idéal de 20,94. Aucune rampe que vous pourriez gravir ne vous donnerait ce chiffre. Le prix se paie sur la même ligne : avec un rendement de 24,0 %, les trois quarts du travail s'évanouissent dans le filetage. Les vis servent à exercer une force, jamais à déplacer des objets.

En dessous d'un certain angle, l'objet reste en place 🖖

Une charge tient sur une pente lorsque tan θ ne dépasse pas μ. Elle glisse en arrière à l'instant où cette condition n'est plus remplie. À μ = 0,2, la limite se situe à 11,31°. La charge tient à 11,3°, puis elle glisse à 11,4°. Cette même condition rend une vis autobloquante, ce qui explique pourquoi un boulon reste serré sans cliquet ni pignon. Une machine incapable de restituer le travail fourni est une machine qui n'a pas besoin de frein.

Quarante fois le poids, et pas un chiffre ne bouge 🖖

Faites glisser la charge de 50 N à 2 000 N et observez le verdict au-dessus de la rampe. Il ne change pas. L'avantage non plus : à 20° avec μ = 0.36, l'outil affiche 1,4699 pour une caisse de 50 N et 1,4699 pour une de 2 000 N. Le poids intervient deux fois dans le problème et s'élimine. Il entraîne la charge vers le bas par mg sin θ, et la plaque contre la rampe par mg cos θ, la force avec laquelle le frottement doit composer. Doublez la masse et vous doublez ces deux composantes. La condition de maintien est donc tan θ ≤ μ, où le paramètre m ne figure nulle part. Un caillou et un piano lâchés sur la même pente au même instant restent au même niveau jusqu'en bas. L'effort, lui, est bien proportionnel : 34,02 N contre 1 360,62 N, soit exactement quarante fois plus. La rampe propose les mêmes conditions à chaque charge et n'a aucune opinion sur son poids.

Problème entièrement résolu

  1. Dérouler un tour de filetage pour former un triangle 7 étapes

    Chargez la Vis standard : un pas de 3 mm sur un rayon de 10 mm, une charge de 1 000 N, μ = 0,15. Le panneau indique un avantage idéal de 20,94 et un rendement de 24,0 %. Ces deux valeurs proviennent du même triangle. Trouvez-le.

    1. Prenez un tour complet du filetage et déroulez-le. Le filet s'élève du pas pendant qu'il effectue un tour d'axe. Il forme ainsi l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont la hauteur correspond au pas et la base à la circonférence. Une vis est un plan incliné enroulé autour d'un cylindre. Voici cette même phrase traduite en arithmétique.

    2. La pente de ce triangle correspond à l'angle d'hélice. Elle fait moins de trois degrés, ce qui explique pourquoi une vis ne donne pas l'impression d'être une rampe, même si c'en est une.

    3. L'avantage idéal est le rapport entre la distance que vous parcourez et celle parcourue par la charge : un tour de circonférence pour avancer d'un pas.

    4. Le frottement intervient sous la forme d'un angle qui lui est propre. L'angle de frottement est la pente à laquelle une surface commence tout juste à glisser. L'ajouter à l'angle d'hélice constitue la méthode classique pour intégrer le frottement dans le calcul d'une vis.

    5. L'effort en découle directement. Au lieu des 1 000 divisés par 20,94, soit 47,8 N, il vous en faut quatre fois plus.

    6. L’avantage mécanique réel est la charge divisée par cet effort : 1 000/199,2 = 5,02. Le rendement est donc le rapport entre l’avantage obtenu et celui que permettait la géométrie.

    7. Cette même comparaison, écrite avec une tangente plutôt qu'un angle, vous indique si la vis reste en place sans aucune intervention.

    Réponse

    Un avantage idéal de 20,94 tiré d'un triangle de 3 mm de haut sur 62,83 mm de long. Le rendement s'établit à 24,0 % car le frottement ajoute 8,531° à une pente qui ne mesurait initialement que 2,734°.

    Les trois quarts du travail se perdent dans le filetage. Il ne s'agit pas d'un défaut que l'on tolère, mais bien de la caractéristique recherchée. Une machine aussi incapable de restituer le travail ne peut pas être repoussée par sa propre charge. C'est très exactement ce que signifie tan λ ≤ μ : 0,0477 contre 0,15. Le système est autobloquant avec une large marge. Voilà pourquoi un boulon reste serré sans cliquet, sans pignon ni ressort, et pourquoi un cric de voiture maintient une tonne en l'air pendant que vous lâchez la poignée. Passez en mode Rampe. Essayez de trouver un angle qui soit autobloquant tout en offrant un avantage de 20. Il n'en existe aucun, car sur une rampe ouverte, ces deux conditions tirent dans des directions opposées. Enrouler le triangle autour d'un cylindre permet à la vis de cumuler les deux.

Parcours

Machines simples : échanger la force contre la distance

Mène à Trains d'engrenages le frottement exprimé sous forme d'angle plutôt que de pourcentage.

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Exemples de problèmes

  • Rampe douce (15°) - Une rampe de 15° avec μ = 0,2 : 500 N poussés par 226,0 N. La géométrie offre 3,86 et le frottement ramène ce chiffre à 2,21, pour un rendement de 57,3 %.
  • Rampe raide (45°) - Une rampe de 45° avec μ = 0,3 : 459,6 N de poussée pour un avantage dérisoire de 1,09. C'est toutefois le réglage le plus efficace de cet exemple, avec 76,9 %.
  • Vis standard - Un pas de 3 mm sur un rayon de 10 mm : une pente de 2,734°, un avantage idéal de 20,94 et un rendement de 24,0 %. Le système est autobloquant, comme tout boulon se doit de l'être.
  • Coin à fendre (15°) - Un coin à fendre de 15° à μ = 0,25 : 631,4 N de coup de marteau pour délivrer 800 N latéralement, avec 16,7 % de rendement. C'est la machine la moins efficace du chapitre, et pourtant elle fend la bûche.