Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences
F = ma AVEC FROTTEMENT — VA-T-IL BOUGER, ET QUEL FROTTEMENT S'APPLIQUE ?
Presque toutes les erreurs sur ce sujet arrivent avant le moindre calcul : on écrit f = μN pour un bloc qui ne bouge pas, ou l'on cherche une force pour expliquer un mouvement qui n'en demande aucune. Deux comparaisons règlent ici chaque cas. La force motrice dépasse-t-elle le plafond de frottement μN — et le bloc est-il déjà en mouvement ? Répondez à ces deux questions et l'accélération suit en une ligne.
01
Ce que vous savez: Sol horizontal, aucun frottement (μ = 0), bloc partant du repos. La force appliquée est la seule force horizontale qui agisse sur lui.
Ce qui tranche: a = F/m = 5 m/s²
Exemple résolu: m = 2 kg, F = 10 N → le plafond de frottement vaut 0 N, la force nette est donc les 10 N entiers et a = 10/2 = 5 m/s². Sur la fenêtre de 6 s de l'outil, le bloc atteint 30 m/s et parcourt 90 m.
Ouvrir ce cas: poussée sans frottement
02
Ce que vous savez: Sol horizontal, bloc au repos, surface rugueuse (μ = 0,6) et une poussée modeste. Avant toute autre chose, comparez la poussée au plafond μN.
Ce qui tranche: |F| ≤ μN ⇒ a = 0
Exemple résolu: m = 10 kg, F = 5 N, μ = 0,6 → N = 98,1 N, donc le plafond vaut μN = 58,86 N. Les 5 N n'en approchent même pas, le frottement répond par exactement −5 N, la force nette est nulle, a = 0, et après 6 s le bloc est toujours en x = 0.
Ouvrir ce cas: bloqué par le frottement
03
Ce que vous savez: Sol horizontal de nouveau, mais la poussée dépasse maintenant le plafond. Dès que le bloc glisse, le frottement cesse de s'ajuster : il se fixe à μN et pointe contre le mouvement.
Ce qui tranche: a = (F − μN)/m = 1.04
Exemple résolu: m = 5 kg, F = 15 N, μ = 0,2 → N = 49,05 N, plafond 9,81 N. Comme 15 N > 9,81 N le bloc se libère, le frottement se verrouille à 9,81 N, la force nette vaut 15 − 9,81 = 5,19 N et a = 1,038 m/s². Après 6 s : 6,23 m/s et 18,68 m.
Ouvrir ce cas: poussée avec frottement
04
Ce que vous savez: Aucune force appliquée, aucun frottement, mais le bloc voyage déjà à 6 m/s au démarrage du chronomètre.
Ce qui tranche: ∑F = 0 ⇒ a = 0, v = 6
Exemple résolu: m = 2 kg, u = 6 m/s, F = 0, μ = 0 → toutes les lignes de force affichent zéro, la force nette est nulle et a = 0. Six secondes plus tard il fait toujours 6 m/s, désormais 36 m plus loin.
Ouvrir ce cas: force nette nulle
05
Ce que vous savez: Personne ne pousse. Le bloc glisse à 8 m/s sur une surface de μ = 0,3, et le frottement est la seule force horizontale.
Ce qui tranche: a = −μg = −2.94 m/s²
Exemple résolu: m = 3 kg, u = 8 m/s, μ = 0,3 → frottement 8,83 N, a = −2,94 m/s². Il s'arrête à t = u/(μg) = 2,72 s après avoir couvert u²/(2μg) = 10,87 m, et il y reste.
Ouvrir ce cas: glissement jusqu'à l'arrêt
06
Ce que vous savez: Un bloc lâché au repos sur un plan à 20° avec μ = 0,1, et personne ne pousse. La gravité possède maintenant une composante le long de la surface, et la force normale n'est plus le poids entier.
Ce qui tranche: tan θ > μ ⇒ a = g(sin θ − μ cos θ)
Exemple résolu: m = 4 kg, θ = 20°, μ = 0,1 → N = mg cos θ = 36,87 N (et non les 39,24 N du poids), gravité le long de la pente = 13,42 N, plafond μN = 3,69 N. Comme 13,42 N > 3,69 N il glisse : a = g(sin θ − μ cos θ) = 2,43 m/s², parcourant 43,8 m vers le bas en 6 s.
Ouvrir ce cas: glisse sur une pente
Un bloc de 2 kg sur un sol horizontal, poussé avec 10 N, sur une surface ayant un coefficient de frottement de 0,2. Déterminez s'il se déplace, puis la distance parcourue en 6 s — enfin, déterminez la masse qui neutraliserait cette même poussée.
Le frottement est déterminé par la force avec laquelle les surfaces sont pressées l'une contre l'autre, et non par la force avec laquelle on les pousse. Sur un sol horizontal, cette pression correspond au poids total du bloc.
Le frottement statique n'est pas une force fixe. Il fournit la force demandée jusqu'à un plafond de μN, et ici ce plafond est nettement inférieur aux 10 N appliqués, de sorte que le bloc glisse. Tranchez cette comparaison avant de calculer la moindre accélération, car l'immobilité et le glissement obéissent à des équations différentes.
Une fois qu'il glisse, le frottement cesse de s'ajuster et prend sa valeur maximale en s'opposant au mouvement. Seul le surplus accélère la masse.
À présent, la deuxième loi remplit son unique rôle, et une accélération constante se traduit directement en déplacement. Le bloc partant du repos, la totalité des 54,684 m provient du terme d'accélération.
La masse intervient deux fois dans la réponse et avec des signes opposés : elle divise la poussée et multiplie le frottement. L'accélération diminue donc plus vite que 1/m et, contrairement à 1/m, elle s'annule pour une masse finie.
Réponse
L'outil affiche une force résultante de 6,076 N, une accélération de 3,038 m/s² et 54,684 m parcourus en 6 s. Doubler la masse à 4 kg ne divise pas l'accélération par deux : elle chute à 0,538 m/s², soit un facteur 5,6, car le frottement est passé de 3,924 N à 7,848 N alors que la poussée est restée à 10 N. À 5,097 kg, les deux forces sont égales et rien ne bouge, de sorte que chaque poussée a une masse plafond égale à F/μg. C'est pourquoi les objets lourds sont munis d'un chariot ou d'un film de graisse plutôt que d'un pousseur plus fort — μ et F se situent de part et d'autre de la même fraction, de sorte que diviser par deux le coefficient de frottement relève ce plafond exactement autant que doubler la force.