Virages relevés

Réglez le rayon du virage, son dévers, l’adhérence entre les pneus et la chaussée, la vitesse et la masse. La page décompose les forces, indique le sens du frottement et vérifie si les pneus peuvent le fournir. Elle donne aussi toute la plage de vitesses admissibles.

Exemple résolu — Virages relevés

Dévers selon la notation routière	8,00%
Angle de frottement	38,66°
Vitesse de projet, sans frottement	45,09 km/h
Vitesse minimale sans glissement	0,00 km/h
Vitesse maximale sans glissement	154,59 km/h
Accélération vers le centre	3,125 m/s²
Réaction normale de la chaussée	15 037 N
Frottement que les pneus doivent fournir	3 500 N vers le bas de la pente

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Virages relevés

Un virage relevé est un virage dont la surface est inclinée vers le centre d’un angle θ. La réaction de la chaussée sur le véhicule, toujours perpendiculaire à la surface, s’incline ainsi vers l’intérieur et fournit une partie ou la totalité de la force nécessaire au virage. À une vitesse précise, la vitesse de projet v₀ = √(r g tan θ), elle fournit toute cette force et aucun frottement n’est nécessaire. Le frottement, limité à μ fois la réaction de la chaussée, élargit cette vitesse unique en une plage : r g tan(θ − φ) ≤ v² ≤ r g tan(θ + φ), où φ = arctan μ est l’angle de frottement. La masse n’intervient dans aucune de ces expressions.

Ce que signifie chaque symbole

r: rayon du virage, mesuré horizontalement entre son centre et le véhicule
θ: angle de dévers par rapport à l’horizontale ; les ingénieurs routiers expriment tan θ en pourcentage
μ: frottement maximal que les pneus peuvent fournir, rapporté à la réaction normale de la chaussée
φ: angle de frottement, arctan μ : pente maximale sur laquelle un véhicule peut rester immobile
v_0: vitesse de projet, à laquelle le dévers assure seul le virage et le frottement est nul

Suppose: Le véhicule est assimilé à un point et suit, à vitesse constante, un cercle horizontal dans un virage de rayon et de dévers constants. L’accélération de la pesanteur vaut 9,80665 m/s². Le coefficient de frottement est le même dans toutes les directions ; les valeurs publiées proviennent de mesures de freinage avec 17 % de glissement, et l’on suppose qu’un pneu en roulement offre une adhérence latérale de même valeur. Les effets de l’air sont négligés : ni appui aérodynamique, ni traînée, ni vent traversier.
Ne tient plus quand: Un véhicule dont le centre de masse est élevé peut se renverser avant de glisser. Dans un virage relevé, cette limite dépend aussi de la largeur de la voie et du dévers ; un camion l’atteint plus tôt. Pour préserver le confort des conducteurs et conserver une marge en cas de pneus usés, les routes sont conçues avec un frottement transversal très inférieur à l’adhérence mesurée. Les ailerons d’une voiture de course la plaquent contre la chaussée avec une force proportionnelle au carré de la vitesse, ce qui relève la limite supérieure. Enfin, un véritable virage commence par une courbe de transition dont le rayon diminue progressivement, et non par un rayon unique.

Sous 45,09 km/h, le frottement pousse vers l’extérieur de ce virage 🖖

Choisissez Virage sec, 30 km/h, puis Virage sec, 90 km/h. À la vitesse de projet, soit 45,09 km/h pour un rayon de 200 m et un dévers de 8 %, le dévers assure seul le virage. La réaction de la chaussée, perpendiculaire à sa surface, est inclinée vers le centre ; sa composante horizontale fournit exactement la force m v²/r nécessaire. Le frottement est nul. À plus faible vitesse, cette composante est trop grande. Livrée à elle-même, la voiture glisserait vers le bas du dévers, à l’intérieur du virage. Le frottement la retient donc vers le haut de la pente : 654 N à 30 km/h. À plus grande vitesse, la réaction ne suffit plus et le frottement s’oriente vers le bas de la pente : 3 500 N à 90 km/h. Sur une route plane, le frottement tire bien la voiture vers l’intérieur du virage. Ici, cette représentation est fausse à toute vitesse inférieure à 45,09 km/h. Choisissez Camion 40 t, 90 km/h. Toutes les forces valent 26,67 fois celles de la voiture, mais l’adhérence nécessaire reste 0,2327, car la masse multiplie les deux membres de chaque équation. Un camion n’a pas besoin d’un dévers plus prononcé qu’une voiture. Son centre de masse est toutefois plus haut : sur chaussée sèche, un camion chargé peut se renverser avant de glisser, phénomène que cette page ne modélise pas.

Sur du verglas mouillé, une voiture arrêtée sur un dévers de 10 % glisse 🖖

Un virage relevé possède une vitesse minimale aussi bien qu’une vitesse maximale. À l’arrêt, une voiture a besoin d’un frottement mg sin θ vers le haut de la pente, tandis que la réaction normale vaut mg cos θ. Elle reste donc immobile seulement si tan θ ne dépasse pas μ. L’étude publiée en 2001 par Carl-Gustaf Wallman et Henrik Åström pour l’institut suédois de recherche routière VTI situe le coefficient du verglas mouillé entre 0,05 et 0,10. Choisissez À l’arrêt, verglas 10 % : la voiture a besoin de 0,1000 d’adhérence, le verglas n’en offre que 0,05 et elle glisse vers l’intérieur du virage. Il en va de même à toute vitesse inférieure à 35,56 km/h. Sur le deuxième graphique, la borne inférieure de la plage se détache alors de zéro. Le manuel de conception routière de l’État de Washington autorise des dévers allant jusqu’à 10 %, mais les limite à 6 % là où neige et verglas s’accumulent, car « les véhicules roulant lentement ou arrêtés dans des virages dont le dévers dépasse 6 % ont tendance à glisser vers l’intérieur ». Réglez le dévers sur 3,434°, soit 6 %. La voiture tient alors dès que l’adhérence dépasse 0,06 ; sur le pire verglas, à 0,05, elle glisse encore. Sur ce verglas, une voiture à l’arrêt ne tient que si le dévers est inférieur ou égal à 5 %.

Au-delà de 51,34° sur route sèche, aucune vitesse n’est trop élevée 🖖

Une vitesse plus élevée exige davantage de frottement, mais elle plaque aussi plus fortement la voiture contre la chaussée. Sur un fort dévers, ce deuxième effet l’emporte. Lorsque la vitesse tend vers l’infini, l’adhérence nécessaire tend vers 1/tan θ. Dès que 1/tan θ devient inférieur à μ, aucune vitesse ne dépasse les capacités de la chaussée. Sur route sèche, avec μ = 0,8, ce seuil se situe à 51,34°. Dans le tableau, la limite supérieure du virage de 200 m vaut 478,30 km/h à 45° et disparaît à 60°. À 90°, la chaussée devient un mur ; le Mur de la mort en est le cas extrême. Le frottement doit alors soutenir tout le poids. Sa valeur maximale est μ fois la réaction du mur, m v²/r : il existe donc une vitesse minimale, √(rg/μ), mais aucune limite supérieure. Pour un mur de 5 m de rayon, il faut au moins 28,18 km/h. À 40 km/h, le pilote mobilise 0,3972 de son adhérence et le mur exerce sur lui une force égale à 2,518 fois son poids.

Problème entièrement résolu

Quel est l’effet d’un virage incliné sur un avion ? 6 étapes
Un avion léger effectue un virage en palier à 100 nœuds, soit 51,44 m/s, avec une inclinaison de 60°. Déterminez le rayon du virage, la durée d’un tour complet, la force exercée par le siège sur le pilote, l’inclinaison maximale permise par une structure limitée à 3,8 g et l’évolution de la vitesse de décrochage, initialement égale à 50 nœuds. Choisissez Virage sec, 90 km/h pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Dans un virage en palier, l’avion se comporte comme la voiture sans frottement, la portance de l’aile remplaçant la réaction de la chaussée. Il vole donc toujours à sa vitesse de projet, avec tan θ = v²/(rg). Pour la chaussée de 200 m à 8 % affichée sur la page, la même équation donne 45,09 km/h :
  
  $tan θ = \frac{v _{0}^{2}}{r g} : \frac{( 12 . 53 m/s ) ^{2}}{200 \times 9 . 80665} = 0.0800 = 8 . 00% \Rightarrow v_{0} = 45.09 km/h$
2. En isolant le rayon pour une inclinaison de 60° :
  
  $r = \frac{v ^{2}}{g tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{51 . 4 4 ^{2}}{9 . 80665 \times 1 . 732} = 155.8 m$
3. À 51,44 m/s, le temps nécessaire pour parcourir ce cercle est
  
  $t = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 155 . 8}{51 . 44} = 19.03 s ω = 18.9 2^{\circ} / s$
4. La composante verticale de la portance doit soutenir seule le poids ; la portance vaut donc mg/cos θ. C’est l’équivalent de la réaction de la chaussée à la vitesse de projet, sans dépendance envers la vitesse :
  
  $L cos θ = m g \Rightarrow n = \frac{L}{m g} = \frac{1}{cos 6 0 ^{\circ}} = 2.000$
5. La limite structurelle de 3,8 g est atteinte lorsque le cosinus de l’angle d’inclinaison vaut 1/3,8. La ligne 75° du tableau indique 3,864, valeur déjà supérieure à cette limite :
  
  $\frac{1}{cos θ} = 3.8 \Rightarrow θ = arccos \frac{1}{3 . 8} = 74.7 4^{\circ} \frac{1}{cos 7 5 ^{\circ}} = 3.864$
6. Une aile décroche à un angle d’attaque donné. La vitesse à laquelle elle peut encore produire la portance requise augmente donc comme la racine carrée du facteur de charge :
  
  $v_{s}^{'} = v_{s} n = 50 kn \times 2 = 70.71 kn$
Réponse

Le cercle a un rayon de 155,8 m et se parcourt en 19,03 s. Le siège exerce sur le pilote une force égale à deux fois son poids, quelle que soit la vitesse. L’Airplane Flying Handbook de la FAA donne lui aussi un facteur de charge de 2,0 à 60° et de 1,41 à 45°. Il précise qu’un virage en palier à 75° dépasse la limite de 3,8 prévue pour un avion léger de catégorie normale ; l’inclinaison exacte correspondant à cette limite est de 74,74°. La vitesse de décrochage passe de 50 à 70,71 nœuds, valeur que le manuel arrondit à 70.

$θ = 6 0^{\circ}, 100 kn : r = 155.8 m, t = 19.03 s, n = 2.000, θ_{m a x} = 74.7 4^{\circ}, v_{s}^{'} = 70.71 kn$

Références (3)

Measured tyre-road friction by surface, from Swedish skiddometer surveys: dry bare road 0.8 to 1.0, wet 0.7 to 0.8, packed snow 0.20 to 0.30, wet black ice 0.05 to 0.10, the values behind the page's grip hint and its presets: C.-G. Wallman and H. Åström, "Friction measurement methods and the correlation between road friction and traffic safety. A literature review." VTI meddelande 911A, Swedish National Road and Transport Research Institute, Linköping, 2001, p. 36.
Why roads that see ice are banked gently: the steepest bank allowed is 10%, and where snow and ice accumulate it is limited to 6%, because slow or stopped vehicles on steeper banks slide inward: Washington State Department of Transportation, Design Manual M 22-01.23, Chapter 1250 "Cross Slope and Superelevation", section 1250.03, September 2024.
A banked aircraft's load factor depends on the bank alone, 1.41 at 45° and 2.0 at 60° for any airspeed or aeroplane, a standard-category light aircraft is built for 3.8, and the stall speed rises as the square root of the load: Federal Aviation Administration, Airplane Flying Handbook (FAA-H-8083-3C), Chapter 10 "Performance Maneuvers", section on steep turns.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.