Particules chargées dans un champ magnétique

Choisissez une particule, la tension qui l'a accélérée et l'intensité du champ qu'elle traverse. La page calcule la trajectoire circulaire, la durée d'un tour en tenant compte de la relativité, ainsi que l'effet de cette même tension et de ce même champ sur cinq autres particules.

Exemple résolu — Particules chargées dans un champ magnétique

Énergie au repos	938,272 MeV
Énergie cinétique issue de la tension	10,00 keV
Facteur de Lorentz γ	1,000011
Vitesse	1,384×10⁶ m/s
Quantité de mouvement	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Rayon du cercle	9,633 mm
Durée du tour sans relativité	43,73 ns
Durée du tour	43,73 ns

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Particules chargées dans un champ magnétique

Une charge q se déplaçant à la vitesse v à travers un champ magnétique B subit la composante magnétique de la force de Lorentz, F = q v × B. Elle est perpendiculaire à la fois à la vitesse et au champ, et sa norme est qvB quand les deux sont orthogonaux. Une force constamment perpendiculaire au mouvement ne produit aucun travail. La vitesse ne change donc jamais, seule la direction varie, décrivant ainsi un cercle. Son rayon vaut r = p/(|q|B), soit la quantité de mouvement divisée par la charge multipliée par le champ. Un tour dure T = 2πγm/(|q|B). À des vitesses bien inférieures à celle de la lumière, γ vaut 1 avec de nombreuses décimales. La durée du tour ne dépend alors plus du tout de la vitesse. Son inverse, qB/(2πm), est la fréquence cyclotron.

Ce que signifie chaque symbole

q: la charge de la particule, en coulombs : un nombre entier de charges élémentaires e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. Son signe détermine le sens de rotation
B: le champ magnétique, en teslas, identique partout où la particule passe
r: le rayon du cercle. Il est défini par la quantité de mouvement, et non par la vitesse ou l'énergie seules
T_0: la durée du tour sans tenir compte de la relativité, 2πm/(|q|B)
γ: le facteur de Lorentz, 1 + K/(mc²). La véritable durée du tour est γT₀

Suppose: Un champ uniforme et constant, ainsi qu'une particule qui le traverse de manière strictement perpendiculaire. Toute composante de la vitesse alignée avec le champ n'est pas modifiée, transformant ainsi le cercle en hélice. Un vide parfait, de sorte que rien ne ralentisse la particule. On considère que la particule ne rayonne pas, bien qu'une charge en rotation le fasse de manière inhérente. Pour le préréglage de l'électron, l'énergie rayonnée par tour est inférieure au millionième d'électronvolt. Cependant, à un gigaélectronvolt dans un champ intense, cela devient une véritable perte. C'est pourquoi les synchrotrons à électrons doivent constamment réinjecter de l'énergie. Les ions d'uranium sont des atomes à charge unique, leur masse équivaut à la masse atomique moins un électron.
Ne tient plus quand: La relativité étant intégrée, une particule rapide ne perturbe pas les calculs de la page. C'est l'aimant qui crée la limite. Un champ réel s'affaiblit sur ses bords. Dans un cyclotron, il doit être profilé pour maintenir la focalisation du faisceau tout en restant proche de la résonance, ce qui constitue le sujet de l'article de Rose de 1938. Dans un cyclotron en fonctionnement, le champ électrique de l'interstice ajoute de l'énergie à chaque demi-tour. La trajectoire réelle est donc une spirale de demi-cercles au rayon croissant plutôt qu'un cercle unique. De plus, de nombreux ions dans un même faisceau se repoussent et l'élargissent, un problème suffisamment important pour figurer dans le titre du rapport de William Parkins sur le calutron utilisé pendant la guerre.

Deux fois plus vite, un cercle deux fois plus grand, les mêmes 43,73 ns 🖖

Appuyez sur Proton, 10 kV, puis sur Proton, 40 kV. Multiplier l’énergie par quatre double la vitesse, ainsi que le rayon du cercle, qui passe de 9,633 à 19,27 mm. Le tour dure 43,73 ns dans les deux cas. La vitesse s’élimine : le rayon vaut mv/(qB), la durée d’un tour 2πr/v, d’où 2πm/(qB), sans aucun v. L’article de 1932 d’Ernest Lawrence et Stanley Livingston sur le cyclotron repose sur cette simplification. Comme un proton plus rapide ne met pas moins de temps à parcourir son demi-cercle, une fréquence radio fixe appliquée dans l’entrefer entre deux électrodes creuses continue de l’accélérer au bon moment tandis que sa trajectoire s’enroule vers l’extérieur. Ils ont ainsi obtenu des protons de 1,22 MeV avec un tube auquel une tension supérieure à 4 000 V n’a jamais été appliquée. Dans le panneau montrant les trois orbites, les points jalonnent chaque trajectoire à chaque quart de la période classique ; à ces énergies, ceux des trois cercles se trouvent sur les quatre mêmes rayons.

Un proton de 20 MeV accuse un retard de 2,132 %, et une fréquence fixe ne peut pas suivre 🖖

La durée exacte du tour est 2πγm/(qB), et γ augmente avec l'énergie. Pour le Proton, 20 MV, γ = 1,021316. Chaque tour prend donc 44,66 ns au lieu de 43,73 ns, alors que la fréquence radio qui le pilote reste calée sur le proton lent. À chaque tour, il arrive un peu plus tard dans l'espace interélectrode. Le retard s'accumule jusqu'à ce qu'il se présente quand le champ pointe dans la mauvaise direction. Pour un électron, la plage utile est minuscule. Réglez la tension sur 20 kV et son tour est déjà allongé de 3,914 %. L'Électron, 1 MV a un γ de 2,956951, soit un tour durant presque le triple de sa valeur à l'état lent. Le second panneau trace T ÷ T₀ pour quatre particules. Chaque courbe s'infléchit vers le haut quand l'énergie cinétique atteint quelques pour cent de l'énergie au repos. Cela correspond à des dizaines de keV pour un électron et à des dizaines de MeV pour un proton. En 1938, M. E. Rose a calculé qu'avec 50 kV sur les électrodes et un champ soigneusement profilé, un cyclotron à fréquence fixe pouvait amener des protons à 13,9 MeV, voire 14,9 MeV avec un champ plus complexe. Le problème résolu ci-dessous propose une estimation plus sommaire de ce plafond. Il explique pourquoi il n'augmente qu'avec la racine carrée de la tension.

L'uranium 238 est 1,28 % plus lourd et son cercle à peine 0,638 % plus large 🖖

Chaque particule soumise à la même tension acquiert la même énergie par unité de charge. La quantité de mouvement d'une particule lente étant √(2mK), pour une charge identique, le rayon évolue proportionnellement à la racine carrée de la masse. L'Uranium 235, 35 kV orbite à 1,2145 m. Dans le tableau adjacent, l'uranium 238, pesant 238,0502 u contre 235,0434, orbite à 1,2223 m. Pour 1,28 % de masse supplémentaire, le rayon est multiplié par 1,00638. Dans un instrument qui dévie le faisceau sur un demi-cercle jusqu'à un collecteur, les deux isotopes atterrissent avec un écart de 15,5 mm, soit deux fois la différence des rayons. C'est l'intégralité de la séparation qu'un aimant peut leur fournir avec ces réglages. C'est d'ailleurs cette méthode que les calutrons utilisaient pendant la guerre pour isoler l'uranium 235.

Problème entièrement résolu

Jusqu'où un cyclotron à fréquence fixe peut-il pousser un proton ? 6 étapes
Un cyclotron possède un aimant de 1,5 T, des électrodes creuses de 0,5 m de rayon, et fournit 100 keV à un proton à chaque tour. Calculez la fréquence radio nécessaire, l'énergie d'un proton atteignant le bord extérieur, et déterminez si une fréquence fixe permet d'y parvenir. Cliquez sur Proton, 10 kV pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La fréquence correspond à la fréquence cyclotron d'un proton lent, que la page affiche à 10 kV :
  
  $f_{0} = \frac{q B}{2 π m} = \frac{1 . 602177 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 . 5}{2 π \times 1 . 672622 \times 1 0 ^{- 27}} = 22.87 MHz T_{0} = 43.73 ns$
2. Au bord extérieur, le rayon est de 0,5 m. La quantité de mouvement vaut donc qBR. Exprimée sous la forme pc, c'est une énergie :
  
  $p c = q B R c = 1.602177 \times 1 0^{- 19} \times 1.5 \times 0.5 \times 2.997925 \times 1 0^{8} J = 224.84 MeV$
3. L'énergie cinétique est l'énergie totale moins l'énergie au repos. Ignorer la relativité donnerait 26,94 MeV, soit 1,4 % de trop :
  
  $K = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2} - m c^{2} = 224.8 4^{2} + 938.2 7^{2} - 938.27 = 26.56 MeV \frac{( p c ) ^{2}}{2 m c ^{2}} = 26.94 MeV$
4. À cette énergie, γ vaut 1,028312. Un tour sur le bord extérieur dure donc 2,83 % de plus qu'un tour au centre :
  
  $γ = 1 + \frac{26 . 56}{938 . 27} = 1.028312 \Rightarrow T_{rim} = 1.028312 T_{0}$
5. À raison de 100 keV par tour, le proton a besoin de 266 tours pour y parvenir. Au tour k, son retard exprimé en fraction de tour vaut γ − 1 = kΔE/mc². Ce retard s'accumule pour atteindre 3,78 cycles complets de la fréquence radio au moment où il atteindrait le bord :
  
  $n = \frac{26 . 56}{0 . 1} \approx 266 k = 1 \sum n \frac{k Δ E}{m c ^{2}} = \frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{0 . 1}{938 . 27} \times \frac{266 \times 267}{2} = 3.78$
6. Il n'est propulsé vers l'avant que lorsque le champ dans l'espace interélectrode pointe dans le bon sens, soit la moitié de chaque cycle. Il cesse donc d'accélérer dès que le retard accumulé atteint un demi-cycle, c'est-à-dire une phase de π :
  
  $\frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow n (n + 1) = \frac{938 . 27}{0 . 1} = 9383 \Rightarrow n = 97, K = 9.7 MeV \approx m c^{2} Δ E = 9.69 MeV$
Réponse

L'aimant peut retenir un proton de 26,56 MeV sur son bord extérieur. Une fréquence fixe peut en accélérer un jusqu'à environ 9,7 MeV à raison de 100 keV par tour, stade auquel le proton se désynchronise. Multipliez l'énergie par tour par quatre pour atteindre 400 keV, et le plafond ne fait que doubler pour s'établir à 19,2 MeV, car il évolue en √(mc²·ΔE). Cette estimation attribue la totalité des 100 keV à chaque tour, ce qui est généreux. Le calcul de Rose en 1938, avec un champ profilé, atteignait 13,9 MeV avec 50 kV sur les électrodes et retrouvait cette même loi en racine carrée. Les machines qui sont allées plus loin abaissent leur fréquence au fur et à mesure que le proton gagne de l'énergie, rétablissant ainsi le facteur γ qu'une fréquence fixe laisse de côté.

$K_{m a x} \approx m c^{2} Δ E : Δ E = 100 keV \Rightarrow 9.7 MeV, Δ E = 400 keV \Rightarrow 19.2 MeV$

Références (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.