Explorateur de relativité restreinte

Faites glisser le curseur de vitesse pour voir comment le temps, la longueur et la masse se transforment à des vitesses relativistes.

Exemple résolu — Explorateur de relativité restreinte

Rapport de contraction des longueurs	60%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur de relativité restreinte

La relativité restreinte est ce qui découle de deux affirmations admises simultanément : les lois de la physique sont les mêmes dans tout référentiel en mouvement à vitesse constante, et la vitesse de la lumière est l'une de ces lois. Aucune des deux ne mentionne d'horloges ou de règles. Tout ce qui figure sur cette page — le temps dilaté, la longueur contractée, les axes inclinés — est la conséquence du refus d'abandonner l'une ou l'autre de ces affirmations.

Ce que signifie chaque symbole

β: la vitesse, exprimée en fraction de celle de la lumière. β = 0.8 est la valeur à retenir : √(1 − 0.8²) = 0.6 tombe juste (un triangle 3-4-5), donc γ vaut exactement 5/3 et la ligne du ratio affiche un parfait 60%.
γ: le facteur de Lorentz. C'est un nombre pur — sans unité propre — ce qui explique pourquoi la seule valeur 1.6667 peut s'appliquer à des secondes, des mètres et des kilogrammes dans le même panneau sans nécessiter de conversion.
t₀: le temps propre : l'intervalle lu sur une seule horloge présente aux deux événements — la montre du voyageur. L'indice ne signifie pas initial. Il signifie mesuré là où l'objet est au repos, et le lire comme "le temps au début" est la façon la plus courante d'appliquer cette formule à l'envers.
L₀: la longueur propre : mesurée dans le référentiel où l'objet est immobile. Mesurer à la place la longueur d'un objet en mouvement exige de marquer ses deux extrémités au même moment — et la simultanéité est précisément ce sur quoi deux référentiels ne sont pas d'accord, d'où provient la contraction.

D’où vient la formule

Construisez une horloge à lumière : deux miroirs séparés d'une distance d, une impulsion faisant des allers-retours entre eux. Au repos, un tic-tac correspond à un aller-retour, t₀ = 2d/c.
Laissez maintenant cette même horloge défiler devant vous à la vitesse v. Les miroirs se déplacent latéralement pendant que l'impulsion est en vol, de sorte que le trajet que vous voyez n'est pas l'écart d mais une diagonale plus longue — et l'impulsion le parcourt toujours à c, car le second postulat ne fait pas d'exception pour les lampes de poche en mouvement.
La diagonale, l'écart et le déplacement latéral forment un triangle rectangle, ainsi (c·Δt/2)² = d² + (v·Δt/2)². Substituez d = c·t₀/2 tiré de l'étape 1.
Regroupez les termes en Δt² : Δt²(c² − v²) = c²t₀², d'où Δt = t₀/√(1 − β²) = γ·t₀. Aucune hypothèse n'a été faite sur la nature de l'horloge — c'est pourquoi le même facteur s'applique aussi bien à la désintégration d'un muon qu'à une impulsion entre deux miroirs, et pour β = 0.8, cela donne les 1.6667 s affichées ci-dessus.

Comment lire ce que vous voyez

Sur le diagramme d'espace-temps, la ligne orange en pointillés à 45° représente la trajectoire de la lumière. Vos axes forment la paire bleue ; les axes x' et ct' du voyageur forment la paire verte, et ils s'inclinent vers cette ligne à 45° du même angle de chaque côté — comme des ciseaux qui se referment sur le cône de lumière sans jamais le croiser. Observez ce qui arrive à la longueur : la longueur au repos L₀ est tracée le long de l'axe x' du voyageur, et la longueur contractée L est son ombre sur votre axe x. Rien n'est compressé ; un segment est projeté sur une règle orientée différemment. L'hyperbole rouge pâle passant par l'événement est la courbe d'étalonnage — chaque point sur cette courbe est situé au même temps propre de l'origine, ce qui permet de comparer les graduations entre deux référentiels dont les axes n'ont pas la même échelle.

Suppose: Référentiels inertiels uniquement : une seule vitesse relative constante, pas d'accélération, pas de gravité. Il n'y a ici qu'un seul β et aucun moyen de faire demi-tour, de sorte que le paradoxe des jumeaux ne peut pas vraiment être posé sur cette page — le trajet retour est la partie qui brise la symétrie entre les deux observateurs, et il n'y a pas de trajet retour.
Ne tient plus quand: La ligne masse relativiste est le vestige d'une ancienne façon de formuler les choses, et il convient de savoir que les physiciens en activité l'ont abandonnée. La masse est aujourd'hui traitée comme invariable ; le facteur γ appartient à la quantité de mouvement, p = γm₀v, et non à l'objet. La raison en est concrète : poussez l'objet en mouvement dans sa direction de déplacement et sa résistance varie comme γ³m₀ ; poussez-le de côté et elle varie comme γm₀. Un seul objet, deux "masses" différentes selon la direction dans laquelle vous le poussez — ainsi, les 1.6667 kg affichés ci-dessus sont un artifice comptable, pas un objet plus lourd.

Les vitesses refusent de s'additionner, les rapidités non 🖖

Mettez β = 0,5 et l'onglet de Minkowski incline les axes du référentiel mobile de arctan β = 26,57°. Appliquez pourtant deux fois ce même boost et vous n'arrivez pas à β = 1 : les vitesses se composent en (0,5 + 0,5)/(1 + 0,25) = 0,8 exactement, ce que vous pouvez vérifier en posant β = 0,8 et en lisant γ = 1,6667. Ce qui s'additionne, c'est la rapidité ψ = artanh β, la grandeur dont l'inclinaison de ce diagramme est faite : artanh 0,5 = 0,5493, doublé donne 1,0986, et tanh 1,0986 = 0,8. La rapidité est l'angle hyperbolique d'un boost : les boosts se composent donc par simple addition, comme les rotations, et aucun empilement fini n'atteint jamais c.

Pourquoi le facteur de Lorentz γ gouverne tout 🖖

Tout l'outil tourne autour d'un seul nombre : le facteur de Lorentz γ = 1/√(1−β²), avec β = v/c. À l'allure d'un piéton, γ ≈ 1, si bien que la relativité se cache ; à mesure que v approche la vitesse de la lumière c, γ croît sans limite. À v = 0.87c, γ = 2 — les horloges en mouvement battent deux fois moins vite et les longueurs sont divisées par deux. Comme atteindre c exigerait γ = ∞, aucun objet massif n'y parvient : le prix serait une énergie infinie.

Un objet rapide paraît tourné, non contracté 🖖

La contraction des longueurs est ce que l'on mesure, non ce que l'on voit. Comme la lumière du côté lointain d'un corps part plus tôt que celle du côté proche, une photographie d'un objet filant à grande vitesse le montre apparemment tourné plutôt qu'aplati — une sphère garde son contour rond. Cette rotation de Terrell–Penrose est passée inaperçue pendant 54 ans, jusqu'à ce que James Terrell et Roger Penrose la découvrent indépendamment en 1959.

La contraction des longueurs a été inventée pour sauver l'éther 🖖

En 1889, George FitzGerald a envoyé une lettre d'un paragraphe à Science proposant qu'un corps se déplaçant à travers l'éther raccourcisse physiquement dans le sens de son mouvement — exactement du facteur que cette page affiche sous la forme L/L₀. Lorentz a obtenu le même facteur de façon indépendante. Tous deux cherchaient à sauver l'éther du résultat nul de l'expérience de Michelson–Morley : si l'appareil se contracte exactement de la bonne valeur, il ne peut pas détecter son propre mouvement à travers le milieu. Le papier d'Einstein de 1905 a produit le même nombre à partir de deux postulats et sans aucun éther. Pour β = 0.8, cela donne 0.6 dans les deux cas — le calcul n'a jamais changé, seul son objet a changé : il ne s'agit pas de matière comprimée par un vent contraire, mais de deux observateurs découpant l'espace-temps selon des angles différents. Le facteur porte toujours le nom de Lorentz.

L'effet qui compte le plus est celui que vous ne pouvez pas voir ici 🖖

Le préréglage du muon montre cette page sous son jour le plus convaincant : β = 0.9992 donne γ = 25.005, ce qui étire la durée de vie de 2.2 µs d'un muon jusqu'à 5.501 × 10⁻⁵ s et réduit 650 m d'atmosphère à 25.995 m, c'est pourquoi des particules qui devraient se désintégrer bien plus haut parviennent jusqu'au sol. Cette dilatation a été mesurée directement sur des muons tournant dans un anneau de stockage au CERN. Le cas ayant des enjeux financiers directs est invisible ici : chargez le préréglage GPS et le panneau affiche γ = 1 et Δt = 86400 s, car le β d'un satellite (environ 10⁻⁵) place l'ensemble de l'effet sous la barre des cinq chiffres significatifs. C'est tout de même bien réel : la vitesse orbitale fait perdre environ 7 µs par jour à l'horloge d'un satellite, la gravité lui en fait gagner environ 45 µs, et laisser le résultat net non corrigé décalerait la position calculée d'environ 11 km par jour. Seul le premier de ces trois chiffres relève de la relativité restreinte.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

À β = 0.8, le rapport de contraction des longueurs affiche exactement 60%. Essaie β = 0.6, puis β = 0.28, puis β = 0.96 — et ensuite β = 0.5 pour voir pourquoi il se comporte autrement.

Afficher la réponse

0.6 donne 80%, 0.28 donne 96%, et 0.96 donne 28% : les paires s’échangent. Le rapport vaut 1/γ = √(1 − β²), donc β² + (1/γ)² = 1 — la vitesse et la contraction sont les deux côtés de l’angle droit d’un triangle d’hypoténuse 1, et cette relation ne sait pas lequel est lequel. Les réponses rondes apparaissent donc exactement là où il y a un triplet pythagoricien : (3, 4, 5) fournit la paire 0.6/0.8 et (7, 24, 25) fournit 0.28/0.96. β = 0.5 n’appartient à aucun triplet, d’où 86.603%, c’est-à-dire √3/2.
Le préréglage satellite GPS tourne à β = 0.0000133, une vitesse orbitale réelle. γ affiche 1, le temps dilaté affiche 1 s, la longueur contractée affiche 1 m, le rapport affiche 100% — tout effet relativiste a été arrondi à néant. L’énergie cinétique affiche pourtant 7.949×10⁶ J. Quel affichage ment ?

Afficher la réponse

Aucun. La ligne de l’énergie cinétique est la seule multipliée par c², donc la seule où l’excès survit : γ − 1 vaut 8.845×10⁻¹¹, neuf parties sur cent milliards, et la ligne y substitue précisément cette valeur plutôt que le γ arrondi. Multiplié par c² = 8.99×10¹⁶, cela fait 7.9 mégajoules par kilogramme. Vérifie avec Newton : la vitesse orbitale du préréglage est 3987.2 m/s, et ½mv² = ½ × 1 × 3987.2² = 7.949×10⁶ J, le même nombre. Aux vitesses orbitales, la relativité est indétectable dans les longueurs et incontournable dans les énergies, et toute la différence tient à la taille de c².

Problème entièrement résolu

Une règle d'un mètre mesurant 60 cm à 0,8 c 5 étapes
À 0,8c, une règle d'un mètre mesure 60 cm. Démontrez ce résultat, puis déterminez à quel point l'énergie cinétique newtonienne sous-estime celle de ce même objet.
1. Tout découle d'un seul facteur. À 0,8c, la racine carrée vaut exactement 0,6 — l'une des rares vitesses pour lesquelles l'arithmétique tombe juste, ce qui explique pourquoi les manuels l'utilisent.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.64} = \frac{1}{0.6} = 1.6667$
2. La longueur se contracte selon l'inverse de ce facteur, ainsi 60% n'est pas une approximation ; c'est exactement 3/5.
  
  $\frac{L}{L _{0}} = \frac{1}{γ} = 0.60 = 60%$
3. Ce facteur mérite d'être tabulé, car sa forme résume tout le sujet. Il varie à peine jusqu'à la moitié de la vitesse de la lumière, puis s'incurve nettement : 2,29 à 0,9c, 7,09 à 0,99c, 22,4 à 0,999c.
  
  $β = 0.9 : γ = 2.294; β = 0.99 : γ = 7.089; β = 0.999 : γ = 22.37$
4. C'est dans l'énergie cinétique que réside la conséquence pratique. L'expression relativiste n'est pas ½mv² avec une correction greffée dessus ; c'est l'excédent de l'énergie totale sur l'énergie au repos.
  
  $K = (γ - 1) m c^{2} = 0.6667 m c^{2}$
5. À 0,8c, cela donne 0,667mc², contre 0,32mc² pour la formule newtonienne.
  
  $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.32 m c^{2} ⟹ Newton is short by a factor of 2.08$
Réponse

L'outil affiche un rapport de contraction des longueurs de 60%. Le nombre que le panneau n'affiche pas est celui de l'énergie : Newton sous-estime le résultat d'un facteur 2,08 à cette vitesse, et cet écart diverge tout comme le facteur. C'est pourquoi les accélérateurs de particules sont décrits en termes d'énergie plutôt que de vitesse — une machine peut doubler l'énergie d'un proton et faire passer sa vitesse de 0,99c à 0,997c, ce qui semble insignifiant tout en représentant l'intégralité de l'amélioration. Déplacez le curseur jusqu'à 0,999c et observez le rapport de longueur chuter à 4,471% tandis que la vitesse ne varie qu'au niveau de la troisième décimale.

$γ = (1 - β^{2})^{- 1/2} : L / L_{0} = 60% at 0.8 c, K = 0.667 m c^{2}$

Références (7)

Rapidity as the additive hyperbolic angle of a boost: J. A. Rhodes and M. D. Semon, "Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession." American Journal of Physics 72(7), 943–960, 2004.
On stating time dilation and contraction without the usual sleights: N. D. Mermin, "Lapses in relativistic pedagogy." American Journal of Physics 62(1), 11, 1994.
The contraction proposed to reconcile the aether with the Michelson–Morley null result: G. F. FitzGerald, "The Ether and the Earth's Atmosphere." Science ns-13(328), 390, 1889.
The same factor derived from two postulates, with no aether: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322(10), 891–921, 1905.
Why the relativistic-mass row is a historical convention rather than current usage: L. B. Okun, "The Concept of Mass." Physics Today 42(6), 31–36, 1989.
Time dilation measured directly on muons in a storage ring: J. Bailey et al., "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit." Nature 268, 301–305, 1977.
The satellite-clock corrections, both signs of them: N. Ashby, "Relativity in the Global Positioning System." Living Reviews in Relativity 6, 1, 2003.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-14

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Exemples de problèmes

Muon (0.9c) - Muon à 0.9c : γ=2.29, le temps ralentit
Satellite GPS - Satellite GPS : dilatation infime mais mesurable
Moitié de c - Moitié de la vitesse de la lumière : γ=1.155
0.99c - 0.99c : γ=7.09, effets spectaculaires