Loi de Faraday : un générateur simple

Une bobine tourne dans un champ magnétique. Entraînez-la à vitesse constante ou à couple constant. Laissez le circuit ouvert ou connectez une charge. La page suit le flux, la tension, le courant et le couple résistant au fil des tours. Le tableau sous les graphiques détaille les calculs.

Exemple résolu — Loi de Faraday : un générateur simple

Vitesse angulaire	314,2 rad/s
Fréquence	50,00 Hz
Flux embrassé maximal	0,03000 Wb
F.é.m. maximale	9,425 V
F.é.m. efficace	6,664 V
Courant maximal	0,6283 A
Couple résistant maximal	0,01885 N·m
Couple résistant moyen	0,009425 N·m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Loi de Faraday : un générateur simple

Loi de Faraday : la variation du flux magnétique à travers une bobine induit une force électromotrice dans celle-ci, ε = −dΦ ÷ dt. Pour une bobine de N spires et de surface A tournant à la vitesse angulaire ω dans un champ B, Φ = NBA cos ωt et ε = NBAω sin ωt. Loi de Lenz : elle donne le signe. Le courant induit circule de manière à ce que son propre champ magnétique s'oppose à la variation du flux initial. Dans un générateur, cela se manifeste par une force qui s'oppose au mouvement. Pour une charge R et une résistance interne r, le courant est i = ε ÷ (R + r). La puissance mécanique absorbée par le couple résistant, τ_eω, égale la puissance électrique fournie à l'ensemble du circuit. Un moteur réel doit en plus compenser les frottements.

Ce que signifie chaque symbole

Φ: le flux embrassé, N B A cos ωt, en webers. Il est maximal lorsque la bobine fait face au champ
ε: la force électromotrice, en volts. Elle est maximale lorsque le flux varie le plus rapidement, soit un quart de tour plus tard
ω: la vitesse angulaire, en rad/s. La f.é.m. lui est proportionnelle
r: la résistance propre de la bobine. Tout courant qui la traverse dissipe une puissance i²r
τ_e: le couple résistant généré par le courant dans le champ magnétique. Il est nul en circuit ouvert

Ne tient plus quand: La charge optimale n'est égale à r qu'à vitesse constante. Entraînez plutôt le rotor avec un couple fixe et une charge plus forte le ralentira, ce qui fera chuter la tension. La charge optimale devient alors supérieure à r. Elle passe de 3 Ω à 48 Ω pour le préréglage à couple constant. La page cherche cette valeur exacte au lieu de la supposer. Les dynamos réelles limitent également leur propre courant grâce à l'inductance de la bobine, un effet que ce modèle ignore.

Aucune connexion, aucune résistance 🖖

Cliquez sur Circuit ouvert. La bobine tourne à 3 000 tr/min. Elle produit un pic de 9,425 V, mais le couple résistant est nul. Dans ce modèle, aucune force ne s'oppose à la rotation tant qu'un courant ne circule pas. Cliquez sur Dynamo de vélo pour connecter une ampoule de 12 Ω. Un courant circule désormais dans un champ magnétique. Le champ exerce une force sur ce courant, et cette force s'oppose à la rotation. C'est la loi de Lenz. Ce couple moyen de 0,009425 N·m doit être compensé par le cycliste. Passez l'entraînement sur Couple constant pour visualiser cet effet sur la vitesse. Le rotor tourne à 1 000 rad/s à vide. Connectez la charge et il ralentit jusqu'à 250 rad/s en une seconde environ, avec une constante de temps de 0,25 s. C'est pour cette raison qu'une dynamo de vélo durcit le pédalage lorsque l'éclairage est allumé.

La main fournit chaque watt de lumière 🖖

Le graphique de puissance superpose la puissance mécanique absorbée par le couple résistant, τ_eω, et la chaleur dissipée dans la charge et la bobine. À vitesse constante, ces grandeurs sont identiques à chaque instant, et non seulement en moyenne. Avec Dynamo de vélo, la main fournit 2,961 W. La lampe reçoit 2,369 W et la bobine consomme 0,5922 W en chaleur. La charge dicte cette répartition. Cliquez sur Forte charge. Avec 0,5 Ω, la main doit fournir 12,69 W, soit plus du quadruple. L'ampoule reçoit paradoxalement moins qu'avant, 1,813 W. La majeure partie de l'énergie sert simplement à chauffer la bobine. La charge qui reçoit le plus de puissance est celle égale à la résistance de la bobine, soit 3 Ω pour Charge adaptée. La moitié de l'énergie est alors dissipée en pure perte. Vous retrouvez ici le résultat de la page sur la résistance interne, mais observé depuis l'axe du générateur.

Doubler la vitesse double la tension et quadruple la puissance 🖖

La tension dépend de la vitesse de variation du flux à travers la bobine, selon la formule ε = N B A ω sin ωt. Elle augmente donc proportionnellement à la vitesse. Cliquez sur Vitesse doublée. À 6 000 tr/min, le pic passe de 9,425 à 18,85 V. La même ampoule absorbe deux fois plus de courant sous une tension double. Elle consomme ainsi quatre fois plus de puissance, passant de 2,369 à 9,475 W. Le couple résistant double également. Tourner deux fois plus vite contre une force double demande quatre fois plus d'énergie mécanique, soit 11,84 W fournis par la main. Un générateur produit davantage seulement si l'effort est plus intense. L'énergie n'est jamais gratuite.

Problème entièrement résolu

L'effort que la dynamo demande au cycliste 5 étapes
Une bobine de 250 spires et d'une surface de 4 cm² tourne à 3 000 tr/min dans un champ de 0,3 T. Sa résistance est de 3 Ω et elle alimente une ampoule de 12 Ω. Calculez la f.é.m. maximale, la puissance moyenne reçue par l'ampoule, la puissance moyenne fournie par le cycliste et le couple résistant moyen. Cliquez sur Dynamo de vélo pour vérifier chaque résultat.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La vitesse angulaire et le flux embrassé maximal :
  
  $ω = \frac{2 π \cdot 3000}{60} = 314.16 rad/s, N B A = 250 \cdot 0.3 \cdot 4 \times 1 0^{- 4} = 0.03 Wb$
2. La f.é.m. maximale est le produit du flux embrassé par la vitesse angulaire :
  
  $ε_{m a x} = N B A ω = 0.03 \cdot 314.16 = 9.425 V$
3. La f.é.m. est sinusoïdale. La puissance moyenne dans une résistance R vaut la moitié de la puissance crête, car la moyenne de sin² sur un tour est de ½ :
  
  $⟨ P_{R} ⟩ = \frac{ε _{m a x}^{2} R}{2 ( R + r ) ^{2}} = \frac{9 . 42 5 ^{2} \cdot 12}{2 \cdot 1 5 ^{2}} = 2.369 W$
4. Le cycliste fournit la somme des énergies consommées par l'ampoule et la bobine :
  
  $⟨ P_{mech} ⟩ = \frac{ε _{m a x}^{2}}{2 ( R + r )} = \frac{9 . 42 5 ^{2}}{30} = 2.961 W$
5. La puissance correspond au couple multiplié par la vitesse angulaire. Le couple résistant moyen est donc :
  
  $⟨ τ_{e} ⟩ = \frac{⟨ P _{mech} ⟩}{ω} = \frac{2 . 961}{314 . 16} = 0.009425 N m$
Réponse

La bobine produit une tension de crête de 9,425 V. L'ampoule consomme en moyenne 2,369 W. Le cycliste développe une puissance de 2,961 W en surmontant un couple résistant moyen de 0,009425 N·m. L'ampoule reçoit 80 % de cet effort. Débranchez la lampe : le couple et la puissance tombent à zéro, mais la tension persiste.

$ε_{m a x} = 9.425 V, ⟨ P_{R} ⟩ = 2.369 W, ⟨ τ_{e} ⟩ = 0.009425 N m$

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.