Inductances et surtension d'ouverture

Une bobine, une alimentation et un interrupteur. Fermez le circuit pour observer l'établissement progressif du courant. Ouvrez-le ensuite, la bobine étant laissée nue, protégée par une diode ou épaulée par une résistance : observez où s'évacue l'énergie et quelle surtension l'interrupteur doit encaisser.

Exemple résolu — Inductances et surtension d'ouverture

Inductance (solénoïde long)	0,1421 H
Courant interrupteur fermé	30,00 mA
Constante de temps	355,3 µs
Énergie emmagasinée dans le champ	63,96 µJ
Tension de crête sur l'interrupteur	360,2 V
Tension minimale sur l'interrupteur	-318,4 V
Délai de retombée sous le dixième	1,614 ms
Dissipation dans l'enroulement	64,03 µJ (100,11%)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Inductances et surtension d'ouverture

Une inductance (ou bobine) engendre un champ magnétique qui s'oppose à toute variation du courant qui la traverse. La tension à ses bornes s'écrit v = L di/dt : un courant continu n'exige donc aucune tension, tandis qu'une variation brutale fait bondir celle-ci à des valeurs considérables. L désigne l'inductance, exprimée en henrys. Pour un solénoïde long de N spires, de section A et de longueur ℓ, enroulé sur un noyau de perméabilité relative μᵣ, on a L = μ₀μᵣN²A/ℓ. Un courant I y emmagasine l'énergie U = ½LI² sous forme magnétique. En série avec une résistance R sous une tension V, le courant s'établit vers V/R selon la constante de temps τ = L/R.

Ce que signifie chaque symbole

L: inductance, en henrys : tension développée par ampère de variation par seconde
N: nombre de spires. L croît en N², car chaque spire contribue à créer le champ tout en étant embrassée par lui
μᵣ: perméabilité relative du noyau : égale à 1 dans l'air, elle indique le facteur multiplicateur de L apporté par le noyau
I₀: courant de régime permanent lorsque l'interrupteur est fermé, soit Vₛ/R
R: résistance propre de l'enroulement, inhérente à toute bobine réelle, qui finit par dissiper l'énergie
Rₛ: résistance en série avec la diode, qui élève la tension d'écrêtage et accélère la coupure
C: capacité parasite aux bornes de l'interrupteur ouvert (transistor et câblage). Très faible, et d'autant plus redoutable pour la surtension qu'elle est petite
τ: L/R, la constante de temps : ordre de grandeur de la durée d'établissement à la fermeture, et approximativement de l'extinction à travers une diode seule

Suppose: La bobine est assimilée à un solénoïde long : le champ intérieur est supposé uniforme et le champ extérieur nul, ce qui majore l'inductance réelle d'une bobine seulement deux fois plus longue que large comme l'est le modèle par défaut. Le noyau ne sature pas et ne subit pas de pertes par courants de Foucault. L'interrupteur ouvert se comporte en isolant parfait flanqué d'une capacité ; dans la réalité, un transistor exposé à une surtension supérieure à son calibre claque, des contacts mécaniques amorcent un arc et la diode inverse d'un MOSFET empêcherait toute oscillation sous la masse. Dans les deux circuits à diode, cette capacité est négligée : sous 30 mA, la charge de 1 nF jusqu'à la tension d'écrêtage demande C × V ÷ I₀, soit 0,425 µs avec la diode seule et 1,425 µs avec 1 kΩ, face à des temps de décharge de plusieurs centaines de microsecondes. La diode suit le modèle de Shockley de la page dédiée, à 25 °C. La retombée au dixième correspond au moment où le courant descend sous 10 % de I₀ sans remonter, ce qui représente 1 % de l'effort mécanique sur un relais. Le rebobinage pour une autre tension suppose que le même volume utile accueille une masse identique de cuivre.

À l'ouverture du circuit, le courant poursuit sa course 🖖

Cliquez sur Bobine sans protection et avancez au pas à pas jusqu'à l'instant précis de l'ouverture. Une fraction de seconde plus tôt, 30 mA traversaient le circuit. Ce courant ne peut s'interrompre d'un coup : selon la relation v = L di/dt, une annulation instantanée exigerait une tension infinie. Le courant s'engouffre donc dans la seule issue restante, la capacité de 1 nF présente aux bornes de l'interrupteur ouvert, et la tension s'envole jusqu'à ce que le courant s'arrête. À cet instant, la capacité emmagasine 64,89 µJ : les 63,96 µJ initiaux du champ magnétique, augmentés de l'énergie fournie par l'alimentation toujours branchée, diminués de ce que l'enroulement a dissipé en chemin. La crête atteint 360,2 V, à partir d'une simple source de 12 V. Choisissez 100 pF sur l'interrupteur : dix fois moins de capacité doit absorber une énergie presque identique, et la pointe culmine à 1 134 V. La survie d'un commutateur réel dépend de son calibre : un transistor sous-dimensionné claque, tandis que des contacts mécaniques amorcent un arc électrique dans l'intervalle d'air.

La diode protège l'interrupteur et libère la bobine plus tôt 🖖

Sans protection, et à supposer que l'interrupteur tienne le coup, la bobine ne relâche pas prise rapidement. Si son courant chute au dixième en 17,70 µs, c'est uniquement parce que l'énergie a reflué dans la capacité ; sitôt emmagasinée, elle repart en sens inverse. L'énergie oscille de l'une à l'autre jusqu'à ce que la résistance de l'enroulement finisse par la dissiper, et cette dissipation n'opère que lorsque le courant traverse la bobine, soit environ la moitié de chaque période. L'ensemble réclame 1,614 ms. Cliquez sur Diode de roue libre : la tension sur l'interrupteur se fige à 12,74 V (l'alimentation augmentée d'un seuil de diode), le courant boucle entre la bobine et la diode, et il tombe au dixième en 674,7 µs. Une résistance en série avec la diode modifie ce compromis. Cliquez sur Diode plus 1 kΩ : la retombée s'effectue en 219,8 µs, pour une tension de crête de 42,74 V. Dans le tableau, chaque hausse de résistance élève la tension d'écrêtage tout en abrégeant la démagnétisation.

Une bobine 48 V ne frappe pas plus fort qu'une 12 V 🖖

Bobinez la même carcasse pour 48 V au lieu de 12 V : il vous faudra quatre fois plus de spires d'un fil dont la section est quatre fois plus faible. L'inductance croît comme le carré du nombre de spires, tout comme la résistance, puisque le conducteur est à la fois quatre fois plus long et quatre fois plus fin. Le rapport L/R reste donc calé à 355,3 µs, l'intensité est divisée par quatre et le champ magnétique conserve ses 63,96 µJ ; les ampères-tours assurant l'attraction de l'armature restent fixés à 150. Cliquez sur Même bobine en 48 V : sans protection, la crête atteint 368,3 V, contre 360,2 V pour la version 12 V. Le volume de la bobine et la puissance absorbée dictent la surtension, bien plus que la tension nominale. C'est avec la diode que la différence éclate : ses 0,74 V de chute freinent bien plus vigoureusement un enroulement de 5 V qu'un enroulement de 48 V, si bien que la diode libère le bobinage 5 V en 547,3 µs contre 777,0 µs pour le bobinage 48 V.

Problème entièrement résolu

Dimensionner la résistance en série avec la diode de roue libre 6 étapes
Un transistor prévu pour 60 V commute la bobine 12 V de cette page : 400 Ω et 0,1421 H, protégée par une diode. Quelle est la valeur normalisée la plus élevée de la série E12 (1,0, 1,2, 1,5, 1,8 kΩ, etc.) que vous pouvez insérer en série avec la diode sans dépasser 60 V aux bornes du transistor ? Quel temps met alors le courant à chuter au dixième par rapport à la diode seule, et quelle énergie thermique la résistance absorbe-t-elle à chaque coupure ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Interrupteur fermé, le courant s'établit à I₀ = 12 V ÷ 400 Ω = 30 mA, et le champ emmagasine ½LI₀² = ½ × 0,1421 H × (30 mA)² = 63,96 µJ.
  
  $I_{0} = \frac{12 V}{400 Ω} = 30 mA, \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 0.1421 H \times (30 mA)^{2} = 63.96 μ J$
2. À l'instant où l'interrupteur s'ouvre, la bobine impose toujours 30 mA, qui bifurquent désormais dans la diode et Rₛ. L'interrupteur encaisse la tension d'alimentation, la tension de seuil de la diode sous 30 mA et la chute dans la résistance : 12 V + 0,738 V + 0,03 A × Rₛ.
  
  $v_{sw} = V_{S} + V_{D} (I_{0}) + I_{0} R_{s} = 12 V + 0.738 V + 0.03 A \times R_{s}$
3. Pour rester sous 60 V, il faut Rₛ ≤ (60 − 12,738) V ÷ 0,03 A = 1 575 Ω. La valeur E12 la plus proche par le bas est 1,5 kΩ, ce qui donne 57,74 V ; une résistance de 1,8 kΩ porterait la tension à 66,74 V.
  
  $R_{s} \leq \frac{( 60 - 12 . 738 ) V}{0 . 03 A} = 1575 Ω \Rightarrow 1.5 kΩ : 57.74 V$
4. Le courant décroît alors à travers R + Rₛ = 1 900 Ω, avec une échelle de temps L ÷ 1 900 Ω = 74,80 µs. En assimilant la chute de la diode à une constante de 0,738 V, l'expression du courant s'écrit i = (I₀ + V_D/R′)e^(−t/τ′) − V_D/R′, avec V_D/R′ = 0,3885 mA. Il atteint 3 mA à t = 74,80 µs × ln(30,39 ÷ 3,388) = 164,1 µs.
  
  $τ^{'} = \frac{L}{R + R _{s}} = \frac{0 . 1421 H}{1900 Ω} = 74.80 μ s, t = τ^{'} ln \frac{30 . 39}{3 . 388} = 164.1 μ s$
5. Réglez l'outil sur Diode + résistance avec Rₛ = 1 500 Ω, ce qui intègre la courbe réelle de la diode : on trouve 164,5 µs. La diode seule demandait 674,7 µs ; la résistance permet donc une libération 4,10 fois plus rapide.
  
  $\frac{674 . 7 μ s}{164 . 5 μ s} = 4.10$
6. Sur les 63,96 µJ disponibles, la résistance en absorbe 49,29 µJ, soit 77,07 %. À l'ouverture, elle dissipe instantanément I₀²Rₛ = (30 mA)² × 1 500 Ω = 1,350 W, puis presque plus rien quelques centaines de microsecondes après.
  
  $\int R_{s} i^{2} d t = 49.29 μ J (77 . 07%), I_{0}^{2} R_{s} = 1.350 W$
Réponse

1,5 kΩ, ce qui maintient la tension de l'interrupteur à 57,74 V, soit une marge de 2,26 V sous son calibre nominal. Le courant tombe au dixième en 164,5 µs au lieu de 674,7 µs, et la résistance absorbe 49,29 µJ à chaque coupure. L'outil se limite à une seule manœuvre. Actionnez le relais dix fois par seconde : la puissance moyenne absorbée par la résistance n'est que de 49,29 µJ × 10 par seconde = 0,4929 mW. Les 1,350 W de pointe s'évanouissent en quelques centaines de microsecondes.

$R_{s} = 1.5 kΩ : 57.74 V, 164.5 μ s, 49.29 μ J; 10 Hz : 0.4929 mW$

Parcours

Ce qui n'est pas une résistance

Références (1)

v = L di/dt, the long-solenoid inductance, ½LI² and the RL time constant in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §14.2 "Self-Inductance and Inductors" (Equations 14.10 and 14.13), §14.3 "Energy in a Magnetic Field" (Equation 14.20) and §14.4 "RL Circuits" (Equations 14.24 and 14.25).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.