Réglage de Régulateur PID

Réglez un régulateur PID et observez comment la sortie suit une consigne en échelon à travers un système du premier ordre.

Valeurs de départ — Réglage de Régulateur PID

Kp	1.2
Ki	0.4
Kd	0.1
Tau	1
Gain du système	1
Consigne	1

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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sur un procédé du premier ordre, le terme D n’a rien à amortir 🖖

Le terme proportionnel réagit à l’écart présent ; le terme intégral élimine l’écart statique qui subsiste. Observez P seul : avec k_p = 1,2, la sortie se stabilise à 0,5455 et n’en bouge plus, avec un déficit permanent exactement égal à k_p/(1 + k_p). L’ajout de k_i comble cet écart. Sur ce procédé, le terme dérivé fait figure d’exception, car k_d·de/dt réinjecte la vitesse de variation de la sortie elle-même : la boucle devient (τ + k·k_d)ẏ = −y + k(k_pe + k_i∫e). Il augmente donc la constante de temps sans rien amortir. En présence d’une action intégrale, une boucle plus lente laisse l’intégrateur accumuler davantage. Ainsi, avec k_p = 1,3 et k_i = 2,5, faire passer k_d de 0 à 0,6 porte le dépassement de 6,6 % à 14,6 %. L’action dérivée est utile dans les systèmes dont elle peut contrer l’inertie. Celui-ci n’en a aucune.

réguler sur l'écart, pas sur l'objectif 🖖

Le régulateur ne reçoit jamais la consigne comme une commande directe. Il ne connaît que l’écart entre la sortie actuelle et la valeur recherchée. Chaque action qu’il produit répond à cet écart pour le ramener vers zéro. Observez la réponse indicielle : la consigne bondit, l’écart devient important et le régulateur agit vigoureusement, puis relâche son effort à mesure que la sortie rejoint la consigne. Une bonne régulation repose sur la correction de l’écart, sans qu’il soit nécessaire de connaître à l’avance l’action parfaite.

né en observant le timonier d'un cuirassé 🖖

La recette à trois termes n'a pas d'abord été tirée d'équations. En 1922, Nicolas Minorsky a établi la régulation PID en observant un timonier expérimenté gouverner le cuirassé USS New Mexico. Il remarqua que le marin corrigeait non seulement l'écart de cap du navire (proportionnel), mais aussi depuis combien de temps il avait dérivé (intégral) et la vitesse à laquelle le cap changeait (dérivé). Le pilotage automatique a copié l'instinct humain avant que la théorie ne rattrape.

Problèmes entièrement résolus

Où se stabilise réellement un régulateur sans autre réglage qu'un gain proportionnel 5 étapes
Un régulateur doté d'un simple gain proportionnel doit maintenir une sortie à 1. Déterminez la valeur à laquelle elle se stabilise réellement, et expliquez pourquoi la ligne du temps de montée indique que la cible n'a jamais été atteinte. Il s'agit de P seul : K_p = 1,2, K_i = 0, K_d = 0, constante de temps du procédé τ = 1 s, gain du procédé K = 1, consigne r = 1.
1. Trois faits ferment la boucle en une seule équation. Le régulateur agit avec K_p fois l'erreur, le procédé tend vers K fois la commande reçue, et l'erreur est ce qu'il reste de la consigne après la sortie. Injecter les deux dernières relations dans la première laisse y en relation uniquement avec lui-même.
  
  $τ \frac{d y}{d t} = - y + K u, u = K_{p} e, e = r - y ⟹ τ \frac{d y}{d t} = - y + K K_{p} (r - y)$
2. Être stabilisé signifie que la dérivée est égale à 0, ce qui transforme l'équation différentielle en un calcul arithmétique faisable de tête. Le gain apparaît deux fois — une fois au numérateur et une fois dans la somme en dessous — et cela constitue toute la forme de la réponse.
  
  $\frac{d y}{d t} = 0 : y_{\infty} = \frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} r = \frac{1.2}{2.2} = 0.5455$
3. Soustrayez pour obtenir l'erreur résiduelle, et observez r disparaître par simplification de la fraction. L'écart statique est une fraction de la valeur demandée, et non un montant fixe : demandez 100 et vous manquez la cible de 45,45 ; demandez 1 et vous la manquez de 0,4545. C'est une propriété de la boucle, pas de la demande.
  
  $e_{\infty} = r - y_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}} = \frac{1}{2.2} = 0.4545$
4. Expliquer pourquoi la boucle ne peut pas faire mieux prend une seule ligne, et c'est le cœur même du problème. La seule sortie du régulateur est K_p fois l'erreur. Une erreur nulle commande une poussée nulle, et une poussée nulle maintient le procédé à zéro. Le régulateur a besoin d'une erreur permanente pour générer la poussée permanente qui maintient y à ce niveau — vérifiez-le : la commande stabilisée vaut 0,5455, ce qui est exactement la sortie qu'elle maintient. L'écart statique n'est pas un mauvais réglage, c'est le mécanisme même.
  
  $u_{\infty} = K_{p} e_{\infty} = 1.2 \times 0.4545 = 0.5455 = \frac{y _{\infty}}{K}$
5. Cela explique également la ligne vide. Le temps de montée est le premier instant où y atteint 0,9r, or y ne peut jamais franchir son propre plafond de 0,5455. La valeur affichée ne vous dit donc pas que la boucle est lente — elle vous indique que la cible est au-dessus du plafond. Déterminez le gain qui élève ce plafond à 0,9 et vous obtenez 9 ; ainsi, tout K_p inférieur à 9 produit ce même vide.
  
  $\frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} \geq 0.9 ⟺ K_{p} \geq \frac{9}{K} = 9$
Réponse

L'outil affiche y(10 s) = 0,55 et une erreur en régime permanent de 0,455, le temps de montée et le temps de réponse n'étant tous deux pas atteints. Vient maintenant le piège. Le facteur 1 + K·K_p = 2,2 qui divise l'erreur divise également la constante de temps du procédé ; cette boucle atteint donc sa réponse erronée en 0,4545 s au lieu des 1 s propres au procédé. Vitesse et précision dépendent du même bouton de réglage, et ce bouton coûte cher : réduire l'erreur à 1 % nécessite K_p ≥ 99, et à t = 0 l'erreur correspond à la totalité de la consigne, si bien que le régulateur commence par exiger 99 fois la sortie qu'il cherche à produire. Le gain proportionnel ne supprime jamais l'écart statique — il le rend seulement suffisamment petit pour être ignoré, au prix d'une première action violente. Pour le supprimer, il faut un terme qui continue de pousser une fois que l'erreur a cessé d'évoluer.

$e_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}}, τ^{'} = \frac{τ}{1 + K K _{p}} = \frac{1.00}{2.2} = 0.4545 s$
Quelle part de l'erreur statique survit à un intégrateur après 10 s 5 étapes
Un intégrateur est censé faire disparaître l'écart statique. Déterminez la part qui en subsiste après 10 s, et déterminez le gain à partir duquel cette boucle commencerait plutôt à osciller. Il s'agit de PI : K_p = 1, K_i = 0,6, K_d = 0, τ = 1 s, K = 1, r = 1.
1. Le fait que l'écart statique disparaisse relève du raisonnement et non du calcul. Supposons que la boucle se stabilise avec une erreur constante qui n'est pas 0. Alors son intégrale courante croît sans limite, de sorte que la commande croît sans limite, et que la sortie croît sans limite — ce qui n'est pas un état stabilisé. La seule erreur constante qu'une boucle PI stabilisée puisse présenter est 0, quels que soient les gains.
  
  $\overset{y}{˙} = 0, e \equiv c \neq = 0 : \int_{0}^{t} e d t = c t \to \infty ⟹ u \to \infty ⟹ c = 0$
2. Savoir qu'elle y parvient ne dit rien sur le moment où elle y parvient. Dérivez l'équation de la boucle une fois pour éliminer le symbole d'intégration, et remarquez ce qu'il advient de l'ordre : un procédé du premier ordre sous régulation PI devient un système du second ordre, avec tout le comportement que cela implique.
  
  $τ \overset{y}{˙} = - y + K (K_{p} e + K_{i} \int e d t), \overset{e}{˙} = - \overset{y}{˙} ⟹ τ \overset{y}{¨} + (1 + K K_{p}) \overset{y}{˙} + K K_{i} y = K K_{i} r$
3. L'erreur obéit à la même équation sans le terme d'entraînement de la consigne, elle s'exprime donc comme une somme d'exponentielles dont les taux sont les racines. Ici, le discriminant est positif, les deux racines sont réelles et négatives, et il n'y a plus rien pour entretenir d'oscillation — c'est pourquoi la ligne du dépassement indique 0,0 % plutôt qu'un faible pourcentage.
  
  $\overset{e}{¨} + 2 \overset{e}{˙} + 0.6 e = 0, s = - 1 \pm 1 - 0.6 = - 0.3675, - 1.6325$
4. Deux conditions initiales fixent les deux coefficients. À t = 0, rien n'a bougé, de sorte que l'erreur est égale à la totalité de la consigne ; et la pente initiale du procédé vaut K·K_p·r/τ = 1, de sorte que la pente initiale de l'erreur est de -1. En résolvant ce système, les deux coefficients s'établissent exactement à 0,5, ce qui est une coïncidence propre à ces gains et non un résultat général.
  
  $e (0) = 1, \overset{e}{˙} (0) = - \frac{K K _{p} r}{τ} = - 1 ⟹ e (t) = 0.5 e^{- 0.3675 t} + 0.5 e^{- 1.6325 t}$
5. À 10 s, la racine rapide est éteinte depuis longtemps — son terme s'est réduit à 4×10⁻⁸ — si bien que la racine lente constitue toute la réponse, et elle n'a eu que 3,7 de ses propres constantes de temps pour agir. Rien n'a dysfonctionné ; la boucle est simplement encore en train de converger.
  
  $e (10) = 0.5 e^{- 3.675} + 0.5 e^{- 16.325} = 0.01268 + 4 \times 1 0^{- 8} = 0.0127, y (10) = 0.9873$
Réponse

L'outil affiche y(10 s) = 0,99 et une erreur résiduelle de 0,013. L'écart statique s'estompe, mais à la fin de la fenêtre graphique il est encore de 1,3 %, et c'est le vrai prix de l'action intégrale : elle annule l'erreur en principe, mais prend son temps en pratique. Atteindre 0,1 % nécessite ln(500)/0,3675 = 16,9 s, soit au-delà du bord droit du graphique ; cette fenêtre ne peut donc pas vous montrer une boucle PI stabilisée avec ces gains. Augmenter K_i pour accélérer les choses vous heurte à un mur — le discriminant devient négatif pour K_i = 1, valeur au-delà de laquelle les racines sont complexes et la réponse oscille. La différence de fond a plus de valeur que l'un ou l'autre de ces nombres. L'écart statique du régulateur proportionnel était r/(1 + K·K_p), expression qui contient le gain du procédé, si bien qu'une vanne qui s'encrasse ou un moteur qui s'affaiblit modifie le résultat : divisez K par deux et l'erreur du P seul passe de 0,455 à 0,625. Le point de stabilisation du régulateur PI ne contient absolument aucun K. C'est pourquoi les boucles régulées industrielles comportent un intégrateur — non pas parce qu'il est plus précis aujourd'hui, mais parce qu'il reste précis lorsque le procédé évolue sous son action.

$(1 + K K_{p})^{2} - 4 τ K K_{i} \geq 0 ⟺ K_{i} \leq \frac{( 1 + K K _{p} ) ^{2}}{4 τ K} = 1$

Références (1)

Insight block 3 — the helmsman, and the three terms taken from watching him: N. Minorsky, "Directional stability of automatically steered bodies." Journal of the American Society for Naval Engineers 34(2), 280–309, 1922.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-31

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Exemples de problèmes

P seul - Avec kp = 1,2 seul, la sortie se stabilise à 0,5455 et y reste. Le déficit de 45,5 % est exactement égal à kp/(1 + kp) : l’action proportionnelle ne peut pas combler le dernier écart.
PI - Sur le même procédé, l’ajout de ki = 0,6 permet d’atteindre 0,9873 au bout de dix secondes, et la sortie continue de se rapprocher de la consigne. C’est l’action intégrale qui élimine l’écart statique laissé par P seul.
avec action dérivée - Avec kd = 0,2 ajouté à kp = 1,3 et ki = 0,5, presque rien ne change : 0,9663 au bout de dix secondes, contre 0,9873 avec PI. Sur un procédé du premier ordre, le terme D ajoute du retard au lieu d’amortir.