Résistance interne et f.é.m.

Choisissez une source et une charge. La page calcule l'intensité, la tension réelle aux bornes, la répartition de la puissance entre la charge et l'intérieur de la source, et à quel point vous vous approchez du maximum absolu que cette source peut fournir.

Exemple résolu — Résistance interne et f.é.m.

Intensité dans le circuit	0,2992 A
Tension aux bornes	1,4961 V
Puissance dans la charge	0,4477 W
Puissance dissipée en interne	0,0161 W
Part qui atteint la charge	96,53%
Le maximum que cette source puisse fournir	3,3368 W
La fraction de ce maximum que vous obtenez	13,42%
Ce qu'un court-circuit franc tirerait	8,611 A

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Résistance interne et f.é.m.

Une source réelle correspond à deux éléments en série : une force électromotrice E (l'énergie qu'elle donne à chaque coulomb) et une résistance interne r, qui représente tout ce qui s'oppose au courant à l'intérieur de la source (électrolyte, électrodes, connexions aux bornes). Ce que vous pouvez mesurer de l'extérieur est la tension aux bornes, V = E − Ir. Elle n'égale la f.é.m. que lorsqu'aucun courant ne circule. L'intensité dans le circuit est I = E/(R+r), la charge reçoit I²R, la source elle-même dissipe I²r, et la fraction qui atteint la charge est η = R/(R+r).

Ce que signifie chaque symbole

E: la f.é.m., en volts. L'énergie par coulomb fournie par la source, et la valeur lue sans rien de connecté
r: la résistance interne, en ohms. Ce n'est pas un composant que l'on peut pointer du doigt. C'est l'ensemble de l'opposition de la source au courant, réuni en un seul chiffre
R: la charge, en ohms. La seule grandeur de cette liste qui dépend de vous plutôt que de la source
I: l'intensité, en ampères. Identique partout dans le circuit, car la source et la charge sont en série
η: le rendement, R/(R+r). La part de l'énergie fournie qui atteint la charge plutôt que de chauffer la source

Suppose: Une force électromotrice constante, une résistance interne constante et un courant continu stable : c'est l'équivalent de Thévenin de la source. Il est rigoureusement exact pour une source linéaire, et offre une bonne première approximation pour une source chimique. Une vraie pile s'écarte lentement de ces deux premiers principes. Sa résistance r augmente au fil de la décharge, et grimpe en flèche dans le froid. Sa tension E chute avec son niveau de charge. C'est la raison pour laquelle le démarreur d'une voiture glacée tourne lentement un matin d'hiver pour deux raisons simultanées, et non une seule. Les valeurs indiquées pour chaque source de cette liste sont représentatives. Elles ne proviennent pas des mesures d'une pile en particulier.
Ne tient plus quand: Sur toute source dont la caractéristique n'est pas une ligne droite. La cellule solaire de la liste est la pire de cette page à cet égard. La tension aux bornes d'une cellule photovoltaïque en fonction du courant est une courbe. Un r unique n'est donc qu'une approximation locale et son point de puissance maximale est très éloigné de R = r. C'est exactement pourquoi les onduleurs solaires intègrent un suivi du point de puissance maximale au lieu d'une charge adaptée fixe. Une pile chimique réelle s'incurve également. Elle chute plus vite que la droite ne le prédit une fois le courant assez fort pour que l'électrolyte ne puisse plus suivre. Le résultat de 50 % concerne par ailleurs la puissance continue, pas l'énergie stockée. Faire fonctionner une batterie sur sa charge adaptée permet d'en tirer le maximum de watts, mais restitue moins de la moitié de sa charge. C'est pourquoi aucun système devant durer n'y fonctionne jamais.

La puissance maximale s'obtient à 50 % de rendement 🖖

Cliquez sur Charge adaptée. La pile alimente 0,18 Ω, l'équivalent de sa propre résistance interne. La charge absorbe 3,3368 W, le maximum que cette pile puisse fournir à quoi que ce soit. Lisez maintenant la ligne du dessous. La pile dissipe également 3,3368 W. La moitié exacte de l'énergie chimique se transforme en chaleur à l'intérieur. Ce n'est pas une particularité de cette pile. La formule η = R/(R+r) donne un demi chaque fois que R = r, pour toute source et à n'importe quelle tension. Le premier panneau trace les deux puissances ensemble. L'une monte en cloche, l'autre chute, et elles se croisent au sommet. Tirer le maximum d'une source et en gaspiller le minimum sont des choix distincts. Vous devez en privilégier un.

Neuf fois la charge ou un neuvième, la même puissance 🖖

Cliquez sur Neuf fois r, puis sur Un neuvième de r. Les deux fournissent 1,2013 W à la charge, soit 36,00 % du maximum. Le coût, en revanche, diffère. À 1,62 Ω, la pile fonctionne à 90,00 % et s'échauffe de 0,1335 W. À 0,02 Ω, elle fonctionne à 10,00 % et s'échauffe de 10,8113 W. C'est quatre-vingt-une fois plus de chaleur pour une même puissance délivrée. Le tableau ci-dessous illustre cette symétrie. La colonne des puissances se lit à l'identique dans les deux sens, contrairement à la colonne du rendement. Toute la question est de savoir de quel côté du sommet vous vous trouvez. Un récepteur radio est adapté en impédance car le signal représente son unique ressource. Une centrale électrique ne l'est jamais, parce que son combustible a un prix.

Ces deux piles semblent bonnes au voltmètre 🖖

Un voltmètre aux bornes d'une pile AA indique 1,55 V, car un voltmètre ne consomme presque rien. R est énorme, I est presque nul, et V = E − Ir n'a rien à soustraire. Connectez un composant réel et la mesure devient une déclaration sur la charge. 1,4961 V dans une ampoule de torche, 0,7750 V dans 0,18 Ω. C'est pourquoi un testeur de pile place une charge aux bornes au lieu de simplement mesurer la tension. La même arithmétique indique ce qu'une source peut faire. Un court-circuit franc tire E/r, soit 8,611 A pour cette pile et 2 520 A pour une batterie de voiture. C'est 293 fois plus de courant pour 8 fois la tension. La résistance interne accomplit tout cela.

Problème entièrement résolu

Déterminer la résistance interne d'une pile sans l'ouvrir 6 étapes
Vous disposez d'une pile, d'un voltmètre, d'un ampèremètre et de deux résistances, 10 Ω et 1 Ω. Aux bornes de celle de 10 Ω, vous lisez 0,152259 A à 1,522593 V. Sur celle de 1 Ω, vous lisez 1,313559 A à 1,313559 V. Trouvez la f.é.m. et la résistance interne, puis indiquez ce que la pile ferait en court-circuit franc, sans la court-circuiter.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Toutes les mesures possibles se placent sur la même droite, V = E − Ir. Deux points définissent une droite, donc deux résistances suffisent.
  
  $V = E - I r$
2. Calculez la pente entre les deux mesures. Elle s'établit à −0,180000 V par ampère.
  
  $\frac{Δ V}{Δ I} = \frac{1 . 313559 - 1 . 522593}{1 . 313559 - 0 . 152259} = \frac{- 0 . 209034}{1 . 161300} = - 0.180000$
3. Cette pente est −r. La résistance interne est donc de 0,1800 Ω. Il n'a rien fallu démonter pour l'obtenir.
  
  $r = - \frac{Δ V}{Δ I} = 0.1800 Ω$
4. L'ordonnée à l'origine est la f.é.m. Rajoutez les volts que la résistance interne absorbait à chaque lecture.
  
  $E = V + I r = 1.522593 + 0.152259 \cdot 0.18 = 1.550000 V$
5. Vérifiez avec l'autre point. C'est tout l'intérêt de mesurer deux fois. 1,313559 + 1,313559 × 0,18 redonne 1,550000 V.
  
  $1.313559 + 1.313559 \cdot 0.18 = 1.550000 V$
6. Les deux extrémités de la droite sont maintenant connues, tout comme ce qui se trouve entre elles. Vous connaissez la puissance maximale que la pile peut délivrer, le point où cela se produit, ainsi que l'intensité qu'un court-circuit franc tirerait.
  
  $P_{m a x} = \frac{E ^{2}}{4 r} R = r \frac{E}{r} 3.3368 W 0.1800 Ω 8.611 A$
Réponse

E = 1,550000 V et r = 0,1800 Ω, à partir de deux lectures de voltmètre. La puissance crête de la pile est de E²/4r = 3,3368 W dans une charge de 0,1800 Ω, et un court-circuit franc tirerait E/r = 8,611 A. Ce dernier chiffre illustre le but de la méthode. Vous pouvez déclarer ce qu'une pile fera dans l'unique condition où vous ne devez jamais la placer, car la droite va jusqu'à l'axe, que vous l'y suiviez ou non. C'est aussi ainsi qu'un système de gestion de batterie sait qu'un pack vieillit. La valeur r grimpe en premier, bien avant la tension sur l'étiquette.

$E = 1.550000 V, r = 0.1800 Ω \Rightarrow \frac{E}{r} = 8.611 A$

Parcours

Ce que la loi d’Ohm laisse de côté

Références (2)

Insight block 1 is one reading of the maximum power transfer theorem and there are several, which is what this survey is for — the load that takes the most power, the source resistance that does, and the conjugate match are three different questions with three different answers: S. C. Dutta Roy, "Many Faces of the Maximum Power Transfer Theorem." International Journal of Electrical Engineering & Education 40(2), 2003, pp. 103-111. DOI 10.7227/ijeee.40.2.1
The Thevenin equivalent the whole page rests on, and the three forms of resistive power the results table uses. Cited across this chapter on purpose: one circuits text. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.