Résistance et résistivité des fils

Choisissez un matériau, une longueur, une épaisseur et une température. La page calcule la résistance de ce fil, ce qu'il vous coûte en tension et en chaleur au courant défini, et ce que le même travail pèserait dans six autres métaux.

Exemple résolu — Résistance et résistivité des fils

Section efficace	1,5001 mm²
Résistivité à cette température	1,68 × 10⁻⁸ Ω·m
Résistance totale du fil	2,2399 Ω
Résistance par mètre	1,12 × 10⁻² Ω/m
Chute de tension	19,478 V
Puissance dissipée en chaleur	169,4 W
Résistance ÷ sa valeur à 20 °C	1,0000
Masse du conducteur	2,688 kg

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Résistance et résistivité des fils

La résistance d'un fil s'exprime par R = ρL/A : la résistivité ρ de son matériau, multipliée par sa longueur, divisée par sa section efficace. La résistivité se mesure en ohms-mètres et n'appartient qu'à la substance. Le cuivre affiche 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m, qu'il s'agisse d'un cheveu ou d'une barre omnibus. La forme du fil réside entièrement dans L et A. La surface fait intervenir le carré du diamètre, A = πd²/4, l'épaisseur compte donc double. La résistivité varie avec la température. Cette page emploie la formule du premier ordre ρ(T) = ρ₂₀(1 + α(T − 20)).

Ce que signifie chaque symbole

ρ: résistivité, en ohms-mètres. Propriété du matériau et de rien d'autre, indépendante de la forme du fil
L: longueur du conducteur, en mètres. Dans un câble, cela inclut l'aller ET le retour, ce qui constitue l'objet du problème résolu
A: section efficace, en m². πd²/4 pour un fil rond, ainsi doubler le diamètre divise la résistance par quatre
α: coefficient de température, par kelvin. Autour de 0,004 pour un métal pur et dix fois plus petit pour un alliage résistant
R: résistance de ce morceau de fil spécifique, en ohms. C'est l'unique grandeur ici qui dépend de toutes les autres

Suppose: Courant continu, un conducteur d'un seul matériau avec une section ronde constante sur toute sa longueur, et une résistivité qui suit une ligne droite passant par sa valeur à 20 °C. Les chiffres concernent des métaux purs recuits. Un câble commercial est allié et écroui, ce qui l'augmente de quelques pour cent. Le nichrome désigne une famille de compositions plutôt qu'une seule, considérez donc ses 1,10 × 10⁻⁶ Ω·m comme le milieu d'une plage. La colonne des masses ne concerne que le conducteur, sans isolant, sans âme en acier et sans flèche.
Ne tient plus quand: Loin de 20 °C, limite honnête de la droite précédente. Extrapolez ce modèle à un filament de lampe à 2 800 °C : il donne 13,5 fois la résistance à température ambiante. La valeur réelle du tungstène est supérieure. C'est précisément pour cela que le chapitre Résistances en série et en parallèle indique qu'un filament conduit mieux à froid qu'à chaud et n'avance aucun chiffre. Le modèle échoue dans quatre autres cas. Le courant alternatif repousse la charge vers la surface. Un conducteur épais cesse d'utiliser son centre et sa section efficace devient inférieure à πd²/4. Les semi-conducteurs et le carbone inversent le coefficient et conduisent mieux lorsqu'ils chauffent. Un supraconducteur annule totalement ρ, le calcul R = ρL/A n'a alors plus d'utilité. Enfin, aux extrémités de tout fil réel se trouve une résistance de contact. Elle appartient au raccordement plutôt qu'au métal, et c'est elle qui fait griller une connexion desserrée.

Ici, un seul métal pèse moins lourd que le cuivre 🖖

L'aluminium est le moins bon conducteur : sa résistivité atteint 1,577 fois celle du cuivre. Égaler un câble en cuivre exige par conséquent une section 57,7 % plus grande et un fil 25,6 % plus épais. Pesez-le ensuite. L'aluminium est 3,32 fois moins dense, et 1,577 ÷ 3,32 donne 0,475 : la même résistance, la même longueur, pour 47,5 % du poids. Parcourez la dernière colonne du tableau ci-dessous et cherchez un nombre inférieur à 1. Il y en a un. L'argent conduit mieux le courant que le cuivre et finit pourtant par peser plus lourd. Le constat est identique pour l'or, le tungstène, le fer et le nichrome. Ce rapport unique explique pourquoi toutes les lignes aériennes sous lesquelles vous avez conduit sont en aluminium, et pourquoi le cuivre reste à l'intérieur, là où rien n'a besoin de le supporter.

Dix fois la tension, un centième de la chaleur 🖖

Cliquez sur Ligne aérienne : 100 km d'aluminium de 400 mm², 6,6248 Ω. Faites-y passer 100 MW. Le courant correspond à la puissance divisée par la tension et la perte vaut I²R, elle diminue donc comme le carré de la tension. À 400 kV, la ligne transporte 250 A et dissipe 0,414 MW, soit 0,414 % de l'énergie envoyée. À 40 kV, elle transporte 2 500 A et dissipe 41,4 MW. À 10 kV, le calcul exige 662,5 MW d'une ligne censée en livrer 100. C'est une façon de montrer que la ligne ne peut absolument pas accomplir cette tâche. Le fil lui-même n'a pas changé. Seul le chiffre sur le transformateur a évolué.

Le nichrome remarque à peine la chaleur, contrairement au cuivre 🖖

Cliquez sur Rallonge de 100 m, puis sur Même rallonge, chaude. Seule la température varie. La résistance passe de 2,2399 Ω à 2,9639 Ω, et les 169,4 W de pertes atteignent 224,1 W. Entre 0 °C et 100 °C, le cuivre prend 44,0 % de résistance. Sur les mêmes cent degrés, le nichrome n'augmente que de 4,0 %. Cette courbe onze fois plus plate constitue la raison d'être de l'alliage. Un élément chauffant doit rougeoyer tout en consommant exactement ce pour quoi il a été conçu. Le second panneau place les sept matériaux côte à côte, chacun par rapport à sa valeur à 20 °C. Il ne reste plus qu'à comparer la pente.

Problème entièrement résolu

Radiateur de 2 kW au bout de 100 mètres de câble souple 6 étapes
Un radiateur de 2 kW est branché sur une rallonge de 100 m de fil de cuivre souple de 1,5 mm², alimentée en 230 V. Calculez quelle part de ces 2 kW parvient réellement au radiateur, avant de poursuivre la lecture. Cliquez sur Rallonge de 100 m pour en voir la première moitié dans l'outil.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. L'étiquette indique 1,5 mm², ce qui représente la section d'un seul conducteur. En diamètre, cela donne 1,382 mm, et la surface affichée par l'outil est de 1,5001 mm².
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \cdot 1 . 38 2 ^{2}}{4} = 1.5001 m m^{2} = 1.5001 \times 1 0^{- 6} m^{2}$
2. Voici l'étape que presque tout le monde oublie. Une rallonge de 100 m transporte le courant sur 100 m à l'aller et 100 m au retour, le conducteur mesure donc 200 m de long.
  
  $L = 2 \times 100 = 200 m$
3. Appliquons ρL/A, avec le cuivre à 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m : 2,2399 Ω.
  
  $R = \frac{ρ L}{A} = \frac{1 . 68 \times 1 0 ^{- 8} \cdot 200}{1 . 5001 \times 1 0 ^{- 6}} = 2.2399 Ω$
4. Prenez le courant déduit de la puissance du radiateur, soit 8,696 A. Cela ferait perdre 19,478 V le long de la rallonge et y laisserait 169,4 W. Ce sont les deux chiffres donnés par l'outil.
  
  $I = \frac{2000}{230} = 8.696 A \Rightarrow V = 19.478 V, P = I^{2} R = 169.4 W$
5. Mais ce courant est faux, et la leçon précédente en donne la raison. La rallonge et le radiateur sont en série, l'alimentation perçoit donc les deux. Un radiateur de 2 kW sur 230 V offre 26,45 Ω, l'ensemble atteint 28,6899 Ω, et le courant réel s'établit à 8,0168 A.
  
  $R_{load} = \frac{23 0 ^{2}}{2000} R_{load} + R_{lead} I = \frac{230}{28 . 6899} 26.45 Ω 28.6899 Ω 8.0168 A$
6. Refaites les deux calculs avec le courant qui circule vraiment. Il reste 212,04 V aux bornes du radiateur, qui fournit 1 699,9 W. La rallonge absorbe 144,0 W.
  
  $V_{load} = I R_{load} P_{load} = I^{2} R_{load} P_{lead} = I^{2} R_{lead} 212.04 V 1, 699.9 W 144.0 W$
Réponse

Le radiateur délivre 1 699,9 W sur ses 2 000. Ainsi 300,1 W de chauffage ne se produisent jamais. Seuls 144,0 W de ce manque réchauffent le câble. Les 156,1 W restants ne sont même pas tirés de l'alimentation. Le radiateur est une résistance, et une résistance sous 212 V absorbe moins de courant que sous 230. C'est la partie que le calcul naïf fausse dans le sens de la sécurité. Il surestime le courant, et majore donc la perte dans la rallonge de 18 %. Le danger qu'il sous-estime se trouve ailleurs, dans les 144 W piégés à l'intérieur d'un touret enroulé sans aucun moyen de s'échapper.

$\frac{1 , 699 . 9}{2 , 000} = 0.84992, 000 - 1, 699.9 = 300.1 W$

Parcours

Ce que la loi d’Ohm laisse de côté

Références (3)

Where the resistivity of an element and its temperature dependence are tabulated. This is the source for the SHAPE of what this page computes; the figures it prints are the standard handbook set, and the note below says so: P. D. Desai, T. K. Chu, H. M. James and C. Y. Ho, "Electrical Resistivity of Selected Elements." Journal of Physical and Chemical Reference Data 13(4), 1984, pp. 1069-1096. DOI 10.1063/1.555723
The combination rules and the three forms of resistive power the last two steps of the worked problem use. Cited on Ohm's Law and on Resistors in Series and Parallel as well, deliberately: one circuits text across the chapter. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.
Insight block 1 as a live engineering decision rather than a physics exercise. Modern overhead lines trade the same two properties this page divides against each other, and the paper costs out the result on ultra-high-voltage spans: Y. Zhang, H. Sun, X. Zhang, Z. Chen, L. Zhou and X. Huang, "Economic analysis of aluminium conductor composite core and conventional aluminium conductor steel reinforced conductors in overhead ultra-high voltage transmission lines." IET Generation, Transmission & Distribution 17(5), 2023, pp. 1098-1110. DOI 10.1049/gtd2.12719

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.