Tension alternative : efficace, crête et ce que lit votre multimètre

Choisissez une forme d'onde, une tension crête et une charge. La page calcule la valeur efficace, la puissance réellement fournie et la mesure qu'afficherait un multimètre à valeur moyenne. Pour deux des trois signaux proposés, ces nombres diffèrent.

Exemple résolu — Tension alternative : efficace, crête et ce que lit votre multimètre

Tension crête	325,2691 V
Tension efficace	230,0000 V
Moyenne de l'onde redressée	207,0727 V
Facteur de crête, crête ÷ eff.	1,41421
Facteur de forme, eff. ÷ moy.	1,11072
Puissance dans la charge	529,000 W
Lecture du multimètre	230,0000 V
Erreur de mesure	0,0000%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Tension alternative : efficace, crête et ce que lit votre multimètre

Une tension alternative ne possède aucune moyenne utile. Sur un cycle complet, une onde symétrique passe autant de temps dans le négatif que dans le positif, ce qui donne une moyenne nulle. Ce qui compte vraiment, c'est la valeur efficace, la racine carrée de la moyenne du carré de la tension. Le passage au carré supprime le signe et la puissance dépend de ce carré. P = V²ᵣₘₛ/R, ce qui signifie que la valeur efficace correspond très exactement à la tension continue qui produirait le même échauffement dans la même résistance. C'est la raison pour laquelle ce nombre mérite de figurer sur une étiquette. Cette page considère la définition comme acquise. Wasteland Signal la déduit des principes fondamentaux et démontre que ni la phase ni la fréquence n'interviennent. Vous trouverez ici ce qui en découle : le facteur de crête, soit la crête sur la valeur efficace, et le facteur de forme, soit la valeur efficace sur la moyenne redressée. Ce dernier nombre est celui dont un instrument a besoin, et qu'il se contente généralement de deviner.

Ce que signifie chaque symbole

V_pk: la crête, en volts. Ce que l'isolant, l'interrupteur et le transistor doivent supporter
V_rms: la valeur efficace, en volts. La tension continue qui chaufferait la même résistance à l'identique, et celle qui figure sur l'étiquette
|v|: l'onde redressée. Sa moyenne simple correspond à ce qu'un multimètre à valeur moyenne mesure réellement avant de multiplier le résultat
crest: crête ÷ valeur efficace. Vaut 1,41421 pour une sinusoïde, 1 pour un carré et 1,73205 pour un triangle
form: valeur efficace ÷ moyenne. Vaut 1,110721 pour une sinusoïde, ce qui correspond au coefficient qu'un multimètre bon marché applique à n'importe quel signal

Suppose: Cette page suppose des formes d'onde symétriques sans composante continue, une charge purement résistive et un multimètre à valeur moyenne idéal. Il doit redresser parfaitement le signal et posséder une bande passante illimitée. Un appareil réel ne présente aucune de ces deux caractéristiques. Les diodes de son redresseur manquent de précision près de zéro et sa bande passante se limite généralement à quelques kilohertz. Les erreurs citées ici sont donc celles qui subsistent une fois que l'on considère l'instrument comme parfait par ailleurs. Les trois formes d'onde sont également idéales. La sortie d'un véritable onduleur ne produit pas un carré parfait, mais un signal modifié avec un palier au passage par zéro, ce qui modifie encore son facteur de forme.
Ne tient plus quand: Le modèle s'effondre avec toute charge autre qu'une résistance. La puissance dans une charge inductive ou capacitive ne vaut pas V²ᵣₘₛ/R, ni VᵣₘₛIᵣₘₛ. Le courant et la tension atteignent leur crête à des instants différents. Le rapport entre la puissance active et leur produit s'appelle le facteur de puissance, et cette page ne le modélise pas du tout. Le modèle échoue en présence d'une composante continue. La valeur efficace d'une onde superposée à un niveau continu équivaut à la racine carrée de la somme des carrés des deux composantes. C'est pourquoi une alimentation redressée en simple alternance ne peut être décrite par ce qui précède. Enfin, le modèle atteint ses limites quand les mathématiques sont justes mais que la lecture pose problème. Un multimètre à valeur efficace vraie possède un facteur de crête maximal, généralement autour de 3. Une forme d'onde plus pointue sature son entrée bien avant que le nombre affiché ne paraisse suspect.

Votre multimètre multiplie par 1,110721 et croise les doigts 🖖

Un multimètre à valeur moyenne (la majorité des modèles abordables) ne mesure pas du tout la valeur efficace. Il redresse l'onde, en mesure la moyenne simple, et la multiplie par 1,110721. Ce nombre est le rapport de la valeur efficace sur la moyenne redressée pour une sinusoïde. Soumettez-lui une sinusoïde et il tombe juste. Cliquez sur Onduleur bon marché et il lira 361,2831 V alors que la réalité est 325,2691, soit une erreur par excès de 11,0721 %. Cliquez sur Triangle, même crête et il affichera une valeur inférieure de 3,8088 %. Cette erreur n'est pas un simple bruit et ne s'annule pas sur la durée. Il s'agit d'une propriété fixe de la forme de l'onde, et l'instrument n'a aucun moyen de savoir quelle forme il analyse. C'est exactement pour cela que l'on paie l'appellation true RMS sur un multimètre plus onéreux.

Une même crête pour une puissance triplée 🖖

Sélectionnez les trois premiers préréglages dans l'ordre. La tension crête atteint 325,2691 V pour chacun d'eux. La puissance dissipée dans cette même résistance de 100 Ω vaut 529,000 W, 1 058,000 W et 352,667 W. Entre le carré et le triangle, le facteur est d'exactement 3 pour une hauteur identique. L'échauffement ne se préoccupe pas de la hauteur atteinte par une forme d'onde. Il dépend de la moyenne de son carré. Une onde carrée passe tout son temps à pleine hauteur, tandis qu'un triangle n'y reste presque jamais. C'est également pour cela que la crête ne permet pas de dimensionner un isolant, ni de concevoir un dispositif de chauffage. Ce sont deux problèmes distincts qui appellent des réponses différentes.

La prise indique 230 et le condensateur subit 325 🖖

Ces deux nombres sont réels et s'adressent à des composants différents. Une tension de 230 V chauffe une bouilloire. Le nombre 325,2691 V représente ce que l'isolant, les contacts de l'interrupteur et le semi-conducteur doivent supporter, deux fois par cycle et cinquante fois par seconde. Cet écart devient critique lorsqu'un condensateur entre en jeu. Ce composant se charge vers la crête et s'y maintient. Un transformateur portant l'indication 12 V impose 16,9706 V à un condensateur de lissage avant même de brancher la moindre charge. Le problème résolu ci-dessous étudie un composant choisi d'après l'étiquette qui finit tout de même par tomber en panne, et précisément pour cette raison.

Problème entièrement résolu

Le condensateur de 16 V sur un transformateur de 12 V qui lâche quand même 6 étapes
Un projet nécessite une tension de 12 V continu. Vous achetez un transformateur portant l'indication 12 V alternatif, vous redressez la tension avec un pont de diodes et vous la lissez avec un condensateur donné pour 16 V. Le circuit fonctionne à l'atelier et tombe en panne sur le terrain. Essayez de comprendre pourquoi avant de poursuivre. Cliquez sur Transformateur 12 V pour voir la première étape sur l'outil.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. L'étiquette indique une valeur efficace, comme c'est le cas pour tout marquage en alternatif. La crête vaut √2 fois cette valeur.
  
  $V_{m a x} = 2 V_{rms} = 1.41421 \cdot 12 = 16.9706 V$
2. Un condensateur de lissage se charge vers la crête et s'y maintient. Il subit donc 16,9706 V, et non 12.
  
  $V_{C} \to V_{m a x} = 16.9706 V$
3. Un pont redresseur induit la chute de tension de deux diodes au passage, soit environ 0,7 V chacune.
  
  $2 \times 0.7 = 1.4 V$
4. À vide, le condensateur reçoit donc 15,571 V. C'est en dessous de sa limite de 16 V, avec une marge de 2,68 %. Cette valeur représente l'intégralité de la marge de sécurité du circuit.
  
  $16.9706 - 1.4 = 15.571 V \frac{15 . 571}{16} = 0.9732$
5. Vient maintenant le problème qui ne survient que sur le terrain. Le secteur présente une tolérance, souvent de +10 %, et la sortie du transformateur suit cette variation. Vous obtenez 13,2 V efficace au lieu de 12.
  
  $12 \times 1.10 = 13.2 V$
6. Refaites les trois mêmes étapes avec 13,2 V et vous constatez que le condensateur dépasse sa tension nominale, lors d'une journée sans aucune anomalie.
  
  $2 \cdot 13.2 - 1.4 \div 16 18.6676 V 17.268 V 1.0792$
Réponse

Une tension de 17,268 V aux bornes d'un condensateur de 16 V. Le composant subit un dépassement de 7,9 % de sa tension nominale lors d'une journée tout à fait ordinaire où le secteur se trouve dans la fourchette haute. Rien n'a été mal calculé dans la conception. L'erreur consistait à lire une étiquette comme si elle décrivait la tension que la pièce allait subir. Elle décrit en réalité l'équivalent thermique d'une onde dont la crête est 41,4 % plus élevée. La règle pratique qui en découle veut que l'on choisisse le condensateur en fonction de la crête maximale autorisée par la tolérance de l'alimentation, pour ensuite ajouter une marge de sécurité. C'est pourquoi un rail de 12 V est généralement lissé par un composant de 25 V et ne doit jamais l'être par un modèle de 16 V.

$\frac{17 . 268}{16} = 1.0792 \Rightarrow + 7 . 9%$

Parcours

Ce que la loi d’Ohm laisse de côté

Références (2)

Insight 1 is about a measurement error, and the metrology literature treats the square wave as the standard case for exactly that reason — it is the waveform a true-RMS instrument is checked against: P. M. Tzvetkov and K. S. Galabov, "True RMS voltmeter calibration by reference square waveform signal and algorithm for measurement and processing of results." 2021 XXXI International Scientific Symposium Metrology and Metrology Assurance (MMA), 2021, pp. 1-4. DOI 10.1109/mma52675.2021.9610853
The derivation this page deliberately does not repeat lives on another tool in this repo rather than in a citation, and is worth naming as a source in its own right: Wasteland Signal works RMS out from the amplitudes and shows that phase and frequency never enter. The RMS definition, its cross-product argument and the independence from phase: see /tidal/wasteland-signal on this site, whose worked problem derives the whole of it.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.