Laboratoire Moyenne vs Médiane

Les revenus suivent une loi log-normale avec σ = 1,5. Calculez la proportion de personnes qui gagnent moins que la moyenne. Montrez ensuite que vous n'avez jamais eu besoin de σ — une moyenne et une médiane publiées suffisent.

1. Loi log-normale signifie que le logarithme suit une loi normale : ln X est N(μ, σ²). Tout ce qui suit est un énoncé sur ln X traduit en sens inverse, et c'est la seule astuce du problème.

   $$\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$

2. La médiane est simple. La moitié de ln X se situe sous μ, et le logarithme conserve l'ordre, donc la moitié de X se situe sous e^μ. La médiane vaut e^μ.

   $$\text{median}=e^{\mu },\text{mean}=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$$

3. La moyenne n'est pas e^μ, et cet écart constitue tout le sujet. Pour une loi log-normale, elle vaut e^(μ + σ²/2) — la moyenne est supérieure à la médiane d'un facteur e^(σ²/2), ce qui pour σ = 1,5 donne e^1,125 = 3,0802.

   $$\frac{\text{mean}}{\text{median}}=e^{{\sigma }^2/2}=e^{1.125}=3.0802$$

4. Passons à la proportion. Demander quelle fraction gagne moins que la moyenne revient à demander P(X < e^(μ + σ²/2)), et prendre le logarithme des deux côtés transforme cela en P(ln X < μ + σ²/2), ce qui est une question sur la loi normale avec une réponse classique.

   $$P\left(X<e^{\mu +{\sigma }^2/2}\right)=P\left(\ln X<\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\right)$$

5. Standardisez : soustrayez μ et divisez par σ, et le μ s'annule. La réponse est Φ(σ/2), et pour σ = 1,5, cela donne Φ(0,75) = 0,7734. 77,34 % gagnent moins que la moyenne.

   $$=\Phi \left(\frac{\mu +{\sigma }^2/2-\mu }{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{\sigma }{2}\right)=\Phi (0.75)=0.7734$$

6. μ a disparu : l’échelle n’a donc aucune incidence. Qu’une population ait pour médiane 1, 148 ou 22 026, on obtient toujours les 77,3 % affichés dans le panneau. Reprenez maintenant le raisonnement en sens inverse : σ = √(2 ln(moyenne/médiane)). Le rapport suffit à déterminer σ, qui donne à son tour la proportion.

   $$\sigma =\sqrt{2\ln \left(\frac{\text{mean}}{\text{median}}\right)}\Rightarrow \text{share}=\Phi \left(\frac{\sigma }{2}\right)$$

Un village de cinq ménages déclare des revenus de 10, 20, 30, 40 et 5 000. Calculez la moyenne et la médiane, puis supposez qu'un des cinq chiffres est une erreur de frappe et déterminez ce que l'on peut encore affirmer.

1. La moyenne est le total réparti : 5 100 entre cinq ménages donne 1 020. Remarquez ce que cela produit avant d'aller plus loin. La moyenne est supérieure à quatre des cinq nombres qui ont servi à la calculer.

   $$\bar{x}=\frac{10+20+30+40+5000}{5}=\frac{5100}{5}=1020$$

2. La médiane est une position, non un total. Classez les cinq valeurs et prenez la troisième : c'est 30. Quatre ménages se situent en dessous de la moyenne et deux en dessous de la médiane, sur les mêmes données.

   $$x_{(1)},\dots ,x_{(5)}=10,20,30,40,5000⟹\mathrm{med}=x_{(3)}=30$$

3. La carte du rapport Moyenne / Médiane affiche 34,00. Sur des données symétriques, ce rapport vaut 1 ; une lecture de 34, c'est la page qui signale que les deux résumés ne décrivent plus le même village.

   $$\frac{\bar{x}}{\mathrm{med}}=\frac{1020}{30}=34.00$$

4. Faites glisser la cinquième valeur et observez la moyenne. Elle se déplace d'un cinquième de chaque unité ajoutée, sans rien pour l'arrêter : d'un bout à l'autre du curseur, la moyenne varie de 22 à 1 020.

   $$\frac{\partial \bar{x}}{\partial x_5}=\frac{1}{5}=0.2⟹x_5:10\to 5000\Rightarrow \bar{x}:22\to 1020$$

5. La médiane, sur le même déplacement, ne prend que deux valeurs, 20 et 30, et le tri en est la raison. Toute valeur inférieure à 20 laisse 20 en troisième position, toute valeur supérieure à 30 y laisse 30, et entre les deux la cinquième valeur est elle-même la médiane. Que le ménage gagne 5 000 ou cinq millions, la médiane reste prisonnière d'une fenêtre de largeur dix.

   $$x_5\le 20\Rightarrow \mathrm{med}=20;20\le x_5\le 30\Rightarrow \mathrm{med}=x_5;x_5\ge 30\Rightarrow \mathrm{med}=30$$

6. Passons à la version plus difficile de la question. On sait qu'un des cinq chiffres est erroné, mais pas lequel. Examinez les cinq cas : la médiane corrigée doit tomber entre 20 et 40, quelle que soit la vraie valeur. La moyenne corrigée, elle, pourrait être n'importe quoi.

   $$\mathrm{med}\in [20,40],\bar{x}\in (-\infty ,\infty )$$