Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences
La statistique étudie ce que l'on a le droit de conclure. Chaque outil réuni ici répond à une version d'une même question : avec autant de données, qu'est-ce qui pourrait encore relever du hasard ?
De courtes séquences plutôt que des outils isolés. Chaque étape transmet à la suivante quelque chose de précis : l’ordre a donc son importance.
L1 : bases
MATHTrois outils pour bâtir une seule leçon : un résumé statistique constitue une compression avec perte, et la manière dont vous compressez détermine ce que ce résumé restitue fidèlement. Chaque étape transmet à la suivante une limite bien précise des résumés par un nombre unique.
L2 : lycée
MATHQuatre outils pour bâtir une même idée : l'argent n'a pas la même valeur à différents moments, et un paiement répété peut se ramener à une formule unique. Chaque étape transmet à la suivante un élément bien précis.
L2 : lycée
MATHLe paradoxe des anniversaires ressemble à un tour de magie, mais il constitue en réalité l'outil de référence pour l'étude des collisions. C'est à la deuxième étape que les informaticiens le retrouvent, sous un autre nom.
L2 : lycée
STATSix outils et une loi. Tout ici se résume à la loi binomiale dans une limite différente, ou bien lue à l'envers : comptez les succès, laissez leur nombre grandir, et regardez apparaître une courbe en cloche que personne n'a placée là.
L2 : lycée
STATQuatre outils posant une même question avec de moins en moins de données à exploiter : deux groupes, puis un nombre quelconque, puis des effectifs sans la moindre moyenne. Le dernier outil vous la pose avant même que les données n'existent.
L2 : lycée
STATPersonne ne conteste l'arithmétique du théorème de Bayes. C'est l'a priori qui pose problème : d'où vient le premier nombre, et qui l'a choisi. Ces trois outils abordent la question par ordre de difficulté croissante : un a priori que vous pouvez consulter, un a priori que le dispositif vous fournit, et un a priori que personne ne possède.
L2 : lycée
STATUne valeur p ne répond qu'à une seule question, posée sur un unique test prévu à l'avance. Dans la pratique, on enchaîne vingt tests, on surveille les données au fil de l'eau et l'on ne publie que les écarts significatifs : chacune de ces habitudes altère la portée réelle de p < 0,05. Chaque page décortique ici une démarche en apparence inoffensive pour calculer exactement ce qu'elle vous coûte.
L2 : lycée
STATL’espérance mathématique est une promesse sur la moyenne des résultats d’un très grand nombre de joueurs. Chaque joueur dispose d’un seul capital. Un jeu peut être équitable, voire vous être favorable, et pourtant ruiner presque tous ceux qui y jouent. Sur chaque page, la moyenne apparaît en pointillés, comme une silhouette fantôme. Vous pouvez observer le sort des joueurs dont elle résume les résultats.
L3 : licence
MATHSept outils qui transforment un nuage de points en un nombre que vous pouvez défendre. Demandez-vous ensuite comment ce nombre est obtenu, quelle confiance lui accorder, et ce qui se passe quand personne ne vous donne la réponse. Vous apprendrez enfin à évaluer une prédiction qui n'a jamais été autre chose qu'une probabilité. Le parcours s'appuie sur la géométrie plutôt que sur les statistiques. C'est la géométrie qui donne aux statistiques toute leur rigueur.
L3 : licence
MATHUne seule question, posée quatre fois avec de moins en moins d'indices : comment cette matrice agit-elle réellement sur l'espace ? Les colonnes y répondent d'emblée. Les vecteurs propres l'expliquent pour les directions qui subsistent. La SVD prend le relais lorsqu'il n'y en a aucune, et l'ACP oriente cette même mécanique vers un nuage de mesures.
L3 : licence
STATSix outils portant sur les mêmes 98 années de rendements, chacun fournissant au suivant une valeur précise. Cet enchaînement répond à une question en six étapes : en quoi un investissement est-il véritablement risqué, et quelle part de ce que l'on vous en dit pouvez-vous vérifier ?
L3 : licence
COMPUn signal est une somme de vecteurs tournants, et toute méthode pratique pour les analyser entraîne un coût que la formule théorique passe sous silence. Une fenêtre finie étale un son pur qui ne s'y ajuste pas sur tous les canaux ; une fenêtre plus courte vous fait gagner du temps mais se paie en hauteur ; une moyenne constitue un filtre possédant sa propre forme. La dernière page vous explique pourquoi tout cela reste calculable.
Fitting the mean to your data costs exactly one observation
Everyone is told that the sample variance divides by n − 1 because a degree of freedom was consumed. That names the bookkeeping. The mechanism is that the mean was fitted to the data, and a fitted mean always makes the data look tighter — by one observation’s worth, at every sample size.
You do not pay off a national debt, you outgrow it
For fourteen straight years the US debt got bigger and smaller at the same time. Which of those two things you notice depends entirely on what you divide by.
The average return is the one number your money never earns
An average is a summary of years that already happened. Your money experiences the order they happened in, the risk that produced them, and the uncertainty around the average itself — and each of those costs something the average does not show.
"Cuts your risk in half" can mean one person in a hundred
Relative risk sounds enormous and can be tiny; absolute risk sounds tiny and is what actually happens to you. The gap between the two is where most health reporting lives, and the fix is one subtraction.
Run twenty tests on nothing at all, and one of them will be significant
p < 0.05 promises a 5% error rate on a single test. Run twenty and the chance of at least one false alarm is 64%. The fix is arithmetic; the hard part is that nobody counts the tests they did not report.
Every group in the data trends down. The total trends up.
The pooled slope is +0.0928. Split the same rows by one extra column and the two groups slope at −0.5842 and −0.6109. Both descriptions are arithmetically correct, and only one of them answers your question.
There are two regression lines, and R² is the gap between them
Fitting y against x and fitting x against y give two different lines through the same points. The ratio of their slopes is exactly R squared, which turns that familiar goodness-of-fit number into something you can see.
Why a 99% busy system is not slightly worse than a 75% busy one
Queue length grows as one over the headroom you have left, so the last few percent of utilisation cost more than all the rest combined. This is why systems seem fine and then fail without an intervening warning.
Randomness buys accuracy at a terrible exchange rate
A Monte Carlo estimate improves as the square root of the sample count, so every extra correct digit costs a hundred times the work. The strange part is that this rate holds whatever you happen to be simulating.
Twenty-three people, and the coincidence you should expect
With 23 people in a room the odds of a shared birthday pass half. A room that size holds 253 pairs, and it is pairs that matter — the count grows with the square of the guest list.
A 99% accurate test is usually wrong
Screen a rare condition with a 99% accurate test and 495 of every 594 positives are false alarms. How rare the condition is decides that, and it is the figure nobody quotes beside the accuracy.
