Explorateur de la Loi Normale

Choisissez une moyenne et un écart-type, colorez l’intervalle de votre choix, puis lisez la probabilité qu’une valeur s’y trouve.

Valeurs de départ — Explorateur de la Loi Normale

Moyenne (μ)	0
Écart-type (σ)	1
x₁ (borne inférieure)	-1
x₂ (borne supérieure)	1

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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la règle 68–95–99,7 🖖

Ces pourcentages ne sont pas des estimations arrondies : ils découlent directement de l’intégrale gaussienne. Chacun correspond à l’aire sous la courbe de e^(−z²/2) entre ±1, ±2 ou ±3 écarts-types, telle que la calculent les étapes fondées sur la fonction d’erreur ci-dessous.

Les physiciens utilisent cette échelle pour fixer leurs seuils de « découverte ». En 2012, l’annonce du boson de Higgs exigeait un niveau de preuve de 5σ, soit une probabilité unilatérale de faux positif d’environ 1 sur 3,5 millions. Un signal réel doit franchir un seuil aussi élevé pour être distingué avec confiance du bruit statistique.

Cette règle montre également pourquoi les événements « improbables » ne sont pas vraiment rares dans les grands jeux de données. Sur un million de mesures indépendantes, environ 63 devraient dépasser ±4σ par le seul effet du hasard, tandis que moins d’une, en moyenne, franchirait ±5σ. Cet écart explique en grande partie pourquoi le seuil est fixé à cinq plutôt qu’à quatre. La physique des particules avait par ailleurs déjà vu disparaître des résultats à trois sigma.

Pourquoi l’aire compte, pas la hauteur 🖖

La courbe en cloche représente une densité de probabilité, et non la probabilité elle-même. Sa hauteur en un point donné n’est donc pas une probabilité. Elle permet de comparer les valeurs : une hauteur deux fois plus grande signifie que la valeur est deux fois plus probable par unité de x, mais la probabilité d’obtenir exactement cette valeur est nulle. C’est l’aire qui compte : la surface colorée entre x₁ et x₂ donne la probabilité qu’une valeur appartienne à cet intervalle, tandis que l’aire totale sous la courbe vaut toujours exactement 1. Lorsque vous déplacez μ, le sommet glisse vers la gauche ou vers la droite ; si vous augmentez σ, la courbe s’aplatit et s’élargit, sans que son aire totale change.

La courbe en cloche imprimée sur un billet 🖖

Cette courbe est devenue si célèbre qu’elle a figuré sur un billet de banque : le billet allemand de 10 deutsche marks, en circulation de 1991 à 2001, représentait Carl Friedrich Gauss aux côtés de la courbe et de sa formule f(x). Gauss en a affiné l’étude en modélisant les erreurs de mesure en astronomie, d’où son autre nom de fonction d’erreur. Abraham de Moivre avait pourtant établi cette forme dès 1733, plusieurs décennies avant la naissance de Gauss. Voilà un cas d’école de la loi de Stigler, selon laquelle aucune découverte ne porte le nom de son véritable auteur.

Problème entièrement résolu

Deux adultes choisis au hasard avec μ = 170 cm 5 étapes
Quel est l'écart entre deux adultes choisis au hasard ? Voici Tailles : μ = 170 cm avec σ = 10 cm, et la bande ombrée s'étend de x₁ = 160 à x₂ = 180 cm.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Centrer et réduire permet de convertir les centimètres en écarts-types, la seule devise acceptée par la table de la loi normale. La bande s'étend exactement à un σ de part et d'autre de la moyenne.
  
  $z_{1} = \frac{160 - 170}{10} = - 1, z_{2} = \frac{180 - 170}{10} = + 1$
2. La courbe est symétrique par rapport à la moyenne, donc l'aire sous −1 est égale à l'aire au-dessus de +1, et le milieu ombré représente ce qu'il reste. Une seule valeur de la table effectue tout le calcul.
  
  $P = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1 = 2 (0.8413) - 1 = 0.6827 = 68.3%$
3. Modifions à présent la question : il ne s'agit plus d'une personne par rapport à la moyenne, mais de deux personnes l'une par rapport à l'autre. Les variances s'additionnent pour des grandeurs indépendantes même lorsque ces grandeurs sont soustraites, de sorte que la différence est plus étalée que ne l'est chacune des tailles.
  
  $D = X_{1} - X_{2} : E [D] = 0, Var (D) = σ^{2} + σ^{2} ⟹ σ_{D} = 102 = 14.142 cm$
4. Une différence de 10 cm entre deux personnes ne représente donc que 0,71 écart-type de D, alors que ces mêmes 10 cm constituaient un écart-type entier pour une seule personne.
  
  $P (∣ D ∣ \leq 10) = 2Φ (\frac{10}{14.142}) - 1 = 2Φ (0.7071) - 1 = 2 (0.7603) - 1 = 52.1%$
5. La queue distante de cette même distribution de différences donne la probabilité que deux personnes soient d'une différence frappante.
  
  $P (∣ D ∣ \geq 20) = 2 [1 - Φ (1.4142)] = 2 (0.0787) = 15.7% \approx \frac{1}{6}$
Réponse

68,3 % des adultes se situent entre 160 et 180 cm, et les 15,9 % au-dessus de 180 représentent ce qu'il reste une fois retirés les Φ(z₂) = 84,1 % en dessous donnés par l'outil. La différence entre deux adultes s'étale de 10√2 = 14,142 cm, de sorte qu'à peine la moitié des paires (52,1 %) diffèrent de moins de 10 cm, tandis qu'environ une paire sur six diffère de plus de 20 cm. Ces deux valeurs d'une sur six ne traduisent pas le même fait, et il convient de les distinguer : une personne dépasse la moyenne de 10 cm environ une fois sur six, et une paire diffère de 20 cm environ une fois sur six. Le σ indiqué sur une distribution mesure la distance à la moyenne, mais les différences que l'on observe réellement s'établissent entre deux tirages, et celles-ci sont 1,414 fois plus étalées.

$σ_{X_{1} - X_{2}} = σ 2 = 1.414 σ$

Parcours

Des dénombrements aux courbes

Références (3)

Insight block 1 — the 5σ bar, and the announcement that had to clear it: ATLAS Collaboration, "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC." Physics Letters B 716(1), 1–29, 2012.
CMS Collaboration, "Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC." Physics Letters B 716(1), 30–61, 2012.
Insight block 3 — the law that says the curve is misnamed: S. M. Stigler, "Stigler's Law of Eponymy." Transactions of the New York Academy of Sciences 39(1), 147–157, 1980.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.