Explorateur de la Loi Normale

Ces pourcentages ne sont pas des approximations arrondies — ils découlent directement de l'intégrale gaussienne, chacun étant l'aire sous e^(−z²/2) entre ±1, ±2 et ±3 écarts-types, exactement ce que calculent les étapes de la fonction d'erreur ci-dessous. Les physiciens empruntent cette échelle pour leurs seuils de « découverte » : l'annonce du boson de Higgs en 2012 exigeait une preuve à 5σ, soit un taux de faux positifs unilatéral d'environ 1 sur 3,5 millions, précisément parce qu'un signal réel doit franchir une barre aussi haute avant d'être jugé plus fiable que le bruit statistique. Cette règle explique aussi pourquoi les événements « improbables » ne sont pas si rares dans de grands jeux de données — avec un million de mesures indépendantes, on doit s'attendre à ce qu'une poignée dépasse ±5σ par pur hasard, ce qui est précisément le piège que le seuil de 5σ vise à éviter.

La courbe en cloche représente la densité de probabilité, et non la probabilité elle-même : la hauteur en un point isolé ne dit donc presque rien. Ce qui compte, c’est l’aire : la bande ombrée entre x₁ et x₂ est la probabilité qu’une valeur tombe dans cet intervalle, et la courbe entière enferme toujours une aire d’exactement 1. Déplacer μ décale le sommet à gauche ou à droite ; augmenter σ aplatit et élargit la courbe, mais cette aire totale ne change jamais.

La courbe fut assez célèbre pour figurer sur de l’argent : le billet allemand de 10 marks, en circulation de 1991 à 2001, montrait Carl Friedrich Gauss aux côtés de cette courbe même et de sa formule f(x). Fort à propos, car il l’avait affinée en modélisant les erreurs de mesure en astronomie. Pourtant, Abraham de Moivre en avait dérivé la forme dès 1733, des décennies avant la naissance de Gauss — un cas d’école de la loi de Stigler, qui plaisante en disant que rien ne porte le nom de son véritable découvreur.