Explorateur de la Loi Normale

Choisissez une moyenne et un écart-type, colorez l’intervalle de votre choix, puis lisez la probabilité qu’une valeur s’y trouve.

Valeurs de départ — Explorateur de la Loi Normale

Moyenne (μ)	0
Écart-type (σ)	1
x₁ (borne inférieure)	-1
x₂ (borne supérieure)	1

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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la règle 68–95–99,7 🖖

Ces pourcentages ne sont pas des estimations arrondies : ils découlent directement de l’intégrale gaussienne. Chacun correspond à l’aire sous la courbe de e^(−z²/2) entre ±1, ±2 ou ±3 écarts-types, telle que la calculent les étapes fondées sur la fonction d’erreur ci-dessous.

Les physiciens utilisent cette échelle pour fixer leurs seuils de « découverte ». En 2012, l’annonce du boson de Higgs exigeait un niveau de preuve de 5σ, soit une probabilité unilatérale de faux positif d’environ 1 sur 3,5 millions. Un signal réel doit franchir un seuil aussi élevé pour être distingué avec confiance du bruit statistique.

Cette règle montre également pourquoi les événements « improbables » ne sont pas vraiment rares dans les grands jeux de données. Sur un million de mesures indépendantes, environ 63 devraient dépasser ±4σ par le seul effet du hasard, tandis que moins d’une, en moyenne, franchirait ±5σ. Cet écart explique en grande partie pourquoi le seuil est fixé à cinq plutôt qu’à quatre. La physique des particules avait par ailleurs déjà vu disparaître des résultats à trois sigma.

Pourquoi l’aire compte, pas la hauteur 🖖

La courbe en cloche représente une densité de probabilité, et non la probabilité elle-même. Sa hauteur en un point donné n’est donc pas une probabilité. Elle permet de comparer les valeurs : une hauteur deux fois plus grande signifie que la valeur est deux fois plus probable par unité de x, mais la probabilité d’obtenir exactement cette valeur est nulle. C’est l’aire qui compte : la surface colorée entre x₁ et x₂ donne la probabilité qu’une valeur appartienne à cet intervalle, tandis que l’aire totale sous la courbe vaut toujours exactement 1. Lorsque vous déplacez μ, le sommet glisse vers la gauche ou vers la droite ; si vous augmentez σ, la courbe s’aplatit et s’élargit, sans que son aire totale change.

La courbe en cloche imprimée sur un billet 🖖

Cette courbe est devenue si célèbre qu’elle a figuré sur un billet de banque : le billet allemand de 10 deutsche marks, en circulation de 1991 à 2001, représentait Carl Friedrich Gauss aux côtés de la courbe et de sa formule f(x). Gauss en a affiné l’étude en modélisant les erreurs de mesure en astronomie, d’où son autre nom de fonction d’erreur. Abraham de Moivre avait pourtant établi cette forme dès 1733, plusieurs décennies avant la naissance de Gauss. Voilà un cas d’école de la loi de Stigler, selon laquelle aucune découverte ne porte le nom de son véritable auteur.

Problème entièrement résolu

Deux adultes choisis au hasard avec μ = 170 cm 5 étapes
Quel est l'écart entre deux adultes choisis au hasard ? Voici Tailles : μ = 170 cm avec σ = 10 cm, et la bande ombrée s'étend de x₁ = 160 à x₂ = 180 cm.
1. Centrer et réduire permet de convertir les centimètres en écarts-types, la seule devise acceptée par la table de la loi normale. La bande s'étend exactement à un σ de part et d'autre de la moyenne.
  
  $z_{1} = \frac{160 - 170}{10} = - 1, z_{2} = \frac{180 - 170}{10} = + 1$
2. La courbe est symétrique par rapport à la moyenne, donc l'aire sous −1 est égale à l'aire au-dessus de +1, et le milieu ombré représente ce qu'il reste. Une seule valeur de la table effectue tout le calcul.
  
  $P = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1 = 2 (0.8413) - 1 = 0.6827 = 68.3%$
3. Modifions à présent la question : il ne s'agit plus d'une personne par rapport à la moyenne, mais de deux personnes l'une par rapport à l'autre. Les variances s'additionnent pour des grandeurs indépendantes même lorsque ces grandeurs sont soustraites, de sorte que la différence est plus étalée que ne l'est chacune des tailles.
  
  $D = X_{1} - X_{2} : E [D] = 0, Var (D) = σ^{2} + σ^{2} ⟹ σ_{D} = 102 = 14.142 cm$
4. Une différence de 10 cm entre deux personnes ne représente donc que 0,71 écart-type de D, alors que ces mêmes 10 cm constituaient un écart-type entier pour une seule personne.
  
  $P (∣ D ∣ \leq 10) = 2Φ (\frac{10}{14.142}) - 1 = 2Φ (0.7071) - 1 = 2 (0.7603) - 1 = 52.1%$
5. La queue distante de cette même distribution de différences donne la probabilité que deux personnes soient d'une différence frappante.
  
  $P (∣ D ∣ \geq 20) = 2 [1 - Φ (1.4142)] = 2 (0.0787) = 15.7% \approx \frac{1}{6}$
Réponse

68,3 % des adultes se situent entre 160 et 180 cm, et les 15,9 % au-dessus de 180 représentent ce qu'il reste une fois retirés les Φ(z₂) = 84,1 % en dessous donnés par l'outil. La différence entre deux adultes s'étale de 10√2 = 14,142 cm, de sorte qu'à peine la moitié des paires (52,1 %) diffèrent de moins de 10 cm, tandis qu'environ une paire sur six diffère de plus de 20 cm. Ces deux valeurs d'une sur six ne traduisent pas le même fait, et il convient de les distinguer : une personne dépasse la moyenne de 10 cm environ une fois sur six, et une paire diffère de 20 cm environ une fois sur six. Le σ indiqué sur une distribution mesure la distance à la moyenne, mais les différences que l'on observe réellement s'établissent entre deux tirages, et celles-ci sont 1,414 fois plus étalées.

$σ_{X_{1} - X_{2}} = σ 2 = 1.414 σ$

Parcours

Des dénombrements aux courbes

Mène à Théorème limite central l'autre limite, la première à être continue : un grand n avec un p éloigné de zéro.

Références (3)

Insight block 1 — the 5σ bar, and the announcement that had to clear it: ATLAS Collaboration, "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC." Physics Letters B 716(1), 1–29, 2012.
CMS Collaboration, "Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC." Physics Letters B 716(1), 30–61, 2012.
Insight block 3 — the law that says the curve is misnamed: S. M. Stigler, "Stigler's Law of Eponymy." Transactions of the New York Academy of Sciences 39(1), 147–157, 1980.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Normale standard - Le cas de référence — μ = 0, σ = 1. σ = 1 signifie que les valeurs s'écartent typiquement d'1 unité de la moyenne. Le graphique affiche toujours μ ± 4,5σ — ici de −4,5 à +4,5 — pour couvrir 99,999 % de la distribution. Toute distribution normale peut être réduite à cette échelle. Faites glisser les curseurs pour voir comment μ déplace la courbe et σ l'étire ou la rétrécit.
QI - Les tests de QI sont étalonnés de façon que la moyenne de la population soit égale à 100. L’écart-type de 15 est une convention de définition, ce qui permet à un score d’avoir la même signification dans tout test correctement étalonné. Les scores situés à plus de trois écarts-types de la moyenne, au-dessous de 55 ou au-dessus de 145, existent et restent rares : environ 1 personne sur 370 en cumulant les deux extrémités. Essayez ±2σ pour mesurer la rareté des scores extrêmes.
Tailles - Dans de nombreuses populations, la taille des adultes suit une loi normale. C’est l’exemple classique des manuels, même si l’explication habituelle mérite d’être nuancée : de nombreux gènes et facteurs environnementaux exercent chacun une faible influence, sans qu’aucun ne prédomine. La courbe décrit donc bien le centre de la distribution, mais moins bien ses extrémités, où se trouvent notamment les troubles de la croissance. Le graphique couvre les tailles de 125 à 215 cm (μ ± 4,5σ, soit 170 ± 45). Les personnes de plus de 200 cm existent, mais elles sont rares : environ 1 personne sur 750. La bande colorée, de 160 à 180 cm, correspond à ce que la plupart des gens appelleraient une « taille moyenne ».
Notes d'examen - Une classe dont la note moyenne est 65. C’est pour les notes d’examen que le modèle est le moins fidèle : elles sont bornées inférieurement et supérieurement, et souvent concentrées autour du seuil de réussite. Les queues ne sont alors qu’une commodité mathématique. Le graphique couvre environ 11 à 119 (μ ± 4,5σ, soit 65 ± 54) et se prolonge au-delà de 100. Une courbe normale n’a pas de plafond strict ; les queues situées au-dessus de 100 sont très aplaties et représentent des résultats rares. Réglez x1 et x2 sur les bornes de l’intervalle de notes qui vous intéresse pour en connaître le pourcentage.