Calculateur d'intervalle de confiance

intervalles de moyenne/proportion avec formules en direct

Valeurs de départ — Calculateur d'intervalle de confiance

Moyenne de l'échantillon (x̄)	100
Écart-type de l'échantillon (s)	15
Proportion de l'échantillon (p̂)	0.5
Taille de l'échantillon (n)	30

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

Chargement de la simulation interactive...

Des barres d'erreur qui se chevauchent ne veulent pas dire « aucune différence » 🖖

C'est un réflexe courant : tracer deux intervalles, constater qu'ils se chevauchent, et conclure que les deux choses ne se distinguent pas. Ce test est bien plus sévère qu'il n'y paraît. Deux intervalles à 95 % ne cessent de se chevaucher qu'à partir de 3,92 erreurs types d'écart — et à cette séparation, la différence porte une valeur p de 0,0056. La vraie significativité au seuil de 0,05 arrive bien plus tôt, à 2,77 erreurs types. Entre ces deux chiffres s'étend une bande de 1,15 erreur type, presque un tiers du chemin, où les intervalles se chevauchent visiblement et où la différence est pourtant significative. Exiger un écart visible revient donc à un test à p < 0,006 : environ neuf fois plus dur que le 0,05 que vous pensiez appliquer, et un bon moyen de manquer un effet réel.

Une plage vaut mieux qu'un chiffre 🖖

Une moyenne ou un pourcentage mesuré sur un échantillon ne coïncide presque jamais avec la vérité exacte, c'est pourquoi cet outil renvoie une plage plutôt qu'un seul nombre. La marge d'erreur est le "plus ou moins" attaché à votre estimation. Le compromis honnête : à partir des mêmes données, un intervalle à 99% est plus large qu'un intervalle à 90%. Plus de confiance coûte de la précision ; choisissez donc le niveau dont votre décision a réellement besoin.

Le nombre derrière le "±3 points" 🖖

Pour une proportion, l'erreur type vaut √(p(1−p)/n), et p(1−p) est maximal exactement à p = 0,5 (valeur 0,25). Les instituts en profitent en supposant un partage 50/50 comme pire cas, ce qui fixe la marge à 95% autour de 0.98/√n. Avec n = 1000, on obtient environ ±3,1% — le chiffre classique des sondages. C'est aussi pourquoi les sondages national dépassent rarement ~1000 personnes : atteindre ±1,5% exigerait un échantillon quatre fois plus grand.

INTERVALLES DE CONFIANCE — QU’ESTIMEZ-VOUS, ET AVEC QUELLE CERTITUDE ?

Dans quel cas d’intervalle de confiance êtes-vous ?

Tout intervalle a la même forme : l’estimation, plus ou moins une marge. Ce qui change, c’est d’où vient la marge. Pour une moyenne, l’erreur type vaut s/√n ; pour une proportion, √(p(1−p)/n). Le niveau de confiance choisit ensuite le multiplicateur, et la taille de l’échantillon décide de ce que ce multiplicateur coûte. Ces trois choix sont tout le sujet.

Une moyenne à 95 % — le cas par défaut, et ce que ce 95 désigne vraiment x̄ ± z·s/√n

Monter la confiance — un intervalle plus large sur les mêmes données z: 1.96 → 2.576 (+31%)

Une proportion — l’erreur type sort de p elle-même SE = √(p(1−p)/n)

Une proportion rare — p petit, et l’approximation commence à fatiguer np > 5, n(1 − p) > 5

Une moyenne à 95 % — le cas par défaut, et ce que ce 95 désigne vraiment

Ce que vous savez: Une moyenne d’échantillon avec son écart type et sa taille. La marge vaut z·s/√n, et à 95 % le multiplicateur est 1,96.

Marge: x̄ ± z·s/√n

Exemple résolu: x̄ = 100 avec s = 15 et n = 30 → SE = 2,739, marge = 5,368, intervalle de 94,63 à 105,37

Ouvrir ce cas: moyenne 95 %

Une moyenne à 95 % — le cas par défaut, et ce que ce 95 désigne vraiment. L’estimation occupe le centre, avec 1,96 erreur type de marge de chaque côté. Une moyenne d’échantillon avec son écart type et sa taille. La marge vaut z·s/√n, et à 95 % le multiplicateur est 1,96. — L’estimation occupe le centre, avec 1,96 erreur type de marge de chaque côté.

Monter la confiance — un intervalle plus large sur les mêmes données

Ce que vous savez: La même estimation à 99 %. Le multiplicateur passe de 1,96 à 2,576, l’intervalle s’élargit donc de 31 % alors que rien n’a bougé dans l’échantillon.

Marge: z: 1.96 → 2.576 (+31%)

Exemple résolu: x̄ = 72 avec s = 12 et n = 64 → SE = 1,5, marge = 3,864, intervalle de 68,14 à 75,86

Ouvrir ce cas: moyenne 99 %

Monter la confiance — un intervalle plus large sur les mêmes données. Les mêmes données à confiance plus élevée : le centre ne bouge pas, la marge s’allonge. La même estimation à 99 %. Le multiplicateur passe de 1,96 à 2,576, l’intervalle s’élargit donc de 31 % alors que rien n’a bougé dans l’échantillon. — Les mêmes données à confiance plus élevée : le centre ne bouge pas, la marge s’allonge.

Une proportion — l’erreur type sort de p elle-même

Ce que vous savez: On estime une part plutôt qu’une moyenne. Il n’y a pas de dispersion séparée à mesurer : SE = √(p(1−p)/n), car pour un résultat oui-non la variance est fixée par p.

Marge: SE = √(p(1−p)/n)

Exemple résolu: p = 0,42 sur n = 800 → SE = 0,0174, marge = 0,0342, intervalle de 0,386 à 0,454 — un sondage à 3,4 points de marge d’erreur

Ouvrir ce cas: proportion 95 %

Une proportion — l’erreur type sort de p elle-même. L’intervalle est symétrique autour de la part observée, avec une marge fixée par p et n seuls. On estime une part plutôt qu’une moyenne. Il n’y a pas de dispersion séparée à mesurer : SE = √(p(1−p)/n), car pour un résultat oui-non la variance est fixée par p. — L’intervalle est symétrique autour de la part observée, avec une marge fixée par p et n seuls.

Une proportion rare — p petit, et l’approximation commence à fatiguer

Ce que vous savez: Une petite part estimée à haute confiance. L’intervalle est étroit en valeur absolue, mais large par rapport à p lui-même.

Marge: np > 5, n(1 − p) > 5

Exemple résolu: p = 0,08 sur n = 1200 à 99 % → SE = 0,0078, marge = 0,0202, intervalle de 0,060 à 0,100

Ouvrir ce cas: proportion 99 %

Une proportion rare — p petit, et l’approximation commence à fatiguer. Un intervalle étroit en valeur absolue, mais large d’un quart de l’estimation de chaque côté. Une petite part estimée à haute confiance. L’intervalle est étroit en valeur absolue, mais large par rapport à p lui-même. — Un intervalle étroit en valeur absolue, mais large d’un quart de l’estimation de chaque côté.

Problème entièrement résolu

La promesse d'un intervalle de confiance à 95 % avec n = 30 5 étapes
Que promet réellement le 95 dans un intervalle de confiance à 95 % ? Il s'agit d'IC de la moyenne avec x̄ = 100, s = 15 et n = 30, à un niveau de confiance de 95 %.
1. L'intervalle est construit autour de la moyenne échantillonnale, et la moyenne échantillonnale est elle-même aléatoire : répétez l'étude et elle tombera ailleurs. Sa dispersion est la dispersion des données réduite par √n, ce qui est la seule raison pour laquelle un échantillon plus grand apporte de la précision.
  
  $SE = \frac{s}{n} = \frac{15}{30} = \frac{15}{5.4772} = 2.7386$
2. Un intervalle bilatéral à 95 % laisse 2,5 % dans chaque queue : le coefficient multiplicateur est donc le quantile de la loi normale centrée réduite correspondant à une probabilité cumulée de 97,5 %. Comme 15 est l’écart-type d’un échantillon de 30 observations, la méthode plus rigoureuse des manuels conduit à t₂₉ = 2,045. Ce panneau utilise z, l’approximation pour les grands échantillons, ce qui décale chaque borne de l’intervalle d’environ un quart d’unité.
  
  $z^{*} = Φ^{- 1} (\frac{1 + C}{2}) = Φ^{- 1} (0.9750) = 1.9600$
3. Le multiplicateur convertit les erreurs types dans l'unité dans laquelle la mesure a été effectuée, et l'intervalle s'étend à cette distance de chaque côté de l'estimation.
  
  $ME = z^{*} SE = 1.9600 \times 2.7386 = 5.3677 ⟹ [94.6323, 105.3677]$
4. Les 95 % décrivent la méthode, non cet intervalle : celui-ci contient la vraie moyenne ou bien ne la contient pas, et rien dans les données ne vous dit ce qu'il en est. Répétez l'ensemble de l'étude 100 fois et chaque intervalle est un succès ou un échec indépendant avec 5 % de chances d'échec, ce qui fait du nombre d'échecs un décompte binomial plutôt qu'un quota fixe de cinq.
  
  $M \sim Bin (100, 0.05) : E [M] = 5, σ_{M} = 100 \times 0.05 \times 0.95 = 2.179$
5. Un décompte qui se disperse de 2,179 n'est surprenant que lorsqu'il s'éloigne de sa propre moyenne de plus d'environ deux fois cette valeur.
  
  $5 \pm 2 σ_{M} = [0.64, 9.36] M = 12 : z = \frac{12 - 5}{2.179} = 3.21$
Réponse

Une erreur type de 2,7386 et un multiplicateur de 1,9600 donnent une marge de 5,3677, de sorte que l'intervalle s'étend de 94,6323 à 105,3677. Ce qu'il faut retenir tient dans les deux dernières lignes : sur 100 répétitions de cette étude, les échecs sont en moyenne de 5 mais se dispersent avec un écart-type de 2,179, si bien que tout nombre d'échecs de 1 à 9 est ordinaire. Trois échecs ne prouvent pas que la méthode est prudente et huit ne prouvent pas qu'elle est défaillante ; il en faudrait environ 12, soit 3,21 écarts-types d'écart, pour que ce décompte signifie quoi que ce soit. La bande d'intervalles verts et rouges illustre exactement cette expérience, et son taux de réussite n'affichera pas 95 chaque fois que vous la regarderez. Un niveau de confiance est une propriété à long terme de la procédure, et 100 séries ne constituent pas le long terme.

$σ_{M} = N C (1 - C) = 2.179 misses on E [M] = 5$

Parcours

Des dénombrements aux courbes

Références (1)

The paper that defined the confidence interval, and was careful about what the 95% is a statement about: J. Neyman, "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability." Philosophical Transactions of the Royal Society A 236(767), 333–380, 1937.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Statistiques & Finance →

Exemples de problèmes

moyenne 95 % - IC pour la moyenne à 95% de confiance, avec n=30, sd=15
moyenne 99 % - Un niveau de confiance plus élevé élargit l'intervalle, même avec un n plus grand
proportion 95 % - IC pour une proportion avec un support modéré et un grand échantillon
proportion 99 % - Estimation d'une proportion rare avec un intervalle à haute confiance