Explorateur du théorème central limite

Cela fonctionne car moyenner revient essentiellement à effectuer une convolution répétée, et convoluer une distribution avec elle-même suffisamment de fois lisse ses particularités — l'asymétrie et les bosses multimodales s'atténuent plus vite que la dispersion, si bien que ce qui reste ressemble de plus en plus à une gaussienne, quel que soit le point de départ. La seule vraie condition est une variance finie ; une source uniforme, une exponentielle et une bimodale à deux bosses sont toutes attirées vers la même courbe en cloche une fois qu'on moyenne suffisamment de tirages, simplement à des vitesses différentes — c'est pourquoi n=30 est devenu la règle empirique informelle de la statistique plutôt qu'un seuil exact.

À mesure que tu tires, l'histogramme des moyennes ne fait pas que se lisser : il se rétrécit. Sa dispersion est l'erreur type σ/√n, si bien que la précision ne s'améliore qu'avec la racine carrée de la taille de l'échantillon — pour diviser la largeur par deux, il faut quadrupler n. C'est le cœur pratique du théorème : de plus grands échantillons cernent la moyenne plus finement, mais avec des gains de plus en plus réduits.

Le théorème suppose discrètement une variance finie, et un hors-la-loi célèbre la viole : la loi de Cauchy, le rapport de deux lois normales centrées réduites. Moyenne un million de tirages de Cauchy et le résultat suit exactement la même courbe de Cauchy qu'un tirage unique — la cloche n'apparaît jamais et plus de données n'apporte rien. Ses queues sont si lourdes qu'une seule valeur monstrueuse peut dominer n'importe quelle moyenne, aussi grande soit-elle.