Explorateur du théorème central limite

observez comment les moyennes d'échantillon prennent une forme en cloche

Valeurs de départ — Explorateur du théorème central limite

Distribution source	Uniforme
Taille d'échantillon (n)	30
Vitesse automatique	12
Classes de l'histogramme	34
Taux exponentiel	1
Séparation bimodale	2

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Pourquoi les moyennes deviennent normales même à partir de sources étranges 🖖

Les moyennes tendent vers la loi normale parce que calculer des moyennes revient, à un changement d’échelle près, à effectuer des convolutions successives. Or, lorsqu’une loi est convoluée avec elle-même un nombre suffisant de fois, ses irrégularités s’estompent. Une fois l’effet de la largeur éliminé par changement d’échelle, l’asymétrie et les bosses diminuent sans que la dispersion disparaisse : quelle que soit la loi de départ, la forme obtenue ressemble de plus en plus à une gaussienne. La seule véritable condition est que la variance soit finie. Une loi uniforme, une loi exponentielle et une loi bimodale à deux bosses tendent toutes vers la même courbe en cloche, mais à des vitesses différentes. Voilà pourquoi n = 30 est devenu un ordre de grandeur usuel en statistique, et non un seuil exact.

La loi en racine carrée du rétrécissement 🖖

À mesure que vous tirez, l'histogramme des moyennes ne fait pas que se lisser : il se rétrécit. Sa dispersion est l'erreur type σ/√n, si bien que la précision ne s'améliore qu'avec la racine carrée de la taille de l'échantillon — pour diviser la largeur par deux, il faut quadrupler n. C'est le cœur pratique du théorème : de plus grands échantillons cernent la moyenne plus finement, mais avec des gains de plus en plus réduits.

La loi qui met le théorème en échec 🖖

Le théorème suppose discrètement une variance finie, et un hors-la-loi célèbre la viole : la loi de Cauchy, le rapport de deux lois normales centrées réduites. Moyennez un million de tirages de Cauchy et le résultat suit exactement la même courbe de Cauchy qu'un tirage unique — la cloche n'apparaît jamais et plus de données n'apporte rien. Ses queues sont si lourdes qu'une seule valeur monstrueuse peut dominer n'importe quelle moyenne, aussi grande soit-elle.

Problème entièrement résolu

La règle n = 30 pour une source uniforme sur [0, 1] 5 étapes
Que concerne réellement la règle des n = 30 ? Il s'agit de l'état par défaut : une source Uniforme sur [0, 1] avec une taille d'échantillon n = 30.
1. La source uniforme est constante sur [0, 1], sa moyenne se situe donc au point milieu et sa variance est le second moment moins le carré de celle-ci. Tous les nombres ci-dessous découlent de celui-ci.
  
  $μ = \frac{1}{2}, σ^{2} = \int_{0}^{1} x^{2} d x - μ^{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}, σ = \frac{1}{12} = 0.288675$
2. L'erreur type découle de la variance et de rien d'autre. Elle ne nécessite ni que la source soit symétrique, ni en forme de cloche, ni que n soit grand — la formule est exacte à n = 1 comme à n = 30, et le seul fait qu'elle utilise est que les variances de grandeurs indépendantes s'additionnent.
  
  $σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = \frac{0.288675}{30} = \frac{0.288675}{5.477226} = 0.052705$
3. La largeur n'a donc jamais été le sujet du théorème. C'est la forme qui l'est, et la mesure usuelle de l'asymétrie est le coefficient d'asymétrie. Les troisièmes moments centrés s'additionnent pour des tirages indépendants exactement comme les variances, et l'asymétrie est conçue pour être invariable par changement d'échelle de l'axe, de sorte qu'en combinant ces deux faits, l'asymétrie de la moyenne diminue en 1/√n.
  
  $μ_{3} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = n μ_{3}, σ (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = σ n ⟹ γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{n μ _{3}}{( σ n ) ^{3}} = \frac{γ _{1}}{n}$
4. Les sources de l'outil partent d'asymétries très différentes. Une source uniforme n'en a aucune à perdre, sa moyenne d'échantillon est donc symétrique pour tout n, n = 1 inclus ; une source exponentielle part d'une asymétrie de 2 et penche encore vers la droite à n = 30.
  
  $U (0, 1) : γ_{1} = 0 \Rightarrow γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = 0 \forall n; Exp (1) : γ_{1} = 2 \Rightarrow \frac{2}{30} = 0.3651$
5. Appliquez la même relation en sens inverse pour obtenir une asymétrie suffisamment faible pour être négligée.
  
  $\frac{2}{n} \leq 0.1 ⟹ n \geq 400$
Réponse

Le tableau affiche une moyenne de la loi d’origine égale à 0,5 et une erreur-type de 0,052705. Pour retrouver ce résultat, il suffit de connaître la variance 1/12. Les trois dernières étapes montrent que cette ligne ne découle pas du théorème : l’erreur-type est exacte pour tout n et toute loi d’origine de variance finie ; augmenter n agit sur la forme.

La loi uniforme est déjà symétrique. Porter n à 30 ne réduit donc aucune asymétrie : sur la configuration proposée par défaut, la règle empirique ne joue aucun rôle. Avec une loi exponentielle et n = 30, l’asymétrie vaut encore 0,365 ; pour la ramener sous 0,1, il faut n = 400.

La loi bimodale, pourtant la moins gaussienne en apparence, converge à peu près aussi vite que la loi uniforme. Elle est elle aussi symétrique, si bien que son asymétrie vaut 0 pour tout n. Son excès d’aplatissement, égal à −1,28, décroît comme 1/n et atteint −0,043 pour n = 30, contre −0,040 pour la loi uniforme. Aucune ligne du tableau ne présente ces trois valeurs ; seule la forme de l’histogramme permet donc d’observer la convergence.

$σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = 0.052705, γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{1}}{n}, γ_{2} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{2}}{n}$

Parcours

Des dénombrements aux courbes

Mène à Score Z la raison pour laquelle cette courbe réapparaît sans cesse même en l'absence de loi binomiale.

Références (1)

Insight block 3 — why averaging Cauchy draws returns the same Cauchy curve: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 2, 2nd ed., ch. VI and XVII. Wiley, 1971. ISBN 978-0-471-25709-7 — stable laws, and the finite-variance condition the central limit theorem actually needs.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

uniforme, n=5 - Une loi uniforme sur [0, 1] a un écart-type de 0,2887 ; la moyenne de cinq tirages a donc une erreur-type de 0,129. L’histogramme est déjà symétrique, car une loi uniforme n’a aucune asymétrie à perdre. Pour n = 5, c’est la concentration qui manque, pas la forme.
uniforme, n=30 - Multiplier la taille de l’échantillon par six améliore la précision d’un facteur √6, sans autre effet : l’erreur-type passe de 0,129 à 0,0527. La forme n’a jamais posé problème pour une loi uniforme ; dans cette configuration, la règle empirique n = 30 ne sert donc à rien.
exponentielle, n=30 - Cette loi présente une forte asymétrie à droite, égale à 2. Trente tirages la divisent par √30, mais il reste 0,365 : l’inclinaison demeure visible sur l’histogramme. Pour descendre sous 0,1, il faudrait un échantillon de 400 observations.
bimodale, n=30 - Malgré ses deux bosses, cette loi converge à peu près aussi vite que la loi uniforme. Comme elle est symétrique, son asymétrie vaut zéro pour tout n. Elle doit perdre son excès d’aplatissement de −1,28, qui décroît comme 1/n plutôt que comme 1/√n et atteint −0,043 après trente tirages.