Explorateur de la loi de Poisson

Explorez la loi de Poisson — voyez comment se répartissent les événements rares et comment la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.

Exemple résolu — Explorateur de la loi de Poisson

Complément	57.681%
Moyenne (λ)	3
Variance (λ)	3

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Un seul nombre fixe à la fois le centre et la dispersion 🖖

La loi de Poisson n'a qu'un paramètre : sa moyenne et sa variance sont donc le même nombre. Impossible d'élargir la distribution sans la décaler aussi vers la droite — il n'y a pas de réglage de largeur, et l'outil n'en propose pas parce que les mathématiques n'en ont pas. Chargez le préréglage « rare » à λ = 0,5 : l'écart-type vaut √0,5 = 0,707 et le mode reste collé à zéro ; chargez « normal » à λ = 10 : il vaut √10 = 3,162 et la forme est devenue quasi symétrique, car l'asymétrie vaut exactement 1/√λ. Cette rigidité fait aussi office de diagnostic : des données de comptage réelles dont la variance dépasse nettement la moyenne sont surdispersées et vous disent que Poisson est le mauvais modèle, non un modèle mal ajusté.

Une multitude de petites chances forme une courbe nette 🖖

Imaginez un très grand nombre d’occasions indépendantes, chacune très peu probable à elle seule : coquilles sur une page, coups de foudre dans un département, défauts sur une chaîne de production. Lancez une pièce n fois, avec une probabilité de succès p ; faites croître n et diminuer p de sorte que n × p = λ reste constant : la loi binomiale tend alors progressivement vers la loi de Poisson. Activez ici la superposition, augmentez n et observez les barres irrégulières de la loi binomiale épouser peu à peu la courbe de Poisson. Beaucoup d’essais, chacun avec une infime probabilité : c’est précisément dans ce cas que l’approximation de Poisson est utile.

La mort par ruade et la loi des petits nombres 🖖

En 1898, le statisticien Ladislaus Bortkiewicz étudia les décès causés par des ruades de cheval dans 10 corps d’armée prussiens, sur une période de 20 ans. Le nombre annuel de morts, le plus souvent 0, parfois 1 ou 2 et rarement davantage, suivait presque parfaitement une loi de Poisson de paramètre λ ≈ 0.61. Il baptisa ce phénomène loi des petits nombres. Poisson avait établi cette loi soixante ans plus tôt, dans un ouvrage consacré à la probabilité des jugements judiciaires ; Bortkiewicz montra que les mêmes calculs régissaient les accidents exceptionnels. Onze ans plus tard, Erlang les appliquerait au trafic téléphonique.

Problème entièrement résolu

Un processus ayant en moyenne 3 événements par intervalle et en obtenant exactement 3 5 étapes
Un processus produit en moyenne 3 événements par intervalle. Calculez la fréquence à laquelle vous en obtenez au moins 3, puis la fréquence à laquelle vous en obtenez exactement 3. Les deux réponses sont plus éloignées que ce que la plupart des gens pensent, et la seconde explique pourquoi les moyennes sont trompeuses.
1. La probabilité de Poisson d'obtenir k événements est λᵏe^(−λ)/k!. Tout ce qui se trouve sur cette page découle de cette seule expression et du paramètre unique λ.
  
  $P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}, λ = 3$
2. Calculez les trois plus petits cas. e^(−3) = 0,049787 est la probabilité d'obtenir un intervalle complètement vide, et elle n'est pas négligeable — un intervalle sur vingt ne voit absolument rien se produire, dans un processus d'une moyenne de trois.
  
  $P (0) = e^{- 3} = 0.049787, P (1) = 3 e^{- 3} = 0.149361, P (2) = 4.5 e^{- 3} = 0.224042$
3. Au moins 3 est le complémentaire d'au plus 2, il suffit donc d'additionner les trois probabilités venant d'être calculées et de soustraire le résultat de 1.
  
  $P (X \geq 3) = 1 - (0.049787 + 0.149361 + 0.224042) = 1 - 0.423190 = 0.576810$
4. Exactement 3 — la moyenne, le mode, la valeur individuelle la plus probable — se produit 22,4% du temps. Quatre fois sur cinq, vous obtenez autre chose.
  
  $P (X = 3) = \frac{27}{6} e^{- 3} = 0.224042 = 22.4%$
5. Cet outil ne comporte pas de contrôle d'étalement parce que les mathématiques n'ont pas de paramètre d'étalement : la moyenne et la variance sont un seul et même nombre. Fixez le taux et la dispersion est déjà déterminée, avec σ = √3 = 1,732.
  
  $μ = σ^{2} = λ = 3 ⟹ σ = 3 = 1.732$
Réponse

L’outil indique 57,681 % pour au moins 3, avec une moyenne et une variance toutes deux égales à 3. Fixez k à 3 : la probabilité d’obtenir exactement 3 est de 22,4 %. Retenez bien ce rapprochement : « une moyenne de 3 » ne veut pas dire « le plus souvent 3 ». La distribution est centrée sur 3, mais elle prend une autre valeur plus des trois quarts du temps et reste à zéro dans un vingtième des cas. Un service qui enregistre en moyenne trois admissions par heure connaît une heure sans aucune admission sur vingt, et deux fois plus souvent une heure avec cinq admissions. Dimensionner les effectifs d’après la moyenne, c’est donc se préparer à une situation qui ne se produit qu’une fois sur cinq.

$P (X \geq 3) = 57.681% but P (X = 3) = 22.4%; μ = σ^{2} = λ$

Parcours

Des dénombrements aux courbes

Mène à Loi normale la première limite : gardez np constant, faites croître n et diminuer p, pour que les deux paramètres n'en forment plus qu'un.

Références (2)

The horse-kick data in the third block: L. von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig, 1898.
The Poisson limit of the binomial, and why variance equals the mean: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd ed., ch. VI. Wiley, 1968. ISBN 978-0-471-25708-0.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-04

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Exemples de problèmes

Typique λ=5 - Pour λ = 3, la loi possède deux modes de même hauteur : trois événements et deux événements ont chacun une probabilité de 0,2240, car une espérance entière se trouve exactement entre les deux valeurs qui l’encadrent. Écartez légèrement λ de 3, et l’un des deux modes l’emporte.
Événements rares - Pour λ = 0,5, le nombre d’événements le plus probable est 0, avec une probabilité de 0,6065. Une moyenne d’un demi-événement par intervalle ne signifie pas qu’un demi-événement puisse se produire ; la plupart des intervalles sont simplement vides.
Binomiale→Poisson - Vingt essais de Bernoulli avec p = 0,25 donnent np = 5, comme cette loi de Poisson. Augmentez le nombre d’essais en maintenant ce produit constant : les barres irrégulières se rapprochent de la courbe lisse, qui représente la limite à partir de laquelle la loi de Poisson a été établie.
λ grand→Normale - Pour λ = 10, l’écart-type vaut √10 = 3,162 et le coefficient d’asymétrie 1/√10 = 0,316 : la forme est donc devenue presque symétrique. Même au sommet, le nombre d’événements le plus probable n’a qu’une probabilité de 0,1251 ; dans une loi aussi étalée, aucune valeur ne domine vraiment.