Explorateur de la loi binomiale

probabilités discrètes du nombre de succès pour n et p fixés

Valeurs de départ — Explorateur de la loi binomiale

Essais (n)	20
Probabilité de succès (p)	0
Succès visés (k)	7

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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L’indépendance est l’hypothèse qui casse en premier 🖖

La loi binomiale ne s’applique que si trois conditions sont réunies : le nombre d’essais est fixé, la probabilité de succès p reste la même à chaque essai et les résultats ne s’influencent pas mutuellement. Les deux premières se vérifient facilement. Dans la plupart des situations réelles, la troisième n’est pas satisfaite.

Vous tirez 5 cartes d’un jeu et cherchez la probabilité d’obtenir 2 as. Dès que vous en tirez un, p diminue pour chacun des tirages suivants : les essais ne sont donc pas indépendants et la loi binomiale ne convient pas. Il faut utiliser la loi hypergéométrique. En pratique, tout dépend de la remise ou non des éléments tirés. Si vous remettez la carte dans le jeu, la loi binomiale donne un résultat exact ; si vous la gardez, elle ne fournit qu’une approximation, bonne lorsque le jeu est grand par rapport à la main, mauvaise dans le cas contraire.

Compter les succès dans des essais répétés 🖖

Imagine lancer la même pièce truquée n fois et compter simplement combien de fois elle tombe sur pile. Ce compte est une variable aléatoire binomiale : chaque lancer est indépendant et tous partagent la même probabilité de succès p. L'outil te permet de faire varier n et p et de voir où la probabilité s'accumule. Ta meilleure estimation du nombre de succès est l'espérance np — 20 lancers d'une pièce équilibrée se centrent donc sur 10 piles.

D'où vient vraiment le nom 🖖

Le « binomiale » de la loi binomiale est le même binôme que dans le théorème du binôme en algèbre. En développant (p + q)ⁿ avec q = 1 − p, on obtient exactement les termes nCk · p^k · q^n−k — les probabilités pour chaque k. Comme (p + q) = 1, le développement vaut 1ⁿ = 1, ce qui explique pourquoi les probabilités doivent sommer à un. Les coefficients nCk sont littéralement les lignes du triangle de Pascal.

LOI BINOMIALE — QUELLE QUESTION POSEZ-VOUS AU JUSTE ?

Dans quel cas binomial êtes-vous ?

La loi binomiale ne demande que trois choses : un nombre fixé d’épreuves indépendantes n, la même probabilité de succès p dans chacune d’elles, et un comptage k. Ce qui change d’un problème à l’autre, c’est la question — exactement k, ou au plus k — et la forme que p donne à la distribution. Une fois ces deux points tranchés, le calcul est mécanique.

Exactement k avec p = ½ — le cas symétrique P(X = k) = C(n,k) p^k(1−p)^n−k

Au plus k — additionnez les barres, n’en lisez pas une P(X ≤ k) = ∑_i≤k P(X = i)

p loin de ½ — la distribution penche μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋

Beaucoup d’épreuves, p minuscule — la limite de Poisson λ = np, P(X = k) ≈ e^−λλ^k/k!

Exactement k avec p = ½ — le cas symétrique

Ce que vous savez: Un n fixé, la même p à chaque épreuve, et une question sur un comptage précis. Avec p = ½, les barres sont symétriques autour de n/2.

Formule: P(X = k) = C(n,k) p^k(1−p)^n−k

Exemple résolu: n = 10, p = 0,5, k = 5 → C(10,5)·0,5¹⁰ = 252/1024 = 0,2461

Ouvrir ce cas: 10 lancers de pièce équilibrée

Exactement k avec p = ½ — le cas symétrique. Avec p = ½, les barres sont symétriques autour de n/2, et même la plus haute ne porte pas le quart de la probabilité. Un n fixé, la même p à chaque épreuve, et une question sur un comptage précis. Avec p = ½, les barres sont symétriques autour de n/2. — Avec p = ½, les barres sont symétriques autour de n/2, et même la plus haute ne porte pas le quart de la probabilité.

Au plus k — additionnez les barres, n’en lisez pas une

Ce que vous savez: La question porte sur un seuil, pas sur un comptage isolé. Additionnez toutes les barres de 0 à k ; un seul P(X = k) répond à une question toute différente.

Formule: P(X ≤ k) = ∑_i≤k P(X = i)

Exemple résolu: n = 40, p = 0,08, k ≤ 2 → P(X ≤ 2) = 0,3694, alors que la barre isolée P(X = 2) ne vaut que 0,2100

Ouvrir ce cas: défauts de contrôle qualité

Au plus k — additionnez les barres, n’en lisez pas une. La réponse est le bloc grisé de 0 à k, pas la hauteur de la k-ième barre. La question porte sur un seuil, pas sur un comptage isolé. Additionnez toutes les barres de 0 à k ; un seul P(X = k) répond à une question toute différente. — La réponse est le bloc grisé de 0 à k, pas la hauteur de la k-ième barre.

p loin de ½ — la distribution penche

Ce que vous savez: Une probabilité de succès déséquilibrée. Le sommet se place près de np et la queue du côté encombré se retrouve écrasée contre la borne n.

Formule: μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋

Exemple résolu: n = 25, p = 0,78, k = 20 → 0,1903 ; la moyenne vaut np = 19,5 et le mode ⌊(n+1)p⌋ = 20

Ouvrir ce cas: lancers francs au basket

p loin de ½ — la distribution penche. Un p élevé pousse le sommet vers n et écrase la queue droite contre la borne. Une probabilité de succès déséquilibrée. Le sommet se place près de np et la queue du côté encombré se retrouve écrasée contre la borne n. — Un p élevé pousse le sommet vers n et écrase la queue droite contre la borne.

Beaucoup d’épreuves, p minuscule — la limite de Poisson

Ce que vous savez: n est grand, p est petit, et leur produit reste modeste. La binomiale et une loi de Poisson de paramètre λ = np concordent à environ deux décimales.

Formule: λ = np, P(X = k) ≈ e^−λλ^k/k!

Exemple résolu: n = 60, p = 0,03 → λ = 1,8 ; P(X ≤ 1) = 0,4592 exactement, contre 0,4628 pour la loi de Poisson

Ouvrir ce cas: processus d'événement rare

Beaucoup d’épreuves, p minuscule — la limite de Poisson. Les barres binomiales et la loi de Poisson de paramètre λ = np se superposent presque exactement. n est grand, p est petit, et leur produit reste modeste. La binomiale et une loi de Poisson de paramètre λ = np concordent à environ deux décimales. — Les barres binomiales et la loi de Poisson de paramètre λ = np se superposent presque exactement.

Problèmes entièrement résolus

Exactement 7 succès sur 20 essais à p = 0,35 5 étapes
Exactement 7 succès en 20 essais avec p = 0,35. Il s'agit de la vue PMF avec n = 20, p = 0,35 et k = 7. Construisez le bâtonnet à partir de zéro, puis calculez sa hauteur une seconde fois à partir du seul écart-type.
1. Le coefficient dénombre quels 7 des 20 essais sont les succès, indépendamment de leur ordre d'arrivée. Sept facteurs au numérateur, 7! au dénominateur — la simplification vaut la peine d'être faite à la main une fois.
  
  $(7 20) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 !} = \frac{390 700 800}{5040} = 77520$
2. Chaque disposition spécifique de 7 succès et 13 échecs comporte la même probabilité, car les essais sont indépendants et p ne varie jamais. Voici ses deux moitiés.
  
  $p^{k} = 0.3 5^{7} = 0.00064339, (1 - p)^{n - k} = 0.6 5^{13} = 0.00369721$
3. Multipliez le nombre de dispositions par la probabilité de l'une quelconque d'entre elles. Les deux facteurs de probabilité combinés s'élèvent à environ 2,4 × 10⁻⁶, de sorte qu'il faut l'ensemble des 77 520 dispositions pour faire remonter la réponse à 18 %.
  
  $P (X = 7) = 77520 \times 0.00064339 \times 0.00369721 = 0.18440119$
4. La queue supérieure n'est pas le complémentaire de la valeur cumulée : 1 − 0,6010266 éliminerait k = 7, qui appartient aux deux queues. L'outil affiche P(X ≤ 7) et P(X ≥ 7) mais jamais P(X ≤ 6), cette soustraction incombe donc au lecteur.
  
  $P (X \geq 7) = 1 - P (X \leq 6) = 1 - (0.6010266 - 0.1844012) = 1 - 0.4166254 = 0.5833746$
5. Délaissons à présent les factorielles. Une loi binomiale dont la moyenne se situe bien à l'écart de 0 et de n a la forme d'une courbe normale de même écart-type, et la hauteur du sommet d'une courbe normale ne dépend d'aucun autre paramètre.
  
  $σ = n p (1 - p) = 4.55 = 2.133073, \frac{1}{σ 2 π} = \frac{1}{5.34682} = 0.18703$
Réponse

L'outil affiche le coefficient 77 520, P(X = 7) = 0,18440119, P(X ≤ 7) = 0,6010266, P(X ≥ 7) = 0,58337458 et σ = 2,133073. L'étape 5 parvient à 0,18703 à partir du seul σ — soit 1,4 % trop haut, à partir d'une expression ne contenant ni n, ni p, ni factorielle. Augmentez n en maintenant p à 0,35 et cette erreur évolue comme 1/n : 0,71 % pour n = 40, 0,28 % pour n = 100, 0,07 % pour n = 400. Ainsi, μ et σ suffisent à esquisser chaque bâtonnet près du centre, et la formule exacte ne montre son utilité que dans les queues — pour k = 0, la même courbe normale est 4,7 fois trop haute, et pour k = 17, elle est 43 % trop basse. Des erreurs en pourcentage au centre, des erreurs d'un facteur d'échelle aux extrémités : c'est la forme de toute approximation normale que vous rencontrerez.

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = 0.18440119 \approx \frac{1}{σ 2 π} = 0.18703$
60 essais à 3 % où np n'est que de 1,8 6 étapes
Ce préréglage, c'est 60 essais à 3 %, et le panneau donne P(X = 1) = 0,29840413. L'approximation normale du premier problème ne sert à rien ici : np ne vaut que 1,8. Il existe une autre limite, presque exacte, et elle jette purement et simplement l'un des deux paramètres.
1. D'abord la réponse exacte, telle que l'affiche le panneau : soixante façons de placer l'unique succès, fois le succès, fois cinquante-neuf échecs.
  
  $(1 60) (0.03)^{1} (0.97)^{59} = 60 \times 0.03 \times 0.16578007 = 0.29840413$
2. Gardez le produit np fixe et appelez-le λ. C'est la seule quantité qui survivra au passage à la limite.
  
  $λ = n p = 60 \times 0.03 = 1.8$
3. Prenez le coefficient binomial. Écrivez p sous la forme λ/n : la factorielle descendante divisée par nᵏ tend vers 1, chaque facteur étant n moins quelque chose de petit, sur n. Il reste λᵏ sur k factorielle.
  
  $(k n) p^{k} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !} (\frac{λ}{n})^{k} n \to \infty \frac{λ ^{k}}{k !}$
4. Le terme d'échec est la définition de e déguisée : (1 − λ/n) puissance n tend vers e^(−λ), et le k supplémentaire de l'exposant cesse de compter.
  
  $(1 - p)^{n - k} = (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} n \to \infty e^{- λ}$
5. Recollez les deux moitiés en k = 1.
  
  $P (X = 1) \approx λ e^{- λ} = 1.8 e^{- 1.8} = 0.29753800$
6. Mesurez maintenant l'erreur au lieu d'affirmer qu'elle est petite.
  
  $\frac{0.29753800 - 0.29840413}{0.29840413} = - 0.0029$
Réponse

0,29754 contre 0,29840 exact : 0,29 % trop bas, et avec seulement soixante essais. La limite de Poisson conserve λ = np et oublie n et p séparément, et c'est précisément pourquoi elle décrit des situations où l'on n'a jamais connu n : appels arrivant à un standard, mutations par génome, coquilles par page. Aucune n'a de nombre d'essais, seulement un taux. Et l'erreur décroît comme 1/n : à 600 essais à 0,3 % elle vaut 0,030 %, à 6000 à 0,03 % elle vaut 0,003 %. Dix fois plus d'essais, un dixième d'erreur, sans que λ bouge.

$P (k) \to \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ} : 0.29754 ⟷ 0.29840, - 0.29%$

Parcours

Des dénombrements aux courbes

Mène à Loi de Poisson la distribution exacte d'un dénombrement : n épreuves indépendantes partageant la même probabilité p.

Références (2)

Three centuries of the result this distribution was invented in order to prove: E. Seneta, "A Tricentenary history of the Law of Large Numbers." Bernoulli 19(4), 1088–1121, 2013 — on Jakob Bernoulli’s Ars Conjectandi of 1713.
And a shorter account of the book itself: I. Schneider, "Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713)", in Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, 88–104. Elsevier, 2005.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

10 lancers de pièce équilibrée - Obtenir cinq fois face en dix lancers est le résultat le plus probable. Pourtant, cela arrive moins d’une fois sur quatre : 0,2461. La valeur la plus probable d’une loi binomiale a généralement une probabilité assez faible.
défauts de contrôle qualité - Avec quarante unités et un taux de défaut de 8 %, le nombre moyen de défauts est de 3,2. N’accepter un lot que s’il compte au plus deux unités défectueuses conduit donc à rejeter la plupart des lots qui se comportent exactement comme prévu : la probabilité cumulée vaut 0,3694.
lancers francs au basket - Pour un joueur qui réussit 78 % de ses lancers francs, la moyenne sur 25 tentatives est de 19,5 réussites. En réussir exactement 20, l’entier le plus proche de cette moyenne, ne se produit pourtant que dans 19 % des cas. Cela montre l’étalement de la distribution pour cette valeur de n.
processus d'événement rare - Sur soixante essais, avec une probabilité de succès de 3 %, la moyenne est de 1,8 réussite. « Au plus une » n’est donc pas un résultat aussi banal qu’il y paraît : il se produit dans 46 % des cas, tandis qu’aucun succès n’est obtenu dans 16 % des cas.