Explorateur de la loi binomiale

La loi binomiale donne la probabilité d'obtenir k succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes : P(X=k) = nCr * p^k * (1-p)^{n-k}. Lorsque n est grand, elle tend vers la loi normale (théorème de de Moivre-Laplace) ou vers la loi de Poisson (pour p petit), servant de base à l'inférence statistique.

Imagine lancer la même pièce truquée n fois et compter simplement combien de fois elle tombe sur pile. Ce compte est une variable aléatoire binomiale : chaque lancer est indépendant et tous partagent la même probabilité de succès p. L'outil te permet de faire varier n et p et de voir où la probabilité s'accumule. Ta meilleure estimation du nombre de succès est l'espérance np — 20 lancers d'une pièce équilibrée se centrent donc sur 10 piles.

Le « binomiale » de la loi binomiale est le même binôme que dans le théorème du binôme en algèbre. En développant (p + q)n avec q = 1 − p, on obtient exactement les termes nCk · pk · qn−k — les probabilités pour chaque k. Comme (p + q) = 1, le développement vaut 1n = 1, ce qui explique pourquoi les probabilités doivent sommer à un. Les coefficients nCk sont littéralement les lignes du triangle de Pascal.