Visualiseur de transformations matricielles

Entrez une matrice 2×2 et observez comment elle transforme le plan de coordonnées.

Exemple résolu — Visualiseur de transformations matricielles

det(A)	1.0000
tr(A)	2.0000
Valeurs propres	1.000, 1.000
Facteur d'échelle de l'aire	1.0000

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Un déterminant nul détruit de l’information 🖖

Le déterminant n’est pas seulement un facteur d’échelle des aires : sa valeur indique aussi si la transformation peut être annulée. Négatif signifie que le plan a été retourné, si bien qu’une figure tracée dans le sens des aiguilles ressort dans l’autre sens. Nul signifie que le plan entier a été écrasé sur une seule droite, et c’est fatal : d’innombrables points de départ différents se retrouvent alors à la même arrivée, et aucune règle ne pourrait les renvoyer d’où ils venaient. C’est exactement pour cela qu’une matrice de déterminant 0 n’a pas d’inverse. L’écrasement est la seule chose qu’une application linéaire puisse faire et qui soit irréversible.

Les colonnes disent tout 🖖

Une matrice 2×2 n'est en réalité qu'une consigne pour deux flèches. Sa première colonne indique où arrive la flèche (1, 0) et la seconde où arrive (0, 1). Comme les droites restent droites et la grille régulièrement espacée, ces deux destinations fixent où va tout autre point. Pour prévoir une transformation, il suffit de lire ses colonnes.

Les rotations n'ont pas de direction favorite 🖖

Les étirements et les cisaillements laissent au moins une droite pointer dans sa direction d'origine — un vecteur propre. Une rotation pure, elle, incline toutes les directions et n'a aucun vecteur propre réel ; ses valeurs propres forment la paire complexe cos θ ± i·sin θ. C'est exactement le e^iθ qui multiplie les nombres complexes : faire tourner le plan et multiplier par un nombre complexe de module 1 sont la même opération.

APPLICATIONS LINÉAIRES — LIRE UNE MATRICE 2×2 AVANT DE MULTIPLIER

Que fait cette matrice au plan ?

Toute matrice 2×2 déplace le plan entier d'un coup, et ses colonnes disent comment : la première colonne est le point d'arrivée de (1, 0), la seconde celui de (0, 1). Le déterminant indique ensuite ce qu'il est advenu de l'aire et de l'orientation, et les vecteurs propres nomment les directions qui ressortent orientées comme elles sont entrées. Cinq motifs couvrent presque tout ce qu'on vous donnera.

Rotation — toutes les directions tournent, rien ne s'étire [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Dilatation — chaque axe étiré par son propre facteur [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Cisaillement — une droite reste fixe, le reste glisse [1 k; 0 1], det = 1

Réflexion — le plan est retourné autour d'un axe det = −1

Singulière — le plan est aplati sur une droite det = 0

Rotation — toutes les directions tournent, rien ne s'étire

Ce que vous savez: Les colonnes sont des vecteurs unitaires perpendiculaires, la seconde étant la première tournée d'un quart de tour dans le sens direct. det = +1 : l'aire et l'orientation sont intactes.

Matrice: [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Exemple résolu: θ = 45° → [0,707 −0,707 ; 0,707 0,707] → (1, 0) arrive en (0,707, 0,707) et toutes les longueurs sont conservées

Ouvrir ce cas: Rotation 45°

Rotation — toutes les directions tournent, rien ne s'étire. Le carré unité garde sa taille et sa forme et arrive incliné de 45°. Les colonnes sont des vecteurs unitaires perpendiculaires, la seconde étant la première tournée d'un quart de tour dans le sens direct. det = +1 : l'aire et l'orientation sont intactes. — Le carré unité garde sa taille et sa forme et arrive incliné de 45°.

Dilatation — chaque axe étiré par son propre facteur

Ce que vous savez: La matrice est diagonale : les deux termes hors diagonale sont nuls. Chaque axe est multiplié par son nombre, et det = k₁·k₂ est le facteur d'aire.

Matrice: [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Exemple résolu: [2 0 ; 0 0,5] → x double et y est divisé par deux → det = 2 × 0,5 = 1 : l'aire ne change pas, la forme si

Ouvrir ce cas: Mise à l'échelle

Dilatation — chaque axe étiré par son propre facteur. Le carré devient un rectangle : deux fois plus large, deux fois moins haut, même aire. La matrice est diagonale : les deux termes hors diagonale sont nuls. Chaque axe est multiplié par son nombre, et det = k₁·k₂ est le facteur d'aire. — Le carré devient un rectangle : deux fois plus large, deux fois moins haut, même aire.

Cisaillement — une droite reste fixe, le reste glisse

Ce que vous savez: Les deux termes diagonaux valent 1 et un seul terme hors diagonale est non nul. det = 1 : l'aire est conservée, mais rien ici n'est rigide.

Matrice: [1 k; 0 1], det = 1

Exemple résolu: [1 1 ; 0 1] → (1, 0) reste en place et (0, 1) glisse en (1, 1) → le carré penche en un parallélogramme de même aire

Ouvrir ce cas: Cisaillement

$Cisaillement — une droite reste fixe, le reste glisse. Base fixe, sommet décalé : même base, même hauteur, donc même aire. Les deux termes diagonaux valent 1 et un seul terme hors diagonale est non nul. det = 1 : l'aire est conservée, mais rien ici n'est rigide.$

Base fixe, sommet décalé : même base, même hauteur, donc même aire.

Réflexion — le plan est retourné autour d'un axe

Ce que vous savez: det = −1. La valeur 1 dit que l'aire est conservée ; le signe moins dit que l'orientation est inversée.

Matrice: det = −1

Exemple résolu: [−1 0 ; 0 1] → (1, 0) devient (−1, 0) et (0, 1) reste → chaque point est renvoyé de l'autre côté de l'axe des y

Ouvrir ce cas: Réflexion

Réflexion — le plan est retourné autour d'un axe. Le carré atterrit de l'autre côté du miroir, sommets en ordre inversé. det = −1. La valeur 1 dit que l'aire est conservée ; le signe moins dit que l'orientation est inversée. — Le carré atterrit de l'autre côté du miroir, sommets en ordre inversé.

Singulière — le plan est aplati sur une droite

Ce que vous savez: det = 0 : les deux colonnes sont multiples l'une de l'autre et pointent donc le long d'une seule droite. La matrice n'a pas d'inverse.

Matrice: det = 0

Exemple résolu: [1 2 ; 0,5 1] → det = 1·1 − 2·0,5 = 0 → tout le plan atterrit sur la droite y = x/2, et la direction (2, −1) est écrasée sur l'origine

Ouvrir ce cas: Singulière

Singulière — le plan est aplati sur une droite. Il ne reste plus d'aire au carré : chaque point est sur une droite passant par l'origine. det = 0 : les deux colonnes sont multiples l'une de l'autre et pointent donc le long d'une seule droite. La matrice n'a pas d'inverse. — Il ne reste plus d'aire au carré : chaque point est sur une droite passant par l'origine.

Problème entièrement résolu

La matrice identité et un cisaillement avec des valeurs propres identiques 5 étapes
La matrice identité et un cisaillement affichent le même déterminant, la même trace et la même paire de valeurs propres. Les quatre lignes ci-dessus sont identiques pour les deux. Prouvez que les matrices diffèrent malgré tout — en utilisant le même outil des valeurs propres qui vient d'échouer à les séparer.
1. Toutes deux ont un déterminant égal à 1 et une trace égale à 2. Pour l'identité, c'est évident. Pour le cisaillement, cela traduit une réalité : faire glisser le plan latéralement proportionnellement à la hauteur conserve toutes les aires, ce qui explique pourquoi le parallélogramme sur la figure change de forme sans changer de surface.
  
  $I = (1001), S = (1011) : det = 1, tr = 2$
2. Le polynôme caractéristique étant construit à partir de ces deux seuls nombres, il ne peut pas non plus les séparer. Tous deux donnent (λ − 1)², une racine double en 1. Deux matrices différentes, un seul spectre.
  
  $λ^{2} - (tr A) λ + det A = λ^{2} - 2 λ + 1 = (λ - 1)^{2} ⟹ λ = 1, 1$
3. Les valeurs propres sont là où s'arrêtent la plupart des cours. Les vecteurs propres sont là où ces deux-ci se séparent. Pour l'identité, A − λI est la matrice nulle, l'équation est donc vérifiée par tout vecteur du plan.
  
  $(I - λ I) v = 0 : 0 v = 0 for every v ⟹ ker = R^{2}$
4. Pour le cisaillement, A − λI possède un seul coefficient non nul qui impose y = 0. Seul l'axe horizontal reste fixe — une droite, et non un plan.
  
  $(S - λ I) v = (0010) (x y) = (y 0) = 0 ⟹ y = 0$
5. Cette différence a un nom et une conséquence. La valeur propre du cisaillement a une multiplicité algébrique égale à 2 mais une multiplicité géométrique égale à 1, ce qui rend la matrice défective : il n'existe pas de base de vecteurs propres, elle ne peut donc pas être diagonalisée. Ses puissances croissent linéairement tandis que celles de la matrice identité restent immobiles.
  
  $dim ker (I - λ I) = 2 \neq = dim ker (S - λ I) = 1, S^{n} = (10 n 1)$
Réponse

Chaque valeur affichée par l'outil — det = 1,0000, tr = 2,0000, λ = 1,000, 1,000 — est commune aux deux matrices. Réglez b sur 1 et observez l'affichage refuser de bouger pendant que la grille glisse visiblement. Les invariants ne sont pas incomplets par hasard : le déterminant et la trace sont deux nombres et une matrice 2×2 en comporte quatre, deux degrés de liberté doivent donc disparaître quelque part. Ce qu'ils ne permettent pas de voir, c'est la dimension de l'espace propre, 2 contre 1 — et c'est exactement ce qui détermine si Aⁿ reste immobile ou croît sans limite. C'est pourquoi « trouver les valeurs propres » n'est jamais la consigne complète.

$det, tr, λ all agree; dim ker (A - λ I) = 2 vs 1 does not$

Parcours

Des matrices qui transforment l'espace

Mène à Vecteurs propres

Références (1)

The memoir that made a matrix an object with an algebra of its own, rather than a way of writing a system down: A. Cayley, "A memoir on the theory of matrices." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37, 1858.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-27

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Exemples de problèmes

Rotation 45° - det(A) = 0.9997, et non 1 — une rotation devrait conserver l’aire exactement, et l’écart de 3 pour 10000 vient du 0.707 saisi, pas de la géométrie
Cisaillement - det(A) = 1.0000 avec les valeurs propres 1.000, 1.000 — aire inchangée, et une valeur propre double ne laisse qu’une seule direction invariante
Mise à l'échelle - Étirer par 2 et comprimer par 0.5 donne det(A) = 1.0000 : une mise à l’échelle qui change toutes les longueurs et aucune aire
Réflexion - det(A) = −1.0000 — la même aire, parcourue en sens inverse ; les valeurs propres 1.000 et −1.000 sont l’axe du miroir et sa normale
Singulière - det(A) = 0.0000 et la page affiche SINGULAR : la valeur propre 0.000 est la direction selon laquelle le plan est écrasé