Explorateur de vecteurs propres 2D
action de la matrice sur les vecteurs de base et le cercle unité transformé
la structure propre est l'empreinte de la transformation 🖖
La trace et le déterminant contraignent globalement les valeurs propres, tandis que les vecteurs propres définissent les sous-espaces invariants. Ensemble, ils forment une empreinte dynamique minimale de l'application linéaire.
les flèches qui refusent de tourner 🖖
Appliquez la matrice à la plupart des vecteurs et ils basculent vers une direction toute nouvelle. Les vecteurs propres sont les rares qui restent sur leur propre droite : la transformation ne fait que les étirer ou les rétrécir d'un nombre, la valeur propre, et peut les retourner de 180°. À retenir : placez un vecteur sur une droite verte de vecteur propre et chaque transformation le garde aligné sur cette droite — ces droites sont le squelette fixe de l'application.
Google a été bâti sur un vecteur propre géant 🖖
La même idée anime le PageRank originel de Google. Considérez tout le Web comme une unique matrice géante de liens, et le rang de chaque page est essentiellement le vecteur propre dominant — la seule direction invariante qui survit à des clics aléatoires sans fin. Ce que vous déplacez ici en 2D est la version miniature d'un calcul autrefois mené sur des milliards de pages. La centralité de vecteur propre mesure l'influence dans les réseaux sociaux exactement de la même façon.
Exemples de problèmes
- étirement symétrique - Une matrice symétrique possède deux directions propres réelles et orthogonales.
- cisaillement seul - Une matrice de cisaillement a une valeur propre double avec une seule direction propre dominante.
- rotation - Une rotation pure possède des valeurs propres complexes et aucun vecteur propre réel.
- réflexion - Une réflexion inverse un axe et conserve l'autre.
- étirement anisotrope - étirement anisotrope
- permuter les axes - permutation des axes