Explorateur de vecteurs propres 2D

action de la matrice sur les vecteurs de base et le cercle unité transformé

Exemple résolu — Explorateur de vecteurs propres 2D

Règle du vecteur propre	0on la résout pour λ
Échelle d'aire \|det\|	3

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

la trace et le déterminant déterminent ensemble les valeurs propres 🖖

Deux des quatre nombres que vous saisissez déterminent les valeurs propres. L’équation caractéristique est λ² − (trace)λ + det = 0 : à elles deux, la trace et le déterminant en fixent les racines. Le signe de tr² − 4det indique alors dans lequel de ces trois cas se trouve l’application : deux directions propres réelles, une seule ou aucune. Le panneau affiche ces trois nombres. Réflexion et Permutation des axes ont toutes deux une trace égale à 0 et un déterminant égal à −1. Elles ont donc les mêmes valeurs propres, 1 et −1, sans être pour autant la même application : toute la différence se retrouve dans les vecteurs propres.

les flèches qui refusent de tourner 🖖

Appliquez la matrice à un vecteur quelconque : il change généralement de direction. Les vecteurs propres sont ceux qui restent sur leur droite. La transformation se contente de les étirer ou de les contracter selon un nombre, la valeur propre, quitte à les retourner de 180°. Placez un vecteur sur une droite propre verte : cette matrice l’y maintiendra, quel que soit le nombre d’applications successives. Ces droites forment l’ossature fixe de l’application.

Google a été bâti sur un vecteur propre géant 🖖

Le PageRank conçu à l’origine par Google repose sur la même idée. Considérez l’ensemble du Web comme une immense matrice de liens : le vecteur regroupant le rang de chaque page est le vecteur propre dominant, l’unique direction invariante qui subsiste après une infinité de clics aléatoires. Ce que vous manipulez ici en 2D est une version miniature d’un calcul autrefois effectué sur des milliards de pages.

VECTEURS PROPRES — QUELLES DIRECTIONS SURVIVENT À LA TRANSFORMATION ?

Dans quel cas de vecteurs propres êtes-vous ?

Un vecteur propre est une direction que la matrice refuse de tourner : elle ne fait que l’étirer, de la valeur propre λ. L’existence même de telles directions est réglée par un seul nombre, le discriminant Δ = tr(A)² − 4·det(A). Positif en donne deux, nul en donne une, négatif n’en donne aucune dans le plan réel. Orthogonalité, retournement et rotation découlent tous de l’endroit où votre matrice tombe dans ce classement.

Δ > 0 — deux directions réelles, et la symétrie les rend perpendiculaires Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Une valeur propre négative — la direction survit mais pointe à l’envers det < 0 ⇒ λ = ±1

Δ = 0 — une valeur propre deux fois, et une seule direction à montrer Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Δ < 0 — une rotation, et aucun vecteur propre réel Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Δ > 0 — deux directions réelles, et la symétrie les rend perpendiculaires

Ce que vous savez: Le discriminant est positif : il y a donc deux valeurs propres réelles distinctes et deux directions propres indépendantes. Si la matrice est symétrique, c’est-à-dire a₁₂ = a₂₁, ces directions forment toujours un angle droit.

Test: Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Exemple résolu: A = [[2, 1], [1, 2]] : tr = 4, det = 3, Δ = 16 − 12 = 4 → λ = 3 selon (1, 1) et λ = 1 selon (1, −1)

Ouvrir ce cas: étirement symétrique

Δ > 0 — deux directions réelles, et la symétrie les rend perpendiculaires. Deux directions perpendiculaires survivent, et tout le reste est tiré vers la plus forte. Le discriminant est positif : il y a donc deux valeurs propres réelles distinctes et deux directions propres indépendantes. Si la matrice est symétrique, c’est-à-dire a₁₂ = a₂₁, ces directions forment toujours un angle droit. — Deux directions perpendiculaires survivent, et tout le reste est tiré vers la plus forte.

Une valeur propre négative — la direction survit mais pointe à l’envers

Ce que vous savez: Encore deux valeurs propres réelles, mais l’une est négative, donc det < 0. Les vecteurs de cette direction reviennent inversés et le plan entier est retourné.

Test: det < 0 ⇒ λ = ±1

Exemple résolu: A = [[1, 0], [0, −1]] : tr = 0, det = −1, Δ = 4 → λ = 1 selon (1, 0) et λ = −1 selon (0, 1)

Ouvrir ce cas: réflexion

Une valeur propre négative — la direction survit mais pointe à l’envers. Un axe est laissé tel quel, l’autre est renvoyé sur lui-même : un miroir. Encore deux valeurs propres réelles, mais l’une est négative, donc det < 0. Les vecteurs de cette direction reviennent inversés et le plan entier est retourné. — Un axe est laissé tel quel, l’autre est renvoyé sur lui-même : un miroir.

Δ = 0 — une valeur propre deux fois, et une seule direction à montrer

Ce que vous savez: Le discriminant vaut exactement zéro : les deux valeurs propres se confondent. Une valeur propre double ne promet pas deux directions : il n’y en a qu’une ici, et la matrice n’est pas diagonalisable.

Test: Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Exemple résolu: A = [[1, 1], [0, 1]] : tr = 2, det = 1, Δ = 4 − 4 = 0 → λ = 1 deux fois, avec (1, 0) pour unique direction propre

Ouvrir ce cas: cisaillement seul

Δ = 0 — une valeur propre deux fois, et une seule direction à montrer. L’axe horizontal reste fixe tandis que toute autre direction s’incline : il n’existe pas de second vecteur propre. Le discriminant vaut exactement zéro : les deux valeurs propres se confondent. Une valeur propre double ne promet pas deux directions : il n’y en a qu’une ici, et la matrice n’est pas diagonalisable. — L’axe horizontal reste fixe tandis que toute autre direction s’incline : il n’existe pas de second vecteur propre.

Δ < 0 — une rotation, et aucun vecteur propre réel

Ce que vous savez: Un discriminant négatif signifie que les valeurs propres forment une paire complexe conjuguée. Géométriquement la matrice tourne le plan, et une rotation ne laisse aucune direction pointer là où elle était.

Test: Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Exemple résolu: A = [[0, −1], [1, 0]] : tr = 0, det = 1, Δ = −4 → λ = ±i, un quart de tour sans vecteur propre réel

Ouvrir ce cas: rotation

Δ < 0 — une rotation, et aucun vecteur propre réel. Chaque flèche quitte sa propre droite : il ne reste rien qu’un vecteur propre réel puisse être. Un discriminant négatif signifie que les valeurs propres forment une paire complexe conjuguée. Géométriquement la matrice tourne le plan, et une rotation ne laisse aucune direction pointer là où elle était. — Chaque flèche quitte sa propre droite : il ne reste rien qu’un vecteur propre réel puisse être.

Références (1)

Insight block 3 — the dominant eigenvector Google was built on: S. Brin and L. Page, "The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine." Computer Networks and ISDN Systems 30(1–7), 107–117, 1998.

Problème entièrement résolu

Application d'une transformation dix fois en utilisant les vecteurs propres dérivés 7 étapes
Le panneau déduit les valeurs propres à votre place : trace, déterminant, discriminant, et sortent 3 et 1. Ignorez complètement cette route. Trouvez d'abord les vecteurs propres en regardant la matrice, puis servez-vous-en pour ce que l'outil ne sait pas faire du tout : appliquer la transformation dix fois.
1. La matrice est symétrique, et la symétrie indique où chercher. Essayez la diagonale : A envoie (1, 1) sur (3, 3), la même flèche trois fois plus longue. Donc (1, 1) est une direction propre et 3 sa valeur propre. Une multiplication, aucun polynôme caractéristique.
  
  $A (11) = (2 + 1 1 + 2) = (33) = 3 (11)$
2. Essayez l'autre diagonale. A laisse (1, −1) exactement où elle était : voilà la seconde direction propre, de valeur propre 1. Deux directions indépendantes, c'est tout ce que possède une matrice 2×2, la recherche est donc terminée — et la paire s'accorde avec ce qu'affiche le panneau.
  
  $A (1 - 1) = (2 - 1 1 - 2) = (1 - 1) = 1 \cdot (1 - 1)$
3. Elles sont perpendiculaires, et pas par chance : une matrice symétrique a toujours des directions propres orthogonales. C'est ce fait que dépense l'étape suivante, car il permet de défaire le changement de base par une transposition plutôt que par une inversion.
  
  $(11) \cdot (1 - 1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$
4. Ramenez-les à la longueur 1 et rangez-les en colonnes dans Q. Des colonnes orthonormées font de Qᵀ l'inverse de Q : A se factorise donc en une rotation, un étirement le long des axes, et la rotation défaite.
  
  $Q = \frac{1}{2} (11 1 - 1), Λ = (3001), A = Q Λ Q^{T}, Q^{T} = Q^{- 1}$
5. Vient le bénéfice. Multipliez cette factorisation par elle-même : chaque QᵀQ intérieur s'effondre en l'identité, et il reste Q, la puissance n-ième d'une matrice diagonale, et Qᵀ. Élever une matrice diagonale à une puissance revient à élever chaque coefficient — c'est toute la raison d'être de la diagonalisation.
  
  $A^{n} = (Q Λ Q^{T})^{n} = Q Λ^{n} Q^{T} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1)$
6. Posez n = 10. Seul 3¹⁰ travaille ; l'autre valeur propre vaut 1, et 1 à n'importe quelle puissance reste 1, sa contribution est donc la même qu'au départ.
  
  $n = 10 : 3^{10} = 59049 ⟹ A^{10} = \frac{1}{2} (59050590485904859050) = (29525295242952429525)$
7. La même factorisation dit ce qui arrive à une flèche quelconque, pas seulement à la matrice. Décomposez-la sur les deux directions propres : chaque application multiplie une part par 3 et laisse l'autre intacte, si bien que leur rapport change d'un facteur 3 à chaque fois.
  
  $v = c_{1} (11) + c_{2} (1 - 1) ⟹ \frac{c _{2} \cdot 1 ^{n}}{c _{1} \cdot 3 ^{n}} = \frac{c _{2}}{c _{1}} 3^{- n}, 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$
Réponse

A¹⁰ porte 29 525 sur la diagonale et 29 524 en dehors — un écart de 1 sur 29 525. Cette quasi-égalité, c'est exactement l'image ci-dessus racontée vers l'avant. La composante (1, −1) de toute flèche de départ est divisée par 3 à chaque application : après dix, elle vaut 1/59 049 de ce qu'elle était, et tout finit couché le long de (1, 1). L'outil montre une application. Les valeurs propres en font la totalité, et disent à quelle vitesse.

$A^{n} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1); A^{10} = (29525295242952429525), 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$

Parcours

Des matrices qui transforment l'espace

Mène à Décomposition en valeurs singulières les directions que la transformation ne fait pas pivoter, ainsi que le facteur par lequel elle étire chacune d'elles.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-27

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Exemples de problèmes

étirement symétrique - Valeurs propres 3 et 1, dans les directions (1, 1) et (1, -1). Les directions propres d’une matrice symétrique sont toujours perpendiculaires. L’exercice corrigé ci-dessous élève cette matrice à la puissance dix.
cisaillement seul - Le discriminant vaut 0 : les deux valeurs propres sont égales à 1, mais il n’existe qu’une seule direction propre, celle de l’axe des x. Un cisaillement n’est pas diagonalisable.
rotation - Un quart de tour : tr² - 4det = -4, les valeurs propres sont ±i et aucune flèche réelle ne ressort dans sa direction initiale.
réflexion - Trace 0, déterminant -1, valeurs propres 1 et -1 dans les directions des deux axes. Le déterminant négatif révèle la réflexion : l’aire est conservée, l’orientation inversée.
étirement anisotrope - Valeurs propres 3 et 0,5 : l’étirement selon x est six fois celui selon y. Le déterminant vaut 1,5, si bien que chaque aire augmente de moitié.
permuter les axes - Même trace 0 et même déterminant -1 que pour la réflexion, donc mêmes valeurs propres 1 et -1. Permuter les axes revient aussi à effectuer une réflexion, par rapport à la droite y = x.

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3Blue1Brown·Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra