Pente et proportions

Deux panneaux, une seule série. Celui de gauche fait partir son axe de zéro ; celui de droite s'ajuste aux données. Modifiez la hauteur et observez les deux angles varier, alors que les nombres restent rigoureusement identiques.

Exemple résolu — Pente et proportions

Angle moyen, depuis zéro	6,1°
Angle moyen, ajusté	27,4°
Hauteur pour incliner à 45°	469 px pour une largeur de 351 px

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Un seul jeu de nombres, deux images différentes 🖖

Les deux panneaux tracent les douze mêmes nombres. Celui de gauche fait démarrer son axe à zéro, celui de droite s'ajuste aux données. Les deux angles affichés au-dessus sont très éloignés. Modifiez la hauteur avec le curseur. Observez-les varier de concert alors que les nombres en dessous restent invariables. C'est là tout notre propos : la raideur n'est pas dans les données. Elle est imposée par l'étendue de l'axe des ordonnées et les proportions du cadre. Ces deux éléments résultent des choix de la personne qui a dessiné le graphique. Ainsi, dire qu'un graphique montre une forte hausse revient à décrire un axe. Le problème résolu ci-dessous le démontre avec des valeurs exactes sur un cadre défini de 600 × 300, où cette même droite affiche 20,1° ou 3,1° selon le seul point de départ de l'axe.

Deux leviers, et ils s'annulent exactement 🖖

L'angle obéit à une seule formule : tan θ = pente × (pixels par unité y) ÷ (pixels par unité x). L'auteur dispose ainsi de deux leviers. Ils se compensent parfaitement. Réduisez de moitié l'étendue des ordonnées et réduisez de moitié la hauteur du cadre. La droite affichera un angle identique, à neuf décimales près. Il n'existe donc pas de graphique sans échelle. Chaque graphique en courbes jamais tracé a impliqué ce choix. Simplement, la plupart ne vous l'ont pas dit.

Il existe une réponse défendable, et elle semble fausse 🖖

L'œil jugeant les angles plutôt que les pentes, il distingue mieux deux raideurs différentes lorsque les segments se situent autour de 45°. Choisir le ratio d'aspect qui y place le segment typique s'appelle l'inclinaison à 45°. C'est une affaire d'arithmétique, pas de goût. Cliquez sur le bouton pour que l'outil calcule la hauteur de votre panneau et affiche la largeur utilisée. Une hauteur d'inclinaison ne signifie rien en soi, car ce que l'on choisit est un ratio. Sur une largeur de 600 pixels, cette série réclame une hauteur de 818 pixels. Plus haut que large. Personne ne dessinerait cela d'instinct, et pourtant, c'est la forme honnête pour ces données. Pouvoir calculer ce nombre transforme la consigne « choisissez de bonnes proportions » en un critère que vous pouvez vérifier.

Problèmes entièrement résolus

Angle d'une droite qui monte de 2 unités par pas sur 12 points 7 étapes
Un graphique fait 600px de large et 300px de haut, son axe des ordonnées va de 95 à 125, et la courbe monte de 2 unités par pas sur 12 points. Sous quel angle est-elle réellement tracée ?
1. Raisonnez en pixels par unité. Douze points forment onze intervalles sur 600 pixels. L'axe de 30 unités s'étale quant à lui sur 300 pixels.
  
  $\frac{600}{11} = 54.55 \frac{300}{30} = 10$
2. Un pas de 2 unités de données représente donc une élévation de 20 pixels, contre 54,5 pixels en largeur.
  
  $tan θ = \frac{2 \times 10}{54.55} = \frac{20}{54.55} = 0.3667$
3. Voilà votre angle. Maintenant, ouvrez l'axe à 0–200 sans rien changer d'autre. L'échelle verticale tombe à 1,5 pixel par unité. Ce même pas mesure désormais 3 pixels au lieu de 20.
  
  $θ = arctan 0.3667 = 20. 1^{\circ}$
4. De 20,1° à 3,1°, avec les douze mêmes nombres. Quiconque décrit le premier cas comme une montée abrupte et le second comme plat décrit en réalité l'axe.
  
  $\frac{300}{200} = 1.5 \Rightarrow tan θ = \frac{3}{54.55} \Rightarrow θ = 3. 1^{\circ}$
5. Voici la vérification prouvant que ces deux leviers n'en font qu'un. Réduisez de moitié l'étendue pour passer à 15 unités. Réduisez de moitié la hauteur à 150 pixels. Les pixels par unité restent inchangés, l'angle doit donc l'être aussi.
  
  $\frac{150}{15} = 10 = \frac{300}{30}$
6. L'inclinaison à 45° pose la question inverse. Quelle hauteur place le segment typique à 45°, là où tan θ = 1 et où l'œil compare le mieux les pentes ? Égalisez l'élévation en pixels avec l'avancée en pixels, puis résolvez pour trouver la hauteur.
  
  $tan θ = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{H}{30} = 54.55$
7. 818 pixels de haut contre 600 de large. C'est la forme qu'exigent ces données. Personne ne trace un tel format d'instinct. C'est pourquoi il faut le calculer plutôt que de l'estimer à vue d'œil.
  
  $H = \frac{54.55 \times 30}{2} = 818$
Réponse

20,1°, et elle aurait pu tout aussi honnêtement s'afficher à 3,1°. L'angle est fixé par l'étendue de l'axe et le cadre. Ces deux facteurs s'annulant exactement, aucun graphique n'est dépourvu d'échelle. L'inclinaison à 45° offre une réponse défendable pour cette série : 818 pixels de haut pour une largeur de 600 pixels.
Une hausse et une chute dans le rapport 3 contre 1, et la forme qui le montre 7 étapes
Cliquez sur Hausse lente, chute forte. La série monte en six pas et redescend en deux, et dans les proportions par défaut les deux branches se ressemblent beaucoup. Trouvez la hauteur qui les rend le plus différentes possible, puis décidez si le bouton Incliner le panneau droit à 45° vous la donne.
1. Lisez les nombres avant de regarder l'image. Dix-sept points, seize pas, et deux valeurs seulement dans toute la série : une hausse de 5 douze fois et une chute de 15 quatre fois. Il n'y a rien d'autre dans ces données.
  
  $100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 115, 100, \dots \Rightarrow + 5 (\times 12), - 15 (\times 4)$
2. Le pas médian vaut donc 5 et le rapport des deux branches est exactement 3. Ce rapport est une propriété des nombres, qu'aucune proportion de cadre ne peut toucher, et c'est précisément pour cela que l'image est libre de mentir à son sujet.
  
  $median ∣ slope ∣ = 5, \frac{∣ - 15∣}{5} = 3 at every aspect ratio$
3. Donnez au segment médian une pente en pixels et appelez-la s. La branche raide se trouve alors à 3s, et les angles que vous voyez réellement en sont les arctangentes. Toute la question est de choisir s.
  
  $θ_{↑} = arctan s, θ_{↓} = arctan 3 s (s = median pixel slope)$
4. L'inclinaison à 45° choisit s = 1, et c'est ce que fait le bouton : la hauteur est étirée jusqu'à ce que le segment médian se place à 45°. La branche montante tombe sur 45,000° et la descendante sur 71,565°, soit un écart de 26,565°.
  
  $s = 1 : 45.00 0^{\circ} and 71.56 5^{\circ}, Δ θ = 26.56 5^{\circ}$
5. Mais l'écart n'a jamais été ce que l'inclinaison maximisait ; demandez-le donc directement. Dérivez la différence entre les deux angles et annulez-la. Le 3s et le s tirent en sens contraire, l'algèbre se réduit à une seule équation du second degré, et la réponse est 1/√3.
  
  $\frac{d}{d s} (arctan 3 s - arctan s) = \frac{3}{1 + 9 s ^{2}} - \frac{1}{1 + s ^{2}} = 0 ⟹ s^{*} = \frac{1}{3}$
6. Dans ces proportions, les deux branches ressortent à 30° et 60°, et l'écart vaut 30,000° : trois degrés et demi de plus que ce que donne l'inclinaison, pour un cadre à peine plus haut que la moitié.
  
  $s^{*} = 0.5774 : 30.00 0^{\circ} and 60.00 0^{\circ}, Δ θ = 30.00 0^{\circ}$
7. Les deux réponses sont complémentaires, et ce n'est pas une coïncidence liée au nombre 3. La paire la plus distinguable est toujours symétrique autour de 45°, autrement dit c'est la moyenne géométrique des deux pentes qui doit se trouver à 45°. La règle de Cleveland énonce cela pour une série dont les pentes ont toutes la même taille.
  
  $arctan \frac{1}{r} + arctan r = 9 0^{\circ}, s^{*} \cdot 3 s^{*} = 1$
Réponse

30° et 60°, à 0,577 de la hauteur inclinée. Quel que soit le nombre affiché par la carte Hauteur pour incliner à 45° pour votre panneau, multipliez-le par 0,577 et l'asymétrie de cette série devient aussi visible qu'elle peut l'être.

L'inclinaison reste le bon réglage par défaut, et ceci n'est pas un argument contre elle. Elle maximise la capacité de l'œil à distinguer une pente d'une autre sur tout un ensemble de pentes, en prenant la médiane comme représentante du cas typique, et sur une série aux pentes nombreuses et variées, c'est la bonne chose à faire. Cette série en a deux. Lorsqu'un jeu de données ne contient qu'un petit nombre de pentes distinctes et que la question est de savoir si elles diffèrent, la médiane ne représente plus rien et la grandeur qui compte est la moyenne géométrique : √(5 × 15) plutôt que 5.

Cela mérite d'être su, car la série qui a rendu l'inclinaison célèbre a exactement cette forme. Tracé en hauteur, le relevé des taches solaires ressemble à une rangée de bosses symétriques ; tracé bas et large, comme Cleveland l'a dessiné, les cycles sont manifestement plus raides à la montée qu'à la descente. Les proportions faisaient toute la différence. Le calcul ci-dessus dit à quel point il faut aplatir, et il dit qu'avec deux pentes plutôt que beaucoup, la réponse honnête est plus plate encore que la règle qu'il a écrite.

$H^{*} = \frac{H _{banked}}{r} : r = 3 \Rightarrow 0.577 H_{banked}$

Références (2)

Banking to 45 degrees: the aspect ratio the tool computes, and why that angle Cleveland, W. S., McGill, M. E. and McGill, R. (1988). The Shape Parameter of a Two-Variable Graph. Journal of the American Statistical Association, 83(402), 289–300. doi:10.1080/01621459.1988.10478598
Where the perceptual claim underneath it comes from Cleveland, W. S. (1993). Visualizing Data. Hobart Press. — on judging slope, and on aspect ratio as a parameter of the display rather than of the data.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

Une hausse régulière - Une droite parfaite, qui monte de 2 à chaque pas. Recadrée sur les données, elle paraît presque cinq fois plus pentue que lorsqu’elle part de zéro. Ce sont les mêmes douze valeurs, et les deux angles changent dès que vous redimensionnez la fenêtre.
Plat, avec du bruit - Il ne se passe rien ici. Les valeurs oscillent dans une bande de quatre unités de large. Tracée depuis zéro, la ligne paraît plate. Ajustée à l'étendue propre aux données, cette même oscillation remplit le panneau et donne l'impression d'une montée. Les deux angles affichés n'ont plus rien en commun. Aucun des angles ne caractérise les données : tous deux dépendent de la largeur du panneau.
Hausse lente, chute forte - Cette fois, la courbe monte réellement lentement et descend vite, dans un rapport exact de trois à un. Mais l’écart apparent dépend du cadre : aplatissez-le, et la descente paraît trois fois plus raide ; inclinez-la à 45°, et cette même descente ne paraît plus que 1,6 fois plus raide. L’asymétrie est réelle, mais sa valeur apparente ne l’est pas.