Planificateur de taille d'échantillon et marge d'erreur

planifier la taille d'échantillon et la précision d'une enquête

Exemple résolu — Planificateur de taille d'échantillon et marge d'erreur

Confiance	95% (z* = 1.96)
Marge d'erreur	5,0%

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Un sondage national n'exige pas plus de monde qu'un sondage local 🖖

Le nombre de personnes nécessaires dépend à peine du nombre de personnes existantes. À 95 % de confiance et ±5 %, cet outil demande 385 répondants que la population soit d'un million ou totalement illimitée : les deux donnent la même réponse. Ce n'est que lorsque la population descend vers 5 000 que la correction pour population finie mord, et même alors elle ne ramène 385 qu'à 357. L'intuition renversée est celle d'un échantillon qui devrait être un pourcentage du tout, ce qui rendrait désespéré tout sondage à l'échelle d'un pays ; ce qui compte réellement pour la formule, c'est la variation aléatoire que vous acceptez, et une population de millions n'en apporte aucune en propre.

Pourquoi la précision coûte au carré 🖖

Ce planificateur répond à une seule question : combien de personnes interroger pour cerner un pourcentage avec une marge d'erreur choisie ? Comme la marge décroît avec la racine carrée de la taille d'échantillon, doubler la précision coûte quatre fois plus de répondants — passer de ±3% à ±1.5% quadruple n environ. Si la proportion attendue est inconnue, prenez p = 0.5 : cela maximise p(1−p) et donne la taille d'échantillon la plus grande et la plus sûre.

Quand 2.4 millions de réponses ont eu tort 🖖

La formule de la marge d'erreur ne mesure que l'erreur d'échantillonnage aléatoire : elle suppose que chaque répondant a été choisi au hasard. En 1936, le Literary Digest interrogea environ 2.4 millions de personnes et prédit avec assurance la victoire de Landon sur Roosevelt ; George Gallup vit juste avec à peine 50,000. Sa liste surreprésentait les propriétaires de voiture et de téléphone pendant la Dépression : un immense échantillon biaisé a perdu face à un petit échantillon représentatif. Aucune taille d'échantillon ne corrige une base de sondage biaisée.

Problème entièrement résolu

La taille de l'échantillon pour un sondage précis à ±5 % à 95 % de confiance 5 étapes
Vous voulez un sondage précis à ±5% avec un niveau de confiance de 95%. Dérivez la taille de l'échantillon — puis déterminez ce qu'il en coûte pour diviser l'erreur par deux, et pourquoi la taille de la population n'apparaît jamais.
1. La marge d'erreur est la demi-largeur de l'intervalle de confiance pour une proportion. Elle diminue comme la racine carrée de la taille de l'échantillon, d'où proviennent toutes les surprises.
  
  $ME = z^{*} \frac{p ( 1 - p )}{n}$
2. Réorganisez l'équation pour n. La valeur 1.96 est la valeur normale centrée réduite isolant 2.5% dans chaque queue — c'est une propriété du niveau de confiance, pas de vos données.
  
  $n = \frac{( z ^{*} ) ^{2} p ( 1 - p )}{ME ^{2}}, z^{*} = 1.96 at 95%$
3. Remplacez les variables. Le planificateur ci-dessus affiche ce n, et le résultat de 385 explique pourquoi tant de sondages interrogent environ mille répondants.
  
  $n = \frac{1.9 6 ^{2} \times 0.25}{0.0 5 ^{2}} = \frac{0.9604}{0.0025} = 384.2 \to 385$
4. Notez que p = 0.5 a été utilisé sans connaître la véritable proportion. C'est délibéré : p(1−p) atteint son maximum ici, c'est donc le pire des cas et la taille de l'échantillon est sûre quelle que soit la réponse finale.
  
  $p (1 - p) \leq 0.25 always, maximised at p = 0.5$
5. Divisez maintenant l'erreur ciblée par deux. C'est le carré au dénominateur qui fait les dégâts.
  
  $ME = 2.5% : n = \frac{0.9604}{0.000625} = 1537$
Réponse

385 personnes pour ±5%, et 1537 pour ±2.5%. Quatre fois le coût pour doubler la précision — la loi de la racine carrée qui fonctionne à l'envers, et la raison pour laquelle les sondages s'arrêtent à quelques milliers de personnes plutôt que de pousser jusqu'à ±1%, ce qui nécessiterait 9604 personnes. L'autre surprise réside dans ce qui manque : la population n'intervient jamais. Un échantillon de 385 personnes est aussi précis pour une ville de 100 000 habitants que pour un pays de 100 millions, car l'estimation dépend du nombre de personnes interrogées, et non de celles qui ne l'ont pas été.

$n = \frac{( z ^{*} ) ^{2} p ( 1 - p )}{ME ^{2}} = 385 ME halved \Rightarrow n quadrupled$

Parcours

Quand une différence est-elle réelle ?

Références (1)

The 1936 Literary Digest poll, and why 2.4 million responses lost to 50,000: P. Squire, "Why the 1936 Literary Digest Poll Failed." Public Opinion Quarterly 52(1), 125–133, 1988.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

sondage rapide 95/5 - Confiance de 95% et marge de ±5% -> planification classique d'un sondage rapide
serré 95/3 - Une précision plus fine de ±3% exige un échantillon nettement plus grand
population finie - La correction pour population finie réduit le n nécessaire pour les petites populations
n=1000 donné - Pour n=1000 donné, calculer la marge d'erreur résultante à un niveau de confiance de 95%