Carte du khi-deux et des résidus

Change les effectifs des cellules et observe la significativité et les points chauds de résidus se mettre à jour immédiatement.

Exemple résolu — Carte du khi-deux et des résidus

Statistique du khi-deux	2.5943
Degrés de liberté	2
Valeur p	0.2733
Effectif attendu minimal	8.5
r1, c2	0.8182
r2, c2	0.8182
r1, c3	0.2647
r2, c3	0.2647

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Les résidus disent quelle case a brisé l’ajustement 🖖

Le khi-deux résume tout un tableau en un seul nombre, sans indiquer où se situent les écarts. La carte des résidus, elle, les localise. Chargez Forte association : χ² vaut 24,3415 pour 2 degrés de liberté. La contribution la plus importante vient de la ligne 1, colonne 1 — 20 observations contre 11,20 attendues, soit 6,91 du total. Le test suppose aussi que chaque effectif attendu vaut au moins environ 5. Chargez Données clairsemées : aucun des neuf effectifs ne satisfait cette condition. Le plus petit vaut 0,13, cette seule case fournit 65 % de la statistique, et la valeur p affiche pourtant un séduisant 0,0521.

Où se loge vraiment l'association 🖖

Une valeur globale du khi-deux et sa valeur p indiquent seulement s'il existe un lien entre deux variables qualitatives. Pour comprendre ce qui se passe, examinez la carte des résidus standardisés : chaque case colorée montre quelles combinaisons sont beaucoup plus ou beaucoup moins fréquentes que ne le prévoit l'indépendance. Un résidu positif signale une combinaison surreprésentée ; un résidu négatif, une combinaison sous-représentée. Cherchez les cases aux couleurs les plus vives, pas les effectifs bruts les plus élevés.

La correction de Fisher que Pearson a refusée 🖖

Les degrés de liberté affichés ici, (r−1)(c−1), sont nés d'une âpre querelle statistique. Karl Pearson a introduit le test du khi-deux en 1900, mais il a déduit ses degrés de liberté du simple nombre de catégories. En 1922, Ronald Fisher a montré que chaque effectif attendu estimé à partir des marges de la table coûte un degré de liberté — d'où (r−1)(c−1) pour une table r×c, et non rc−1. Pearson a rejeté la correction jusqu'à la fin de sa vie, mais Fisher avait raison, et c'est la formule qu'emploie ici chaque tableau.

KHI-DEUX — Y A-T-IL UNE ASSOCIATION, ET LE TEST EST-IL SEULEMENT VALIDE ?

Dans quel cas de khi-deux êtes-vous ?

Le test compare l’observé à ce qu’aurait produit l’indépendance : effectif attendu = total de ligne × total de colonne ÷ total général. La statistique additionne les écarts au carré, et les résidus standardisés disent quelles cases l’ont fait monter. Deux questions se posent dans l’ordre : d’abord si les effectifs attendus sont assez grands pour que le test signifie quelque chose, ensuite seulement si l’association est réelle.

Indépendance parfaite — la statistique vaut exactement zéro E = R_iC_j/n

Un petit χ² — le motif tient dans ce que le hasard produit χ² < χ²_α

Un grand χ² — et les résidus désignent les cases responsables r = (O − E)/√E

Effectifs attendus trop petits — le test ne s’applique pas E ≥ 5

Indépendance parfaite — la statistique vaut exactement zéro

Ce que vous savez: Chaque case égale son effectif attendu : tous les résidus sont nuls et χ² avec eux. Les lignes n’apprennent rien sur les colonnes.

Statistique: E = R_iC_j/n

Exemple résolu: Un tableau 3×3 dont toutes les cases valent 8 : chaque effectif attendu vaut aussi 8, χ² = 0 à 4 degrés de liberté, p = 1,000

Ouvrir ce cas: Référence équilibrée

Indépendance parfaite — la statistique vaut exactement zéro. Chaque effectif observé égale l’attendu : aucune case n’apporte quoi que ce soit. Chaque case égale son effectif attendu : tous les résidus sont nuls et χ² avec eux. Les lignes n’apprennent rien sur les colonnes. — Chaque effectif observé égale l’attendu : aucune case n’apporte quoi que ce soit.

Un petit χ² — le motif tient dans ce que le hasard produit

Ce que vous savez: Les effectifs s’écartent des attendus, mais pas plus que ne le ferait le bruit d’échantillonnage. χ² reste sous la valeur critique et tous les résidus sont petits.

Statistique: χ² < χ²_α

Exemple résolu: Un tableau 2×3 de 60 observations → χ² = 2,594 à 2 degrés de liberté, p = 0,273. Le plus grand résidu standardisé vaut −0,90.

Ouvrir ce cas: Dépendance faible

Un petit χ² — le motif tient dans ce que le hasard produit. Les cases s’écartent un peu de l’attendu, mais aucune ne se détache. Les effectifs s’écartent des attendus, mais pas plus que ne le ferait le bruit d’échantillonnage. χ² reste sous la valeur critique et tous les résidus sont petits. — Les cases s’écartent un peu de l’attendu, mais aucune ne se détache.

Un grand χ² — et les résidus désignent les cases responsables

Ce que vous savez: La statistique dépasse largement la valeur critique. Ce qui compte ensuite n’est pas la valeur p mais quelles cases l’ont produite, et le tableau des résidus y répond directement.

Statistique: r = (O − E)/√E

Exemple résolu: La même forme 2×3 avec 60 observations → χ² = 24,342 à 2 degrés de liberté, p = 0,000005, avec un résidu standardisé de +2,63 dans la plus grande case

Ouvrir ce cas: Association forte

Un grand χ² — et les résidus désignent les cases responsables. Deux cases sont bien au-dessus de l’attendu et deux bien en dessous : l’association a un sens. La statistique dépasse largement la valeur critique. Ce qui compte ensuite n’est pas la valeur p mais quelles cases l’ont produite, et le tableau des résidus y répond directement. — Deux cases sont bien au-dessus de l’attendu et deux bien en dessous : l’association a un sens.

Effectifs attendus trop petits — le test ne s’applique pas

Ce que vous savez: Le khi-deux est une approximation qui exige des effectifs attendus raisonnablement grands. Quand ils sont minuscules, la valeur p annoncée n’est pas fiable, quoi qu’elle affiche.

Statistique: E ≥ 5

Exemple résolu: Un tableau 3×3 de seulement 8 observations → les 9 effectifs attendus sont tous sous 5, le plus petit valant 0,13. χ² = 9,389 donne p = 0,052, et ce nombre ne doit pas être utilisé.

Ouvrir ce cas: Cas d'alerte pour données éparses

Effectifs attendus trop petits — le test ne s’applique pas. Neuf cases, huit observations : les effectifs attendus sont bien trop petits pour approcher quoi que ce soit. Le khi-deux est une approximation qui exige des effectifs attendus raisonnablement grands. Quand ils sont minuscules, la valeur p annoncée n’est pas fiable, quoi qu’elle affiche. — Neuf cases, huit observations : les effectifs attendus sont bien trop petits pour approcher quoi que ce soit.

Références (2)

Insight block 3 — where the test came from: K. Pearson, "On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine 50(302), 157–175, 1900.
And the correction Pearson never accepted, which is the (r−1)(c−1) used here: R. A. Fisher, "On the Interpretation of χ² from Contingency Tables, and the Calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society 85(1), 87–94, 1922. The DOI resolves to the publisher's 2018 digitisation of that volume.

Problème entièrement résolu

Le test complet et la valeur p pour un tableau 2×3 à la main 5 étapes
Un tableau 2×3 donne χ² = 2,5943 pour 2 degrés de liberté, et une valeur p de 0,2733. Effectuez l'ensemble du test à la main — y compris la valeur p, qui pour ce nombre de degrés de liberté ne nécessite aucune table.
1. Les effectifs théoriques supposent que les deux variables sont indépendantes, de sorte que chaque case est égale au total de sa ligne multiplié par le total de sa colonne, le tout divisé par le total général. Le plus petit est de 8,5, nettement au-dessus du seuil empirique de 5 en dessous duquel l'approximation n'est pas fiable.
  
  $E_{ij} = \frac{R _{i} C _{j}}{N} : \frac{30 \times 21}{60} = 10.5, \frac{30 \times 22}{60} = 11, \frac{30 \times 17}{60} = 8.5$
2. Chaque case contribue par son écart au carré divisé par son effectif théorique. Diviser par E est ce qui transforme un écart absolu en une valeur comparable — s'écarter de 3 sur 11 a plus d'importance que s'écarter de 3 sur 1100.
  
  $χ^{2} = \sum \frac{( O - E ) ^{2}}{E} = 2 (0.2143 + 0.8182 + 0.2647) = 2.5943$
3. Les degrés de liberté comptent les cases que l'on est libre de remplir une fois les marges fixées. Les totaux des lignes et des colonnes étant donnés, le choix de deux cases détermine le reste.
  
  $df = (r - 1) (c - 1) = 1 \times 2 = 2$
4. Deux degrés de liberté constituent le cas particulier : la loi du khi-deux est alors simplement une loi exponentielle, et la valeur p est e élevé à la puissance moins la moitié de la statistique. Pas de table, pas de logiciel.
  
  $df = 2 ⟹ p = e^{- χ^{2} /2} = e^{- 1.29717} = 0.2733$
5. Examiner la provenance de la statistique est plus instructif que le total. La colonne du milieu en fournit 63,1 % — les cases 8 contre 11 et 14 contre 11 — donc si quelque chose se passe, c'est là.
  
  $\frac{2 \times 0.8182}{2.5943} = 63.1% of χ^{2} is one column$
Réponse

L’outil affiche χ² = 2,5943, ddl = 2, p = 0,2733 et un effectif théorique minimal de 8,5. Une valeur de p égale à 0,27 n’apporte aucun élément en faveur d’une association. Elle ne prouve pas non plus l’indépendance : un tableau de 60 observations peut aisément masquer un effet modéré. Retenez surtout la dernière étape. La valeur totale du khi-deux est à elle seule peu informative ; les contributions de chaque cellule indiquent où porter votre attention. Cliquez sur le préréglage « association forte » : la colonne centrale ne contribue presque plus, tandis que les quatre cellules d’angle représentent 99,5 % de la somme.

$p = e^{- χ^{2} /2} when df = 2; p = 0.27 ⟹ no evidence of association$

Parcours

Quand une différence est-elle réelle ?

Mène à Taille de l'échantillon la même partition là où il n'y a rien à moyenner, seulement des effectifs par catégories.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

Dépendance faible - Avec 2 degrés de liberté, chi² = 2,5943 donne p = 0,2733 ; le plus grand résidu standardisé vaut -0,905. Rien ne s'écarte ici de l'indépendance.
Association forte - chi² = 24,3415 avec 2 degrés de liberté, et p est inférieur à 0,00001. La contribution principale vient de la ligne 1, colonne 1 : 20 observations pour 11,20 prévues sous l'hypothèse d'indépendance, soit un résidu de +2,63.
Cas d'alerte pour données éparses - p = 0,0521, tout près du seuil de significativité, mais sans valeur. Les neuf effectifs attendus sont inférieurs à 5 ; le plus petit vaut 0,13 et cette seule case fournit 65 % de la statistique.
Référence équilibrée - Chaque case contient 8 : tous les effectifs attendus valent 8, tous les résidus sont nuls et chi² vaut exactement 0, avec p = 1. C'est le seul ajustement parfait proposé par l'outil.