La ruine du joueur

Vous partez avec un capital et un objectif. Vous jouez jusqu’à tout perdre ou atteindre cet objectif. Commencez face à un adversaire fortuné, puis poursuivez la soirée à la roulette : faites varier la mise, d’un jeton à tout votre capital.

Exemple résolu — La ruine du joueur

Avantage sur chaque jeton misé	0,00%
Probabilité d’atteindre 1 010	0,9901%
Probabilité de ruine	99,0099%
Nombre moyen de mises, E(T)	10 000,0
Total moyen misé, E(S)	10 000,0
Perte moyenne, calculée par le résultat	0,00
Perte moyenne, calculée par les mises	0,00
Mise à laquelle la moitié des joueurs a terminé	220

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — La ruine du joueur

La ruine du joueur est le problème d’un joueur qui dispose au départ de a jetons et mise sur des épreuves indépendantes, chacune gagnée avec une probabilité p, jusqu’à perdre tout son capital ou atteindre un objectif N. Avec un jeton par coup, la probabilité d’atteindre N vaut (1 − r^a)/(1 − r^N), où r = q/p, ou a/N lorsque p = ½. L’espérance du nombre de mises vaut a/(q − p) − (N/(q − p))·P(atteindre N), ou a(N − a) lorsque p = ½. Quelle que soit la stratégie, l’espérance de la perte est égale à l’avantage q − p multiplié par l’espérance du total misé.

Ce que signifie chaque symbole

a: votre capital initial en jetons
N: l’objectif ; votre adversaire détient N − a jetons
p: la probabilité de gagner un coup dont le gain est égal à la mise, avec q = 1 − p
T: le nombre de mises effectuées pendant la soirée
S: le total misé pendant la soirée, chaque mise étant comptée une seule fois

Suppose: Chaque coup gagné rapporte un gain égal à la mise, et les résultats des coups sont indépendants. Un coup perdu fait perdre toute la mise ; le zéro compte comme une perte. Les mises sont des nombres entiers de jetons, et le joueur ne s’arrête qu’à 0 ou à N.

Face à un adversaire plus riche, un jeu équitable peut vous ruiner 🖖

Cliquez sur 10 jetons contre 1 000. Chaque lancer est équitable ; aucun réglage de la page ne le favorise dans un sens ou dans l’autre. Sur l’ensemble des joueurs, le gain moyen est exactement nul. La ligne en pointillé reste donc à 10 jetons tandis que les trajectoires s’accumulent à zéro. L’équité porte sur cette moyenne. Votre probabilité d’emporter les 1 000 jetons de l’adversaire est de 10/1 010 = 0,9901 %. Les 99,0099 % de joueurs ruinés financent les rares gagnants : un joueur sur 101 qui repart avec 1 010 jetons suffit à maintenir la moyenne à 10. Les durées sont tout aussi inégales que les fortunes. La moitié des joueurs a terminé au bout de 220 lancers, mais la durée moyenne vaut 10 × 1 000 = 10 000 lancers, sous l’effet des rares trajectoires qui s’aventurent loin. Aucune stratégie de mise ne modifie les 0,9901 % : dans un jeu équitable, la probabilité d’atteindre N est toujours a/N, comme l’indique la colonne de droite du tableau. Le jeu audacieux change la durée de la soirée et le total misé, sans modifier cette probabilité ni le gain moyen. Face à un adversaire dont le capital est illimité, la ruine est certaine. Grinstead et Snell obtiennent ce résultat en faisant tendre N vers l’infini dans 1 − a/N. Enfin, la probabilité d’atteindre N en partant de x jetons est la moyenne des probabilités obtenues en partant de x − 1 et de x + 1. Cette même propriété détermine la température d’une plaque dans <a href="/math/laplace-equation">l’équation de Laplace</a>.

L’avantage du casino s’applique à chaque jeton misé 🖖

Cliquez sur Doubler 100, un jeton. À la roulette européenne, le rouge rapporte un gain égal à la mise et sort 18 fois sur 37. Chaque jeton misé entraîne donc une perte moyenne de 1/37 = 2,70 %. On peut naturellement comprendre : « Une soirée me coûte environ 2,7 % de mon capital initial. » La ligne en pointillé plus pâle indique le capital qui resterait dans ce cas : 97,30 jetons. Or la moyenne de tous les joueurs finit en dessous d’un jeton. Pour viser 200 en misant un jeton par coup, une soirée dure en moyenne 3 666,9 mises. Chacune engage un jeton, et 1/37 de 3 666,9 vaut 99,11. C’est la perte moyenne. Le calcul à partir du résultat final donne exactement la même valeur : 100 − 200 × P(atteindre 200). Le tableau des résultats présente les deux calculs. Cliquez maintenant sur Doubler 100 d’un coup. Vous misez 100 une seule fois, l’avantage du casino vous coûte 2,70 et vous doublez avec une probabilité de 18/37 = 48,6486 %. En misant un jeton par coup, cette probabilité n’est que de 0,4466 %. Lorsque chaque mise vous est défavorable, aucune stratégie ne permet d’atteindre l’objectif plus souvent que le jeu audacieux : miser tout votre capital, ou juste ce qu’il faut pour atteindre l’objectif. Kyle Siegrist le démontre dans son manuel en accès libre Random, dans un chapitre fondé sur le livre de Lester Dubins et Leonard Savage paru en 1965, How to Gamble If You Must. Le jeu audacieux raccourcit toutefois la soirée : un seul coup au lieu de 3 666,9.

Un jeton par coup : plus le capital augmente, moins vous avez de chances de le doubler 🖖

Cliquez sur Doubler 10, un jeton : 36,8031 %. Parcourez ensuite le tableau. Avec 50 jetons, la probabilité de doubler est de 6,2775 % ; avec 100, elle est de 0,4466 % ; avec 1 000, de 3,30×10⁻²² %. Le jeu audacieux reste à 48,6486 %, quel que soit le capital. Davantage de jetons permettent de jouer plus longtemps. Cette durée supplémentaire coûte cher, puisque l’avantage du casino s’applique à chaque mise. Pour doubler le capital, la formule se simplifie : le rapport entre la probabilité d’échec et celle de réussite vaut (19/18)^a contre 1. Chaque jeton supplémentaire au départ, avec un objectif toujours égal au double du capital, multiplie donc ce rapport par 19/18. Avec 100 jetons, il vaut 222,9 contre 1. Abraham de Moivre a établi la formule générale en 1711 grâce à une astuce que racontent Grinstead et Snell : attribuer à chaque jeton une valeur fictive qui croît d’un facteur q/p. Exprimé dans ces valeurs, le jeu devient équitable. Cliquez sur Le second zéro pour mesurer la sensibilité du résultat. La case supplémentaire de la roulette américaine fait presque doubler l’avantage du casino, de 2,70 % à 5,26 %. Doubler 100 jetons en misant un jeton par coup devient environ 168 fois plus rare : 0,002656 % contre 0,4466 %. Avec le jeu audacieux, la probabilité ne passe que de 48,6486 % à 47,3684 %. La prochaine étape, la martingale, est une méthode conçue pour échapper à cette difficulté : commencer par une petite mise et la doubler après chaque perte.

Problème entièrement résolu

Une chance sur un million 4 étapes
En misant un jeton par coup sur le rouge, à partir de quel capital n’avez-vous plus qu’une chance sur un million de le doubler ? Cliquez d’abord sur Doubler 100, un jeton : la page donne la probabilité pour 100 jetons.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La page donne, pour 100 jetons à la roulette européenne :
  
  $P = \frac{1 - r ^{100}}{1 - r ^{200}} = 0.004466, r = \frac{q}{p} = \frac{19}{18}$
2. Lorsque l’objectif est le double du capital initial, N = 2a, la fraction se simplifie grâce à l’identité 1 − r^2a = (1 − r^a)(1 + r^a). Pour 100 jetons, r¹⁰⁰ = 222,90 :
  
  $\frac{1 - r ^{a}}{1 - r ^{2 a}} = \frac{1}{1 + r ^{a}} : \frac{1}{1 + 222 . 90} = 0.004466$
3. Posez cette probabilité égale à une chance sur un million et résolvez l’équation en a :
  
  $\frac{1}{1 + r ^{a}} = 1 0^{- 6} \Rightarrow a = \frac{ln 999 , 999}{ln ( 19/18 )} = \frac{13 . 8155}{0 . 054067} = 255.52$
4. Le nombre de jetons est entier. Vérifiez les deux entiers qui encadrent cette valeur :
  
  $a = 255 : 1.03 \times 1 0^{- 6}, a = 256 : 9.75 \times 1 0^{- 7}$
Réponse

256 jetons à la roulette européenne. Avec 255, la probabilité est de 1,03 sur un million ; avec 256, de 0,975 sur un million. À la roulette américaine, r = 20/18 et le même calcul donne 131,1, soit 132 jetons. Le jeu audacieux permet de doubler avec une probabilité de 48,65 % à la roulette européenne et de 47,37 % à la roulette américaine, pour chacun de ces capitaux. Réglez le capital initial sur 256 et l’objectif sur 512, puis faites varier la mise pour comparer les deux stratégies.

$a = 256 (r = \frac{19}{18}), a = 132 (r = \frac{20}{18})$

Parcours

Des jeux équitables qui vous ruinent

Références (3)

The gambler's ruin problem and its formula for the chance of ruin, the limit against an "infinitely rich" adversary (ruin with probability tending to 1 in a fair game, which the first insight quotes), and de Moivre's 1711 derivation by giving the counters nominal values (q/p)^k so that the unfair game becomes fair, which the third insight retells: C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006, freely redistributable under the GNU Free Documentation License. Section 12.2, Gambler's Ruin, pp. 486–490.
Timid play (a constant bet until ruin or the target) with its probability of winning f(x) = ((q/p)^x − 1)/((q/p)^a − 1), or x/a when p = 1/2, and its expected number of games g(x) = x/(q − p) − (a/(q − p)) f(x), or x(a − x); that larger constant bets help in an unfair game and make no difference in a fair one; bold play's functional equation F(x) = pF(2x) or p + qF(2x − 1), its binary-digit sum, the table F(k/8) and G(k/8), and that for p = 1/2 bold play reaches the target with probability x/a, as timid play does. The page's formulas are these, and check:compute holds its bold-play solver to the binary-digit sum and to the table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance: §9 Red and Black, §10 Timid Play, §11 Bold Play.
Bold play is optimal when the trials are unfair (p ≤ 1/2), proved through the sufficient condition pV(x + y) + qV(x − y) ≤ V(x); bold play is not the only optimal strategy; and the chapter's own statement that its exposition 'is based primarily on' Dubins and Savage. The second insight cites both through this page, and check:compute applies the same condition to every whole-chip bet in the page's table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance, §12 Optimal Strategies; the chapter is based on L. E. Dubins and L. J. Savage, Inequalities for Stochastic Processes (How to Gamble If You Must), 1965.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.